Тест ЕГЭ по базовой математике 2027, вариант 5

1. Стоимость проездного билета на месяц составляет 690 рублей, а стоимость билета на одну поездку - 26 рублей. Аня купила проездной и сделала за месяц 35 поездок. На сколько рублей больше она бы потратила, если бы покупала билеты на одну поездку?

Верный ответ: 220

Стоимость 35 отдельных поездок равна 26 · 35 = 910 рублей.
Проездной обошёлся в 690 рублей. Разность 910 − 690 показывает, сколько рублей Аня сэкономила благодаря проездному: 220.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9422.

2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ

А) время одного оборота барабана стиральной машины при отжиме
Б) время одного оборота Венеры вокруг Солнца
В) время в пути поезда Волгоград - Санкт-Петербург
Г) длительность лекции в вузе

ЗНАЧЕНИЯ

1) 90 минут
2) 32 часа
3) 0,1 секунды
4) 224,7 суток

Верный ответ: 3421

Здесь значения относятся к совершенно разным временным масштабам.
А) При отжиме барабан вращается много раз за минуту, поэтому один оборот может занимать около 0,1 секунды — значение 3.
Б) Один оборот Венеры вокруг Солнца измеряется не часами, а сотнями суток — 224,7 суток, значение 4.
В) Поезд между удалёнными городами находится в пути больше суток, поэтому подходят 32 часа — значение 2.
Г) Обычная вузовская лекция длится одну академическую пару, то есть 90 минут, — значение 1.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15141.

3. В таблице показана статистика игр в группе \(E \) на чемпионате мира по футболу 2014 года - количество побед, ничьих и поражений каждой команды. За каждую победу команде даётся 3 очка, за ничью - одно очко, за поражение - ноль очков. Определите, сколько очков у команды, занявшей первое место в группе \(E \).

Верный ответ: 7

Очки считаются так: 3 · число побед + число ничьих.
У Франции 2 победы и 1 ничья: 3 · 2 + 1 = 7 очков. Это больше, чем у Швейцарии, Эквадора и Гондураса, поэтому первое место занимает команда с 7 очками.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9627.

4. Площадь треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2}bc\sin \alpha \), где \(b \) и \(c \) - две стороны треугольника, а \( \alpha \) - угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь \(S \), если \(b \) = 18, \(c \) = 16 и \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \).

Верный ответ: 48

Подставим \(b=18\), \(c=16\) и \(\sin\alpha=\frac13\): \(S=\frac12\cdot18\cdot16\cdot\frac13\). Множители \(\frac12\) и \(\frac13\) дают \(\frac16\), поэтому \(S=\frac{18\cdot16}{6}=3\cdot16=48\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21110.

5. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Верный ответ: 0,6

Так как общих вопросов у двух тем нет, ни один благоприятный исход не учитывается дважды. Значит, для события «вопрос по одной из этих тем» достаточно сложить вероятности:
\(0{,}35+0{,}25=0{,}6\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9806.

6. Семья из трёх человек планирует поехать из Вологды в Архангельск. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 1640 рублей. Автомобиль расходует 9 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 800 км, а цена бензина 46 рублей за литр. Сколько рублей придётся заплатить за наиболее дешёвую поездку на троих?

Верный ответ: 3312

За три железнодорожных билета семья заплатит \(1640\cdot3=4920\) руб.
На 800 км автомобиль израсходует \(800:100\cdot9=72\) л бензина. Стоимость топлива составит \(72\cdot46=3312\) руб.
Так как 3312 руб. меньше 4920 руб., наиболее дешёвой будет поездка на машине.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9548.

7. Установите соответствие между графиками функций и значениями производной этих функций в точке x₀.

ГРАФИКИ

ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

1) 0,5
2) \( \frac{4}{3} \)

3) -1
4) -1,5

Верный ответ: 2341

Производная в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту касательной. По направлению касательной определяем знак, по крутизне — модуль.

А) Касательная возрастает достаточно круто, поэтому \(f'(x_0)=\frac43\) — 2.
Б) Касательная убывает примерно под углом \(45^\circ\), поэтому \(f'(x_0)=-1\) — 3.
В) Касательная убывает круче, чем в графике Б, поэтому \(f'(x_0)=-1{,}5\) — 4.
Г) Касательная возрастает полого, поэтому \(f'(x_0)=0{,}5\) — 1.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9990.

8. При взвешивании животных в зоопарке выяснилось, что буйвол тяжелее льва, медведь легче буйвола, а рысь легче льва. Выберите верные утверждения.

1. Рысь легче буйвола.2. Медведь тяжелее буйвола.3. Рысь тяжелее буйвола.4. Буйвол самый тяжёлый из всех этих животных.

Верный ответ: 14

Известно: буйвол тяжелее льва, лев тяжелее рыси, а буйвол тяжелее медведя.
1. Если рысь легче льва, а лев легче буйвола, то рысь легче буйвола.
2. По условию медведь, наоборот, легче буйвола.
3. Это утверждение противоречит цепочке «рысь легче льва, лев легче буйвола».
4. Буйвол тяжелее льва и медведя, а через сравнение со львом также тяжелее рыси. Поэтому он самый тяжёлый из четырёх животных.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9734.

9. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён квадрат. Найдите радиус вписанной в него окружности.

Верный ответ: 3,5

Вписанная окружность касается всех четырёх сторон квадрата, поэтому её диаметр равен стороне квадрата.
Сторона квадрата занимает 7 клеток, значит радиус равен 7 : 2 = 3,5.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15143.

10. Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 5,5 км. Чему равно расстояние между городами А и В (в км), если на карте оно составляет 2 см?

Верный ответ: 11

На карте между городами укладываются два отрезка по 1 см. Каждый из них обозначает 5,5 км, значит расстояния нужно сложить: 5,5 + 5,5 = 11 км. То же вычисление можно записать как 5,5 · 2.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9504.

11. Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 20 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в полтора раза меньше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Верный ответ: 45

В цилиндре \(V=\pi r^2h\), а при переливании объём воды остаётся прежним. Радиус второго сосуда в \(1{,}5\) раза меньше, поэтому его основание меньше в \(1{,}5^2=2{,}25\) раза.
Уровень воды, наоборот, возрастёт в \(2{,}25\) раза: \(20\cdot2{,}25=45\) см.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9569.

12. В окружности с центром O проведён диаметр AB. На окружности отмечена точка C так, что угол COB равен 120°, AC = 35. Найдите диаметр окружности.

Верный ответ: 70

Точки \(A\), \(O\) и \(B\) лежат на одной прямой, поэтому \(\angle AOC=180^\circ-\angle COB=60^\circ\). Отрезки \(OA\) и \(OC\) — радиусы, значит треугольник \(AOC\) равнобедренный.
Его угол при вершине равен \(60^\circ\), поэтому два остальных угла также по \(60^\circ\); треугольник равносторонний. Следовательно, радиус \(OA=AC=35\), а диаметр \(AB=2\cdot35=70\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9991.

13. Даны два шара с радиусами 6 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

Верный ответ: 9

По формуле S = 4πR² отношение площадей поверхностей двух шаров равно отношению квадратов их радиусов:
S_больш : S_меньш = 6² : 2² = 36 : 4 = 9.
Хотя радиусы отличаются в 3 раза, площади отличаются в 3² раз.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9832.

14. Найдите значение выражения 2,64 : 2,2 - 0,1.

Верный ответ: 1,1

По порядку действий сначала выполняем деление.
Чтобы делитель стал целым, переносим запятую на один знак вправо в обоих числах:
\(2,64:2,2=26,4:22=1,2\).
После этого вычитаем \(0,1\): \(1,2-0,1=1,1\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9977.

15. В начале учебного года в школе было 500 учащихся, а к концу года их стало 600. На сколько процентов увеличилось за учебный год число учащихся?

Верный ответ: 20

Прирост составил 600 − 500 = 100 учащихся. Чтобы узнать, на сколько процентов увеличилось число учеников, нужно найти, какую долю эти 100 человек составляют от начальных 500.
100 : 500 = 0,2, а 0,2 · 100% = 20%.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9699.

16. Найдите значение выражения 6,6 ⋅ 10^-1 + 8,6 ⋅ 10^-2.

Верный ответ: 0,746

Множитель 10^-1 уменьшает число в 10 раз: 6,6 ⋅ 10^-1 = 0,66.
Множитель 10^-2 уменьшает число в 100 раз: 8,6 ⋅ 10^-2 = 0,086.
Складываем: 0,660 + 0,086 = 0,746.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15092.

17. Найдите корень уравнения \( \sqrt {17 - 2x} = 3 \).

Верный ответ: 4

Возведём обе части уравнения в квадрат:
\(17-2x=3^2=9\).
Получаем \(-2x=-8\), значит \(x=4\). Проверка: \(17-2\cdot4=9\), а \(\sqrt9=3\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10063.

18. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

А) \( \frac{{{{(x - 6)}^2}}}{{x - 2}} > 0 \)
Б) \( (x - 2)(x - 6) < 0 \)
В) \( \frac{{x - 2}}{{x - 6}} > 0 \)
Г) \( {(x - 2)^2}(x - 6) < 0 \)

РЕШЕНИЯ

1) 2 < x < 6 или x > 6
2) x < 2 или 2 < x < 6
3) 2 < x < 6
4) x < 2 или x > 6

Верный ответ: 1342

Критические точки во всех выражениях — 2 и 6. В строгих неравенствах точки, где выражение равно нулю или не определено, не входят в решение.
А) \((x-6)^2\) положителен при \(x\ne6\), поэтому знак дроби определяется знаменателем \(x-2\). Дробь положительна при \(x > 2\), но \(x=6\) надо исключить: \((2;6)\cup(6;+\infty)\). Это решение 1.
Б) Произведение \((x-2)(x-6)\) отрицательно между корнями, то есть при \(2 < x < 6\). Подходит решение 3.
В) Дробь \(\dfrac{x-2}{x-6}\) положительна, когда числитель и знаменатель одного знака: \(x < 2\) или \(x > 6\). Это решение 4.
Г) Квадрат \((x-2)^2\) знак не меняет. Чтобы произведение было отрицательным, нужно \(x-6 < 0\), однако при \(x=2\) произведение равно нулю. Получаем \((-\infty;2)\cup(2;6)\), то есть решение 2.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9593.

19. Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 3, и на 4 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого больше 4. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Верный ответ: 757;565;577;685;877;697;865;997;769;589;889;985

Если остаток при делении и на 3, и на 4 равен 1, то A − 1 кратно НОК(3; 4) = 12. Поэтому ищем трёхзначные числа вида 12k + 1.
Из них подходят только числа, каждая цифра которых строго больше 4. Например, 757 = 756 + 1, число 756 делится на 3 и на 4, а все цифры числа 757 принадлежат множеству {5; 6; 7; 8; 9}.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9775.

20. Один мастер может выполнить заказ за 28 ч, а другой - за 21 ч. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Верный ответ: 12

Первый мастер за час выполняет 1/28 заказа, второй — 1/21 заказа. При совместной работе их производительности складываются:
1/28 + 1/21 = 3/84 + 4/84 = 7/84 = 1/12.
Значит, за один час мастера выполняют 1/12 заказа, поэтому на весь заказ потребуется 12 часов. Складывать 28 и 21 нельзя: это времена выполнения целого заказа каждым мастером по отдельности.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15144.

21. Среднее арифметическое 7 различных натуральных чисел равно 12. Среднее арифметическое этих чисел и восьмого числа равно 13. Чему равно восьмое число?

Верный ответ: 20

Среднее арифметическое равно сумме чисел, делённой на их количество. Поэтому сумма первых семи чисел равна 7 · 12 = 84.
После добавления восьмого числа сумма всех восьми чисел стала равна 8 · 13 = 104. Добавленное число составляет разность этих сумм: 104 − 84 = 20. Просто вычесть одно среднее из другого нельзя, потому что изменилось и количество чисел.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9896.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Вариант 5