Тест ЕГЭ по базовой математике 2027, вариант 11

1. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 15 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 5 г. Какое наименьшее число пакетиков нужно хозяйке для приготовления маринада из 7 литров воды?

Верный ответ: 21

На 7 литров воды потребуется 15 · 7 = 105 г лимонной кислоты.
В одном пакетике 5 г, поэтому число пакетиков равно 105 : 5 = 21. Поскольку требуется наименьшее число пакетиков, при дробном результате пришлось бы округлять вверх; здесь кислота распределяется по пакетикам без остатка.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9822.

2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ

А) объём комнаты
Б) масса человека
В) высота Троицкой башни Кремля
Г) площадь бадминтонной площадки

ЗНАЧЕНИЯ

1) 75 м³
2) 55 кг
3) 79,3 м
4) 81,7 кв. м

Верный ответ: 1234

Сначала определяем, какая физическая величина названа, и только потом выбираем число.
А) Объём измеряется в кубических единицах, поэтому комнате соответствуют 75 м³ — значение 1.
Б) Масса человека измеряется в килограммах, поэтому подходят 55 кг — значение 2.
В) Высота является длиной и измеряется в метрах: Троицкой башне соответствует 79,3 м — значение 3.
Г) Площадь измеряется в квадратных единицах, поэтому бадминтонной площадке соответствуют 81,7 кв. м — значение 4.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15165.

3. В таблице показано расписание пригородных электропоездов по направлению Москва Савёловская - Большая Волга (г. Дубна).

Какая из электричек Москва - Дубна проводит в пути меньше всего времени? В ответе укажите номер этой электрички.

Верный ответ: 7536

Продолжительность поездок: 1:50, 2:21, 2:14, 2:26 и 1:49.
Самое маленькое значение — 1 час 49 минут, поэтому быстрее остальных доезжает электричка 7536.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9967.

4. Площадь треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2}bc\sin \alpha \), где \(b \) и \(c \) - две стороны треугольника, а \( \alpha \) - угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь \(S \), если \(b \) = 16, \(c \) = 9 и \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \).

Верный ответ: 24

Используем формулу площади по двум сторонам и синусу угла между ними: \(S=\frac12bc\sin\alpha\). После подстановки \(S=\frac12\cdot16\cdot9\cdot\frac13=\frac{16\cdot9}{6}=24\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21109.

5. При изготовлении труб диаметром 50 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного более чем на 0,05 мм, равна 0,082. Найдите вероятность того, что диаметр случайно выбранной для контроля трубы будет в пределах от 49,95 мм до 50,05 мм.

Верный ответ: 0,918

Границы 49,95 и 50,05 мм находятся на расстоянии 0,05 мм от заданного диаметра 50 мм. Значит, труба подходит, если отклонение не превышает 0,05 мм.
Вероятность превышения равна 0,082, поэтому вероятность допустимого диаметра равна:
\(1-0{,}082=0{,}918\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9966.

6. Валерий Михайлович собирается в туристическую поездку на трое суток в некоторый город. В таблице дана информация о гостиницах в этом городе со свободными номерами на время его поездки.

Валерий Михайлович хочет остановиться в гостинице, которая находится не далее 2,5 км от центральной площади и рейтинг которой не ниже 8,5. Среди гостиниц, удовлетворяющих этим условиям, выберите предложение с наименьшей ценой номера за сутки. Сколько рублей стоит проживание в этой гостинице в течение 3 суток?

Верный ответ: 9900

Сначала отсеем гостиницы, которые не выполняют хотя бы одно обязательное условие.
Подходят «Центральная» с рейтингом 8,6 и расстоянием 2,2 км (3300 руб. в сутки), а также «Турист» с рейтингом 8,9 и расстоянием 2,4 км (3600 руб. в сутки).
Например, «Уют-плюс» имеет высокий рейтинг, но находится в 2,9 км, поэтому выбирать её нельзя. Из допустимых вариантов дешевле «Центральная»: \(3300\cdot3=9900\) руб.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10008.

7. Установите соответствие между графиками функций и значениями производной этих функций в точке x₀.

ГРАФИКИ

ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

1) -4
2) -0,6

3) \( \frac{2}{3} \)
4) 5

Верный ответ: 3124

Знак производной определяется направлением касательной, а её модуль — крутизной наклона.

А) Касательная возрастает умеренно, поэтому \(f'(x_0)=\frac23\) — 3.
Б) Касательная очень резко убывает, поэтому \(f'(x_0)=-4\) — 1.
В) Касательная убывает полого, поэтому \(f'(x_0)=-0{,}6\) — 2.
Г) Касательная очень резко возрастает, поэтому \(f'(x_0)=5\) — 4.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10050.

8. В жилых домах, в которых больше 5 этажей, установлен лифт. Выберите верные утверждения.

1. Если в доме больше 7 этажей, то в нём есть лифт.2. Если в доме больше 8 этажей, то в нём нет лифта.3. Если в доме лифта нет, то в этом доме меньше 6 этажей.4. Если в доме нет лифта, то в этом доме больше 6 этажей.

Верный ответ: 13

Основное правило: если в доме больше 5 этажей, то в нём установлен лифт.
1. Больше 7 этажей — это обязательно больше 5, поэтому лифт в таком доме есть.
2. Дом с более чем 8 этажами также имеет больше 5 этажей, следовательно, лифт в нём должен быть, а не отсутствовать.
3. Если лифта нет, дом не может иметь больше 5 этажей. Поскольку число этажей целое, в нём меньше 6 этажей.
4. Отсутствие лифта, наоборот, означает, что этажей не больше 5, поэтому утверждение о более чем 6 этажах неверно.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9934.

9. На клетчатой бумаге изображена фигура, ограниченная двумя окружностями. Площадь круга, ограниченного внутренней окружностью, равна 2. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Верный ответ: 6

По сетке радиус внешней окружности в 2 раза больше радиуса внутренней. Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса, поэтому внешний круг имеет площадь в 2² = 4 раза больше внутреннего.
Площадь внешнего круга равна 4 · 2 = 8, а площадь кольца: 8 − 2 = 6.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15167.

10. Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. план). Кухня имеет размеры 3,5 м на 3,5 м, первая комната — 3,5 м на 4,5 м, санузел имеет размеры 2 м на 1,5 м, длина коридора равна 10,5 м. Найдите площадь всей квартиры (в квадратных метрах).

Верный ответ: 66

По внешнему контуру квартира является прямоугольником. Его ширина равна 1,5 + 10,5 = 12 м, а высота складывается из верхней и нижней полос: 3,5 + 2 = 5,5 м.
Площадь всей квартиры равна 12 · 5,5 = 66 м². Внутренние перегородки на общую площадь не влияют.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9944.

11. Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 10 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое меньше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Верный ответ: 40

При переливании объём воды сохраняется. Для цилиндра \(V=\pi r^2h\). Радиус нового сосуда в 2 раза меньше, поэтому площадь его основания в \(2^2=4\) раза меньше.
Чтобы тот же объём воды поместился в сосуде с вчетверо меньшим основанием, высота должна стать в 4 раза больше: \(10\cdot4=40\) см.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9489.

12. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 20, \( \cos A = 0,6 \). Найдите длину стороны BC.

Верный ответ: 16

Гипотенуза здесь \(AB=20\). Так как \(\cos A=\frac{AC}{AB}=0{,}6\), прилежащий катет \(AC=20\cdot0{,}6=12\).
Оставшийся катет найдём по теореме Пифагора: \(BC=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9571.

13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 11 и 5, а объём параллелепипеда равен 440. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

Верный ответ: 366

Сначала найдём третье ребро параллелепипеда. Из формулы объёма V = abc получаем:
c = 440 : (11 · 5) = 8.
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда состоит из трёх пар одинаковых граней:
S = 2(ab + ac + bc) = 2(11 · 5 + 11 · 8 + 5 · 8)
= 2(55 + 88 + 40) = 366.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9672.

14. Найдите значение выражения \( \frac{{8,4}}{{3,3 + 2,3}} \).

Верный ответ: 1,5

Сначала обязательно вычисляем знаменатель:
\(3,3+2,3=5,6\).
Теперь делим \(8,4\) на \(5,6\). Перенос запятой в обоих числах не меняет частное:
\(8,4:5,6=84:56=1,5\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9577.

15. Акции предприятия распределены между государством и частными акционерами в отношении 1:3 соответственно. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 24 млн рублей. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам? Ответ дайте в миллионах рублей.

Верный ответ: 18

По слову «соответственно» число 1 относится к государству, а число 3 — к частным акционерам. Значит, вся прибыль состоит из 1 + 3 = 4 равных частей, из которых частным акционерам принадлежат 3.
Одна часть составляет 24 : 4 = 6 млн рублей, а три части — 6 · 3 = 18 млн рублей.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9659.

16. Найдите значение выражения \( \frac{{{5^{14}} ~\cdot~ {2^{16}}}}{{{{10}^{13}}}} \).

Верный ответ: 40

Знаменатель 10¹³ представим как 2¹³ ⋅ 5¹³.
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются:
5^14-13 ⋅ 2^16-13 = 5 ⋅ 2³ = 5 ⋅ 8 = 40.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15098.

17. Найдите корень уравнения \( {\log _2}(x - 1) + {\log _2}6 = {\log _2}18 \).

Верный ответ: 4

Сумма логарифмов равна логарифму произведения:
\(\log_2(x-1)+\log_2 6=\log_2(6(x-1))\).
Поэтому \(6(x-1)=18\). Делим на \(6\): \(x-1=3\), значит \(x=4\). Условие \(x-1>0\) выполнено.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9783.

18. На прямой отмечены числа m и n.

Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами левого столбца и отрезками из правого столбца.

ЧИСЛА

А) \( {n^2} - {m^2} \)
Б) \( 2(m + n) \)
В) \( mn \)
Г) \( \frac{1}{n} + m \)

ОТРЕЗКИ

1) [-4;-3]
2) [-1; 0]
3) [2; 3]
4) [4; 5]

Верный ответ: 4312

По рисунку получаем приблизительно \(m\approx-1{,}3\), \(n\approx2{,}4\).
А) \(n^2-m^2\approx5{,}76-1{,}69=4{,}07\), поэтому подходит отрезок 4: \([4;5]\).
Б) \(2(m+n)\approx2\cdot1{,}1=2{,}2\), это отрезок 3: \([2;3]\).
В) \(mn\approx-1{,}3\cdot2{,}4=-3{,}12\), значит нужен отрезок 1: \([-4;-3]\).
Г) \(\dfrac1n+m\approx0{,}42-1{,}3=-0{,}88\), поэтому выбираем отрезок 2: \([-1;0]\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9673.

19. Найдите четырёхзначное число, кратное 18, у которого произведение цифр равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Верный ответ: 2232;2322;3222

Число, кратное 18, должно быть чётным, а сумма его цифр должна делиться на 9. Для произведения цифр 24 подходящий набор цифр — 2, 2, 2 и 3: их произведение равно 24, а сумма равна 9.
Чтобы число было чётным, на последнем месте должна стоять цифра 2. Переставляя оставшиеся цифры, получаем три допустимых числа.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9895.

20. Смешали некоторое количество 11%-го раствора с таким же количеством 19%-го раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Верный ответ: 15

Пусть взяли по x литров каждого раствора. В первом содержится 0,11x литра вещества, во втором — 0,19x литра.
После смешивания вещества стало 0,11x + 0,19x = 0,30x литра, а объём раствора стал 2x литров.
Концентрация равна 0,30x : 2x = 0,15, то есть 15%. Здесь можно взять среднее арифметическое концентраций только потому, что количества растворов одинаковы.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15168.

21. Среднее арифметическое 5 различных натуральных чисел равно 7. Среднее арифметическое этих чисел и шестого числа равно 8. Чему равно шестое число?

Верный ответ: 13

Сумма пяти исходных чисел равна 5 · 7 = 35. После появления шестого числа среднее стало 8, поэтому сумма шести чисел равна 6 · 8 = 48.
Новое число равно приросту общей суммы: 48 − 35 = 13. Повышение среднего всего на 1 не означает, что добавили 1, поскольку новое среднее относится уже к шести числам.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9976.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Вариант 11