Тест ЕГЭ по профильной математике 2027, вариант 1

1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC провели биссектрису AF. Найдите угол AFC, если угол ABC равен 76°. Ответ дайте в градусах.

Верный ответ: 102

Подсказка: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $(180° - 76°) / 2 = 52°$. Биссектриса AF делит угол A пополам, значит $\angle CAF = 26°$. В треугольнике AFC получаем: $180° - 52° - 26° = 102°$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24330.

2. На координатной плоскости изображены векторы $ \vec a $ и $ \vec b $. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec a $ и $ 2\vec b $.

Верный ответ: 112

Координаты вектора находятся как «конец минус начало». По рисунку $\vec a=(-4;-9)$, $\vec b=(-5;-4)$, поэтому $2\vec b=(-10;-8)$.
Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:
$\vec a\cdot(2\vec b)=(-4)\cdot(-10)+(-9)\cdot(-8)=40+72=112$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21339.

3. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 78. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Верный ответ: 117

У цилиндра, описанного около шара радиуса $R$, радиус основания равен $R$, а высота равна $2R$. Поэтому площадь полной поверхности цилиндра равна $2\pi R^2+2\pi R\cdot2R=6\pi R^2$.
Площадь поверхности шара равна $4\pi R^2$, поэтому площадь цилиндра больше в $\frac{6}{4}=\frac32$ раза: $78\cdot\frac32=117$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10351.

4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

Верный ответ: 0,5

При двух бросках симметричной монеты возможны четыре равновероятных результата: орёл–орёл, орёл–решка, решка–орёл и решка–решка.

Ровно одна решка появляется в двух случаях: орёл–решка и решка–орёл. Поэтому вероятность равна 2 / 4 = 0,5.

Случай решка–решка не подходит, поскольку в нём решка выпала два раза, а требуется ровно один раз.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10290.

5. Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью $ p = \frac{{20}}{{29}} $ на единицу больше предыдущего и с вероятностью $ 1-p $ на единицу меньше предыдущего. Изменения на разных шагах независимы. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен -1?

Верный ответ: 0,45

Обозначим через $x$ вероятность когда-нибудь попасть из 0 в -1. Вероятность шага вниз равна $q=1-p=\frac{9}{29}$.

Рассмотрим первый шаг:
— с вероятностью $q$ последовательность сразу попадает в -1;
— с вероятностью $p$ она попадает в 1. Чтобы после этого достичь -1, нужно сначала спуститься из 1 в 0, а затем из 0 в -1. Из-за одинаковых правил на каждом уровне вероятность каждого такого спуска на единицу равна $x$, поэтому вероятность двух последовательных этапов равна $x^2$.

Получаем уравнение $x=q+px^2$. Его корни: $1$ и $\frac{q}{p}$. Здесь $p>q$, то есть движение вверх вероятнее движения вниз, поэтому попадание в -1 не является достоверным событием и корень $x=1$ не подходит.

Следовательно, $x=\frac{q}{p}=\frac{9/29}{20/29}=\frac{9}{20}=0,45$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15336.

6. Найдите корень уравнения $ \sqrt {\frac{{4x + 25}}{{13}}} = 5 $.

Верный ответ: 75

Обе части уравнения неотрицательны, значит, возведение в квадрат сохраняет равносильность:
$\frac{4x+25}{13}=25$.
Умножим на $13$: $4x+25=325$. Тогда $4x=300$, поэтому $x=75$.

При подстановке получаем $\frac{4\cdot75+25}{13}=25$, следовательно, левая часть действительно равна $5$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10177.

7. Найдите значение выражения $ ({168^2} - {11^2}):179 $.

Верный ответ: 157

Числитель раскладывается по формуле разности квадратов:
$168^2-11^2=(168-11)(168+11)$.
При этом $168+11=179$, а именно на 179 делится выражение. Поэтому
$\frac{168^2-11^2}{179}=\frac{(168-11)\cdot179}{179}=168-11=157$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10409.

8. На рисунке изображены график функции $ y = f(x) $ и касательная к нему в точке с абсциссой ${x_0}$. Найдите значение производной функции $ f(x) $ в точке ${x_0}$.

Верный ответ: 0,25

Значение $f'(x_0)$ — это угловой коэффициент касательной. Выберем на ней две отмеченные точки сетки: $(-4;-3)$ и $(4;-1)$.
При движении вправо на $4-(-4)=8$ единиц касательная поднимается на $(-1)-(-3)=2$ единицы. Поэтому $f'(x_0)=k=\dfrac{2}{8}=0{,}25$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10350.

9. Наблюдатель, находящийся на высоте $h$ м над поверхностью земли, видит линию горизонта на расстоянии $l$ км, которое можно найти по формуле $l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$, где $R=6400$ км — радиус Земли.
Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 километра. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 10 см. На сколько ступенек ему нужно подняться, чтобы он увидел горизонт на расстоянии 6,4 километра?

Верный ответ: 14

Из формулы расстояния до горизонта выразим высоту наблюдателя:
$$l^2=\frac{Rh}{500},\qquad h=\frac{500l^2}{R}=\frac{5l^2}{64},$$
так как $R=6400$ км.
При $l=4{,}8$ км высота равна $h_1=\frac{5\cdot4{,}8^2}{64}=1{,}8$ м, а при $l=6{,}4$ км — $h_2=\frac{5\cdot6{,}4^2}{64}=3{,}2$ м.
Нужно подняться на $3{,}2-1{,}8=1{,}4$ м. Высота ступеньки 10 см, то есть 0,1 м, поэтому число ступенек находят делением $1{,}4:0{,}1$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10391.

10. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий - за 15 минут, а первый и третий - за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

Верный ответ: 9

Обозначим производительности трёх насосов через a, b и c бассейна в минуту. Для каждой пары получаем:
a + b = 1/10,
b + c = 1/15,
a + c = 1/18.

При сложении этих равенств каждый насос учитывается два раза:
2(a + b + c) = 1/10 + 1/15 + 1/18 = 2/9.
Следовательно, вместе три насоса заполняют 1/9 бассейна за минуту.

Время выполнения всей работы является величиной, обратной производительности.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10183.

11. На рисунке изображён график функции $f(x)=\frac{ax+b}{x+c}$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите значение $f(31)$.

Верный ответ: 2,9

Для функции $\frac{ax+b}{x+c}$ горизонтальная асимптота равна $y=a$. На графике это прямая $y=3$, поэтому $a=3$.
Вертикальная асимптота проходит при $x=1$. Знаменатель обращается в ноль при $x=-c$, следовательно, $-c=1$ и $c=-1$.
График пересекает ось $Ox$ в точке с абсциссой $2$. В этой точке числитель равен нулю: $2a+b=0$, откуда $b=-6$.
Значит, $f(x)=\frac{3x-6}{x-1}$, поэтому $f(31)=\frac{93-6}{30}=\frac{87}{30}=2{,}9$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15269.

12. Найдите точку максимума функции $ y = - \frac{x}{{{x^2} + 289}} $.

Верный ответ: -17

Производная равна
$y'=\frac{x^2-289}{(x^2+289)^2}=\frac{(x-17)(x+17)}{(x^2+289)^2}$.
Поскольку знаменатель всегда положителен, рассматриваем знак произведения $(x-17)(x+17)$. При $x<-17$ производная положительна, а при $-17В точке \(x=-17$ функция меняет возрастание на убывание, значит, здесь находится максимум. Точка $x=17$ является точкой минимума.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10469.

Часть 2

13. Выполните следующие пункты:

а) Решите уравнение $ 3{\sin ^2}x + 5\sin x + 2 = 0 $.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $ \left[ {\frac{\pi }{2};2\pi } \right] $.

Верный ответ:
а) $x=-\frac\pi2+2\pi n$, $x=\pi+\arcsin\frac23+2\pi n$, $x=2\pi-\arcsin\frac23+2\pi n$, $n\in Z$.
б) $\frac{3\pi}{2};\ \pi+\arcsin\frac23;\ 2\pi-\arcsin\frac23$.

Пояснение.
Разложим квадратный трёхчлен:
$3\sin^2x+5\sin x+2=(3\sin x+2)(\sin x+1)$.
Значит, $\sin x=-\frac23$ или $\sin x=-1$. Из второго равенства получаем $x=-\frac\pi2+2\pi n$.
Обозначим $\alpha=\arcsin\frac23$, где $0<\alpha<\frac\pi2$. Синус равен $-\frac23$ в третьей и четвёртой четвертях, поэтому $x=\pi+\alpha+2\pi n$ или $x=2\pi-\alpha+2\pi n$.
На отрезке $\left[\frac\pi2;2\pi\right]$ каждая из трёх серий даёт ровно по одному корню: $\frac{3\pi}{2}$, $\pi+\alpha$ и $2\pi-\alpha$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10223.

14. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 4, а боковое ребро AA₁ равно $ 2\sqrt 2 $. На рёбрах BC и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём CK = 3, а C₁L = 1. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой - точка A₁, а основание - сечение данной призмы плоскостью γ.

Верный ответ: б) $\frac{28\sqrt2}{3}$.
Расположим призму так: $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(4;4;0)$, $D(0;4;0)$, высота равна $2\sqrt2$. Тогда $K(4;1;0)$, $L(3;4;2\sqrt2)$.
а) Вектор $\overrightarrow{A_1C}=(4;4;-2\sqrt2)$. Плоскость $\gamma$ содержит прямую $KL$ и проходящую через $K$ прямую, параллельную $BD$. Их направляющие векторы равны $\overrightarrow{KL}=(-1;3;2\sqrt2)$ и $\overrightarrow{BD}=(-4;4;0)$. Оба скалярных произведения с $\overrightarrow{A_1C}$ равны нулю: $-4+12-8=0$ и $-16+16=0$. Эти прямые пересекаются в $K$, поэтому $A_1C\perp\gamma$.
б) Уравнение плоскости $\gamma$: $\sqrt2(x+y-5)-z=0$. Её сечение призмы — четырёхугольник $KRLP$, где $R(4;3;2\sqrt2)$, $P(1;4;0)$. Площади треугольников $KRL$ и $KLP$ равны $\sqrt5$ и $3\sqrt5$, поэтому площадь сечения равна $4\sqrt5$.
Нормаль к плоскости — $(\sqrt2;\sqrt2;-1)$, её длина $\sqrt5$. Расстояние от $A_1(0;0;2\sqrt2)$ до плоскости равно $\frac{7\sqrt2}{\sqrt5}$. Поэтому объём пирамиды равен $\frac13\cdot4\sqrt5\cdot\frac{7\sqrt2}{\sqrt5}=\frac{28\sqrt2}{3}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10509.

15. Решите неравенство $ 1 + {\log _6}(4 - x) \le {\log _6}(16 - {x^2}) $.

Верный ответ: $\left[2;4\right)$.

Решение.
По ОДЗ должны быть положительны оба аргумента логарифмов: $4-x\gt 0$ и $16-x^2\gt 0$. Отсюда $-4\lt x\lt 4$.
Представим единицу как $1=\log_6 6$ и объединим логарифмы в левой части:
$ \log_6\bigl(6(4-x)\bigr)\le\log_6(16-x^2)$.
Основание $6\gt 1$, поэтому сравниваем аргументы без изменения знака:
$ 6(4-x)\le16-x^2$, или $x^2-6x+8\le0$.
Получаем $(x-2)(x-4)\le0$, то есть $2\le x\le4$. Точка $4$ не входит из-за ОДЗ.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10301.

16. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи $x$ кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи $y$ кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Верный ответ: 240 кг.

В каждой области имеется $100\cdot10=1000$ человеко-часов труда в сутки.

Пусть первая область добывает $a$ кг алюминия и $n$ кг никеля. На это потребуется $\frac{a}{0{,}3}+\frac{n}{0{,}1}$ часов, поэтому
$\frac{a}{0{,}3}+\frac{n}{0{,}1}\leqslant1000$, или $a+3n\leqslant300$.

Пусть вторая область добывает $x$ кг алюминия и $y$ кг никеля. Для неё выполняется $x^2+y^2\leqslant1000$. Если завод произведёт $3t$ кг сплава, ему понадобятся $2t$ кг алюминия и $t$ кг никеля. После поставки второй области первая должна обеспечить недостающее количество металлов, поэтому
$(2t-x)+3(t-y)\leqslant300$,
то есть $5t\leqslant300+x+3y$.

Оценим вклад второй области:
$(x+3y)^2\leqslant(1^2+3^2)(x^2+y^2)\leqslant10\cdot1000$.
Следовательно, $x+3y\leqslant100$, а значит $5t\leqslant400$ и $t\leqslant80$. Поэтому сплава нельзя получить больше $3t=240$ кг.

Эта граница достижима. Вторая область может добыть 10 кг алюминия и 30 кг никеля: $10^2+30^2=1000$. Тогда первая область добывает 150 кг алюминия и 50 кг никеля, причём $150+3\cdot50=300$. Всего получается 160 кг алюминия и 80 кг никеля — ровно в отношении $2:1$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10284.

17. Дан остроугольный треугольник ABC. Биссектриса внутреннего угла при вершине B пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке M, а биссектриса внутреннего угла при вершине C пересекает биссектрису внешнего угла при вершине B в точке N.
а) Докажите, что $\angle CNM = \angle MBC$.
б) Найдите CN, если AB = AC = 15, BC = 18.

Верный ответ: б) $12\sqrt5$.

а) В точке B пересекаются внутренняя и внешняя биссектрисы одного угла, поэтому они перпендикулярны: $\angle MBN=90^\circ$. Аналогично $\angle MCN=90^\circ$. Значит, точки B, C, M и N лежат на окружности с диаметром MN.
Углы $\angle CNM$ и $\angle CBM$ — вписанные и опираются на одну хорду CM, поэтому они равны. Но BM — биссектриса угла ABC, следовательно, $\angle CBM=\angle MBC$. Отсюда $\angle CNM=\angle MBC$.

б) Точка N — центр вневписанной окружности, противоположной вершине C. Обозначим $AB=AC=s$, $BC=a$, а высоту к основанию — h. Тогда $h^2=s^2-\frac{a^2}{4}$.
Площадь треугольника равна $S=\frac{ah}{2}$, а полупериметр $p=s+\frac a2$. Радиус этой вневписанной окружности
\[r_C=\frac{S}{p-AB}=\frac{ah/2}{a/2}=h.\]
Опустим из N перпендикуляр на BC. Поскольку CN делит угол C пополам, $CN=\frac{r_C}{\sin(C/2)}$. Кроме того, $\cos C=\frac{a}{2s}$, поэтому после применения формулы половинного угла получаем
\[CN^2=s(2s+a).\]
Подставляем $s=15$, $a=18$: $CN^2=15\cdot48=720$, поэтому $CN=12\sqrt5$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10112.

18. Найдите все значения $ a $, при каждом из которых уравнение $ \left| {x - {a^2} + 4a - 2} \right| + \left| {x - {a^2} + 2a + 3} \right| = 2a - 5 $ имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23].

Верный ответ: $4\le a\le7$.

Обозначим
\[p=a^2-4a+2,\qquad q=a^2-2a-3.\]
Уравнение принимает вид
\[|x-p|+|x-q|=2a-5.\]
Сумма расстояний от точки $x$ до точек $p$ и $q$ не меньше расстояния между $p$ и $q$:
\[|x-p|+|x-q|\ge|p-q|=|2a-5|.\]
При $a\ge\dfrac52$ правая часть равна $|p-q|$, поэтому решениями являются все точки отрезка между $p$ и $q$. При этом $p\le q$, и множество корней равно
\[[a^2-4a+2;\,a^2-2a-3].\]
Этот отрезок должен пересекаться с $[5;23]$. Для пересечения необходимо и достаточно, чтобы его правый конец был не меньше $5$, а левый — не больше $23$:
\[a^2-2a-3\ge5,\qquad a^2-4a+2\le23.\]
С учётом $a\ge\dfrac52$ первое неравенство даёт $a\ge4$, второе — $a\le7$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10361.

19. На доске были написаны несколько целых чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа, сумма которых делится на 3.
а) Может ли сумма всех оставшихся на доске чисел равняться 8, если сначала по одному разу были написаны числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11?
б) Может ли на доске остаться ровно два числа, разность которых равна 54, если сначала по одному разу были написаны все натуральные числа от 200 до 299 включительно?
в) Известно, что на доске осталось ровно два числа, а сначала по одному разу были написаны все натуральные числа от 200 до 299 включительно. Какое наибольшее значение может получиться, если поделить одно из оставшихся чисел на второе из них?

Верный ответ:
а) может;
б) не может;
в) $\frac{299}{201}$.

При удалении пары с суммой, делящейся на 3, остатки этой пары имеют вид $(0,0)$ или $(1,2)$. Поэтому сохраняются два свойства: чётность количества чисел с остатком 0 и разность между количествами чисел с остатками 1 и 2.
а) Можно оставить числа 3 и 5, сумма которых равна 8. Остальные числа удаляются парами $(2,4)$, $(6,9)$, $(7,8)$, $(10,11)$; сумма каждой пары делится на 3.
б) Среди чисел от 200 до 299 имеется 33 числа с остатком 0, 33 числа с остатком 1 и 34 числа с остатком 2. Если останутся два числа, сохранение указанных свойств заставляет их иметь остатки 0 и 2. Их разность не делится на 3, тогда как 54 делится на 3.
в) Для максимального отношения рассматриваем оба порядка допустимых остатков. Наибольшее число с остатком 2 — 299, а наименьшее с остатком 0 — 201, что даёт $299/201$. Другой крайний вариант — $297/200$. Сравнение крест-накрест даёт $299\cdot200>297\cdot201$, поэтому первый вариант больше. Пару 299 и 201 действительно можно оставить: после её выбора остаётся чётное количество чисел с остатком 0 и поровну чисел с остатками 1 и 2, поэтому остальные числа удаляются допустимыми парами.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10495.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Вариант 1

Часть 2