Тест ЕГЭ по профильной математике 2027, вариант 2

1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC провели биссектрису AF. Найдите угол AFB, если угол ABC равен 72°. Ответ дайте в градусах.

Верный ответ: 81

Подсказка: углы при основании равны: $(180° - 72°) / 2 = 54°$. Биссектриса AF делит угол A пополам, значит $\angle BAF = 27°$. В треугольнике ABF: $\angle AFB = 180° - 72° - 27° = 81°$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24331.

2. На координатной плоскости изображены векторы $ \vec a $ и $ \vec b $. Найдите скалярное произведение векторов $ 2\vec a $ и $ \vec b $.

Верный ответ: -60

По рисунку $\vec a=(4;-6)$, а $\vec b=(3;7)$. После умножения первого вектора на 2 получаем $2\vec a=(8;-12)$.
Вычисляем скалярное произведение:
$(2\vec a)\cdot\vec b=8\cdot3+(-12)\cdot7=24-84=-60$. Отрицательный результат получается потому, что второе слагаемое по модулю больше первого.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21340.

3. Шар, объём которого равен $ \pi $, вписан в куб. Найдите объём куба.

Верный ответ: 6

Пусть радиус шара равен $R$. Из формулы объёма шара получаем $\frac43\pi R^3=\pi$, откуда $R^3=\frac34$.
Шар вписан в куб, поэтому ребро куба равно диаметру шара: $a=2R$. Тогда объём куба равен $a^3=(2R)^3=8R^3=8\cdot\frac34=6$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10294.

4. В небольшом магазине работают два продавца - Александр и Алексей. Каждый из них может быть занят с клиентом с вероятностью 0,5. При этом они могут быть заняты одновременно с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайно выбранный момент времени занят только Александр, а Алексей свободен.

Верный ответ: 0,2

Вероятность 0,5 включает все моменты, когда Александр занят: и те, когда Алексей свободен, и те, когда заняты оба продавца.

Одновременно Александр и Алексей заняты с вероятностью 0,3. Чтобы остались только случаи «Александр занят, Алексей свободен», вычтем общую часть: 0,5 − 0,3 = 0,2.

Такое вычитание возможно потому, что случай одновременной занятости является частью события «Александр занят».

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10176.

5. Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью $ p = \frac{{20}}{{31}} $ на единицу больше предыдущего и с вероятностью $ 1-p $ на единицу меньше предыдущего. Изменения на разных шагах независимы. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен -1?

Верный ответ: 0,55

Обозначим через $x$ вероятность когда-нибудь попасть из 0 в -1. Вероятность шага вниз равна $q=1-p=\frac{11}{31}$.

Рассмотрим первый шаг:
— с вероятностью $q$ последовательность сразу попадает в -1;
— с вероятностью $p$ она попадает в 1. Чтобы после этого достичь -1, нужно сначала спуститься из 1 в 0, а затем из 0 в -1. Из-за одинаковых правил на каждом уровне вероятность каждого такого спуска на единицу равна $x$, поэтому вероятность двух последовательных этапов равна $x^2$.

Получаем уравнение $x=q+px^2$. Его корни: $1$ и $\frac{q}{p}$. Здесь $p>q$, то есть движение вверх вероятнее движения вниз, поэтому попадание в -1 не является достоверным событием и корень $x=1$ не подходит.

Следовательно, $x=\frac{q}{p}=\frac{11/31}{20/31}=\frac{11}{20}=0,55$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15338.

6. Найдите корень уравнения $ \sqrt {14 + 5x} = 7 $.

Верный ответ: 7

Возведём обе части в квадрат, поскольку правая часть $7$ неотрицательна:
$14+5x=49$.
Тогда $5x=35$, откуда $x=7$.

Проверка: $14+5\cdot7=49$, а $\sqrt{49}=7$, значит, корень найден верно.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10215.

7. Найдите значение выражения $ 2\sqrt 3\operatorname{tg}\left( -300^\circ \right) $.

Верный ответ: 6

Тангенс имеет период $180^\circ$. Углы $-300^\circ$ и $60^\circ$ отличаются на $360^\circ$, поэтому
$\operatorname{tg}(-300^\circ)=\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$.

Тогда
$2\sqrt3\cdot\sqrt3=2\cdot3=6$,
поскольку $\sqrt3\cdot\sqrt3=3$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10485.

8. На рисунке изображены график функции $ y = f'(x) $ - производной функции $ f(x) $, и семь точек на оси абсцисс: ${x_1}, {x_2}, {x_3}$ ... ${x_7}$. В скольких из этих точек функция $ f(x) $ возрастает?

Верный ответ: 5

Функция $f(x)$ возрастает там, где её производная положительна: $f'(x)>0$. На графике производной это означает, что соответствующая точка графика находится выше оси $Ox$.
Выше оси расположены значения производной при $x_1, x_4, x_5, x_6$ и $x_7$. При $x_2$ и $x_3$ график находится ниже оси, поэтому в этих точках функция убывает. Подходят пять отмеченных точек.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10217.

9. К источнику с ЭДС $ {\cal E} $ = 65 В и внутренним сопротивлением $r $ = 0,5 Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R $ Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой $ U = \frac{{{\cal E}R}}{{R + r}} $. При каком сопротивлении нагрузки напряжение на ней будет 60 В? Ответ дайте в омах.

Верный ответ: 6

В формуле напряжения подставляем ${\cal E}=65$, $r=0{,}5$ и требуемое напряжение $U=60$:
$$60=\frac{65R}{R+0{,}5}.$$
Умножаем обе части на $R+0{,}5$:
$$60R+30=65R.$$
После переноса $60R$ в правую часть получаем $5R=30$, откуда находится сопротивление нагрузки.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10277.

10. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину времени - со скоростью 46 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Верный ответ: 53

Пусть каждую половину времени автомобиль ехал t часов. Тогда со скоростью 60 км/ч он прошёл 60t км, а со скоростью 46 км/ч — 46t км.

Общий путь равен 60t + 46t, а общее время — 2t. Поэтому средняя скорость:
(60t + 46t)/(2t) = 106/2 = 53 км/ч.

Здесь можно усреднить две скорости, потому что автомобиль двигался с ними равные промежутки времени. При равных половинах пути способ вычисления был бы другим.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10240.

11. На рисунке изображён график функции $f(x)=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите значение $f(11)$.

Верный ответ: 168

Вершина параболы находится в точке $(-2;-1)$, поэтому функцию удобно записать в виде $f(x)=a(x+2)^2-1$.
График проходит через точку $(0;3)$. Подставим её координаты: $3=4a-1$, откуда $a=1$.
Следовательно, $f(x)=(x+2)^2-1=x^2+4x+3$. Тогда $f(11)=121+44+3=168$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15337.

12. Найдите точку максимума функции $ y = - \frac{x}{{{x^2} + 196}} $.

Верный ответ: -14

Производная функции:
$y'=\frac{x^2-196}{(x^2+196)^2}=\frac{(x-14)(x+14)}{(x^2+196)^2}$.
Знаменатель положителен при любом $x$. Слева от $-14$ производная положительна, а между $-14$ и $14$ — отрицательна.
Следовательно, в точке $x=-14$ возрастание сменяется убыванием, что соответствует максимуму. При $x=14$, наоборот, находится минимум.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10412.

Часть 2

13. Выполните следующие пункты:

а) Решите уравнение $ \sin x + \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}\left( {\cos x + 1} \right)} = 0 $.
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $ \left[ { - 4\pi ; - \frac{{5\pi }}{2}} \right] $.

Верный ответ:
а) $x=-\frac\pi6+2\pi k$ или $x=\pi+2\pi k$, $k\in Z$.
б) $-3\pi$.

Пояснение.
Перенесём корень вправо: $\sin x=-\sqrt{\frac{2-\sqrt3}{2}(1+\cos x)}$. Следовательно, любой корень должен удовлетворять условию $\sin x\leqslant0$.
Обозначим $A=\frac{2-\sqrt3}{2}$. После возведения в квадрат имеем $\sin^2x=A(1+\cos x)$. Подставим $\sin^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)$:
$(1+\cos x)(1-\cos x-A)=0$.
Отсюда $\cos x=-1$ или $\cos x=1-A=\frac{\sqrt3}{2}$. Первое равенство даёт $x=\pi+2\pi k$. Во втором случае из двух возможных углов выбираем тот, у которого синус неположителен: $x=-\frac\pi6+2\pi k$.
На отрезке $\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]$ первая серия даёт $-3\pi$. Для второй серии соседние значения равны $-\frac{25\pi}{6}<-4\pi$ и $-\frac{13\pi}{6}>-\frac{5\pi}{2}$, поэтому между границами отрезка корней этой серии нет.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10470.

14. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.
а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.

Верный ответ: б) $36$.
Площадь основания равна разности полной и боковой поверхностей: $144-108=36$, поэтому сторона квадрата равна $6$. Если $l$ — апофема, то $108=4\cdot\frac12\cdot6\cdot l$, откуда $l=9$. Высота пирамиды равна $SO=\sqrt{9^2-3^2}=6\sqrt2$.
а) Обозначим через $M$ середину $AB$, а через $O$ центр основания. Плоскости $SAC$ и $SMO$ пересекаются по прямой $SO$. Поскольку $SO\perp(ABCD)$, прямые $AC$ и $OM$ обе перпендикулярны $SO$. Поэтому угол между плоскостями равен углу между $AC$ и $OM$. В квадрате диагональ образует с направлением от центра к середине стороны угол $45^\circ$.
б) Диагональ основания $AC=6\sqrt2$, причём $SO\perp AC$. Поэтому площадь сечения $SAC$ равна $\frac12\cdot6\sqrt2\cdot6\sqrt2=36$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10376.

15. Решите неравенство $ 2x \ge {\log _2}\left( {\frac{{35}}{3} \cdot {6^{x - 1}} - 2 \cdot {9^{x - \frac{1}{2}}}} \right) $.

Верный ответ: $\left(-\infty;-1\right]\cup\left[2;\log_{\frac23}\frac{12}{35}\right)$.

Решение.
Сначала найдём ОДЗ. После деления выражения под логарифмом на $9^x\gt 0$ условие его положительности принимает вид $\frac{35}{18}\left(\frac23\right)^x-\frac23\gt 0$, то есть $\left(\frac23\right)^x\gt \frac{12}{35}$. Поскольку основание $\frac23\lt 1$, это означает $x\lt \log_{\frac23}\frac{12}{35}$.
Запишем $2x=\log_2 2^{2x}$. Основание логарифма больше единицы, поэтому сравниваем аргументы. После деления на $9^x$ и замены $t=\left(\frac23\right)^x\gt 0$ получаем
$ t^2-\frac{35}{18}t+\frac23\ge0$. Корни равны $\frac49$ и $\frac32$, поэтому $t\le\frac49$ или $t\ge\frac32$.
Функция $\left(\frac23\right)^x$ убывает: из первого условия следует $x\ge2$, а из второго — $x\le-1$. Пересечение с ОДЗ ограничивает правую ветвь сверху значением $\log_{\frac23}\frac{12}{35}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10149.

16. 1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?

Верный ответ: 5.

Чтобы погасить кредит за минимальное число месяцев, Александр Сергеевич должен каждый месяц вносить максимально разрешённый платёж 275 000 рублей: меньший платёж оставил бы больший долг и не позволил бы закончить раньше.

Остаток долга после каждого из первых четырёх платежей:
1) $1\,100\,000\cdot1{,}01-275\,000=836\,000$ руб.;
2) $836\,000\cdot1{,}01-275\,000=569\,360$ руб.;
3) $569\,360\cdot1{,}01-275\,000=300\,053{,}60$ руб.;
4) $300\,053{,}60\cdot1{,}01-275\,000=28\,054{,}136$ руб.

После четырёх месяцев долг ещё не погашен, поэтому четырёх платежей недостаточно. В начале пятого месяца остаток вырастет до $28\,054{,}136\cdot1{,}01=28\,334{,}67736$ рубля. Эта сумма меньше 275 000 рублей, поэтому пятым платежом кредит можно закрыть полностью.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10379.

17. На продолжении стороны AC за вершину A треугольника ABC отложен отрезок AD, равный стороне AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M.
а) Докажите, что луч AM — биссектриса угла BAC.
б) Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника ABC равна 180 и известно отношение AC : AB = 3 : 2.

Верный ответ: б) 192.

а) По условию $AD=AB$, поэтому треугольник ABD равнобедренный и $\angle ABD=\angle BDA$. Так как $AM\parallel BD$, то $\angle BAM=\angle ABD$, а $\angle MAC=\angle BDA$ (точки D, A, C лежат на одной прямой). Следовательно, $\angle BAM=\angle MAC$, то есть AM — биссектриса угла BAC.

б) По теореме о биссектрисе
\[BM:MC=AB:AC=2:3.\]
Значит, $BM/BC=2/5$, и треугольники ABM и ABC, имеющие общую высоту к прямой BC, относятся по площадям как их основания: $S_{ABM}=180\cdot\frac25=72$.
Треугольники ABD и ABC имеют общую высоту из B к прямой AC. Их основания лежат на этой прямой, поэтому
\[\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AC}=\frac23.\]
Отсюда $S_{ABD}=180\cdot\frac23=120$. Диагональ AB делит трапецию AMBD на треугольники ABM и ABD, поэтому её площадь равна $72+120=192$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10169.

18. Найдите все значения $ a $, при каждом из которых уравнение $$ {\left( {2{x^2} - 2x + 3{a^2} + 2} \right)^2} = 24{a^2}\left( {{x^2} - x + 1} \right) $$ имеет ровно один корень.

Верный ответ: $a=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Обозначим $u=x^2-x+1$. Тогда выражение в первых скобках равно $2u+3a^2$, поэтому
\[(2u+3a^2)^2=24a^2u.\]
После раскрытия скобок и переноса правой части получаем полный квадрат:
\[(2u-3a^2)^2=0.\]
Следовательно,
\[x^2-x+1=\frac{3a^2}{2}.\]
Это квадратное уравнение имеет ровно один корень при $D=0$:
\[1-4\left(1-\frac{3a^2}{2}\right)=6a^2-3=0.\]
Отсюда $a^2=\dfrac12$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10475.

19. Пираты нашли сундук с сокровищами, в котором было 40 монет достоинством 1 дукат и 40 монет достоинством 5 дукатов.
а) Получится ли поделить все деньги поровну между 16 пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?
б) Получится ли поделить все деньги поровну между 30 пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?
в) При каком наибольшем количестве пиратов капитану всегда удастся поделить монеты между ними, каким бы способом ему ни захотелось это сделать (возможно, кому-то из пиратов будет полагаться 0 монет)?

Верный ответ:
а) да;
б) нет;
в) 11.

а) Общая сумма равна $40\cdot1+40\cdot5=240$ дукатов, то есть каждому из 16 пиратов полагается по 15 дукатов. Восьми пиратам можно выдать по три пятидукатные монеты, а другим восьми — по две пятидукатные и пять однодукатных. Так будут использованы все 40 монет каждого достоинства.
б) При делении между 30 пиратами каждый должен получить по 8 дукатов. Для суммы 8 нужны как минимум три однодукатные монеты: $8=5+1+1+1$. Всего потребовалось бы не менее 90 однодукатных монет, а в сундуке их 40.
в) Пусть $R$ — сумма остатков всех 11 назначенных долей при делении на 5. Тогда $R\le11\cdot4=44$, а поскольку сумма всех долей равна 240, число $R$ делится на 5. Следовательно, $R\le40$. Эти остатки выдаём однодукатными монетами; оставшиеся единичные монеты объединяем в группы по пять и заменяем ими соответствующее количество пятидукатных монет.
Для 12 пиратов гарантии нет: если первым 11 назначить по 4 дуката, потребуется 44 однодукатные монеты, которых в сундуке нет.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10153.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Вариант 2

Часть 2