Решайте задания в удобном темпе. Ответы сохраняются в браузере, а результат появится после отправки теста.
Верный ответ: 14,7
Обозначим параллелограмм ABCD так, что A — вершина тупого угла, D — соседняя острая вершина, а биссектриса AE пересекает сторону DC в точке E. По условию \(DE:EC=3:4\).
Поскольку AE — биссектриса, \(\angle DAE=\angle EAB\). Стороны AB и DE параллельны, поэтому \(\angle EAB=\angle AED\). Значит в треугольнике ADE равны углы при A и E, следовательно, \(AD=DE\).
Таким образом, сторона AD соответствует 3 частям, а сторона \(AB=DC=DE+EC\) — \(3+4=7\) частям. Полупериметр равен \(42:2=21\), поэтому \(3x+7x=21\), откуда \(x=2{,}1\). Большая сторона равна \(7 \cdot 2{,}1=14{,}7\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24332.
Верный ответ: -4,5
Длина \(\vec a=(2;3)\) равна \(\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\), а длина \(\vec b=(-3;b_0)\) равна \(\sqrt{9+b_0^2}\). По условию:
\(\sqrt{9+b_0^2}=1{,}5\sqrt{13}\).
Возводим обе части в квадрат: \(9+b_0^2=2{,}25\cdot13=29{,}25\), откуда \(b_0^2=20{,}25\) и \(b_0=\pm4{,}5\). Значений два, а записать требуется меньшее.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21341.
Верный ответ: 4
В правильной треугольной пирамиде все три боковые грани равны, поэтому площадь одной грани равна \(24:3=8\). Основание \(ABC\) — равносторонний треугольник, значит, \(AB=BC=4\).
В боковой грани \(SAB\) отрезок \(SP\), проведённый к середине основания \(AB\), является высотой. Поэтому \(8=\frac12\cdot4\cdot SP\), откуда \(SP=4\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10313.
Верный ответ: 0,25
Все 8 туристов равноправны при жеребьёвке, а в магазин должны пойти ровно 2 человека. Следовательно, для каждого конкретного туриста благоприятны 2 места из 8 возможных мест в результате жеребьёвки.
Поэтому вероятность того, что турист А. окажется среди выбранных, равна 2 / 8 = 0,25. Здесь не требуется вероятность выбрать именно определённую пару: важно лишь попадание туриста А. в любую из пар с его участием.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10271.
Верный ответ: 0,65
Обозначим через \(x\) вероятность когда-нибудь попасть из 0 в -1. Вероятность шага вниз равна \(q=1-p=\frac{13}{33}\).
Рассмотрим первый шаг:
— с вероятностью \(q\) последовательность сразу попадает в -1;
— с вероятностью \(p\) она попадает в 1. Чтобы после этого достичь -1, нужно сначала спуститься из 1 в 0, а затем из 0 в -1. Из-за одинаковых правил на каждом уровне вероятность каждого такого спуска на единицу равна \(x\), поэтому вероятность двух последовательных этапов равна \(x^2\).
Получаем уравнение \(x=q+px^2\). Его корни: \(1\) и \(\frac{q}{p}\). Здесь \(p>q\), то есть движение вверх вероятнее движения вниз, поэтому попадание в -1 не является достоверным событием и корень \(x=1\) не подходит.
Следовательно, \(x=\frac{q}{p}=\frac{13/33}{20/33}=\frac{13}{20}=0,65\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15340.
Верный ответ: -15
Выразим обе части через основание \(6\):
\(\frac16=6^{-1}\), \(36=6^2\).
Получаем
\((6^{-1})^{15-x}=(6^2)^x\),
\(6^{-15+x}=6^{2x}\).
При одинаковых основаниях показатели равны:
\(-15+x=2x\).
После вычитания \(x\) из обеих частей получаем \(x=-15\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10462.
Верный ответ: 5
При возведении степени в степень показатели перемножаются:
\(\left(3^{\log_7 5}\right)^{\log_3 7}=3^{\log_7 5\cdot\log_3 7}\).
Произведение логарифмов сворачивается по формуле
\(\log_3 7\cdot\log_7 5=\log_3 5\).
Поэтому выражение равно
\(3^{\log_3 5}=5\): степень с основанием 3 и логарифм по основанию 3 взаимно уничтожают друг друга.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10238.
Верный ответ: 0,25
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной: \(f'(x_0)=k\). Возьмём две отмеченные точки касательной: \((-4;1)\) и \((4;3)\).
При увеличении \(x\) на \(4-(-4)=8\) значение \(y\) увеличивается на \(3-1=2\). Поэтому \(k=\dfrac{2}{8}=\dfrac14=0{,}25\). Касательная поднимается слева направо, поэтому знак производной положительный.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10198.
Верный ответ: 33
Из равенства \(l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}\) получаем формулу для высоты:
$$h=\frac{500l^2}{R}=\frac{5l^2}{64}.$$
При видимости горизонта на 6,4 км человек находится на высоте \(h_1=3{,}2\) м. Чтобы видеть горизонт на 11,2 км, нужна высота
$$h_2=\frac{5\cdot11{,}2^2}{64}=9{,}8\text{ м}.$$
Разность высот равна \(9{,}8-3{,}2=6{,}6\) м. Переводим высоту ступеньки: 20 см \(=0{,}2\) м, после чего делим требуемый подъём на высоту одной ступеньки: \(6{,}6:0{,}2\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10448.
Верный ответ: 56
Пусть скорость первого автомобиля равна x км/ч, а каждая половина пути имеет длину S км. Тогда время первого автомобиля равно 2S/x.
Второй автомобиль первую половину пути проехал со скоростью 44 км/ч, а вторую — со скоростью x + 21 км/ч. Его время:
S/44 + S/(x + 21).
Времена равны, поэтому после сокращения на S:
2/x = 1/44 + 1/(x + 21).
Получаем уравнение x² - 23x - 1848 = 0, его корни равны 56 и -33.
Отрицательная скорость не имеет смысла, поэтому такой корень исключается.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10354.
Верный ответ: -61
Вершина параболы — точка \((-2;3)\), поэтому \(f(x)=a(x+2)^2+3\).
По графику \(f(0)=-1\). Подставим эту точку: \(-1=4a+3\), значит, \(a=-1\).
Получаем \(f(x)=-(x+2)^2+3=-x^2-4x-1\). При \(x=-10\): \(f(-10)=-100+40-1=-61\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15339.
Верный ответ: -12
Найдём производную дроби:
\(y'=\frac{x^2-144}{(x^2+144)^2}=\frac{(x-12)(x+12)}{(x^2+144)^2}\).
Знаменатель всегда положителен, поэтому знак производной задаёт числитель. При \(x<-12\) производная положительна, а при \(-12
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10393.
Верный ответ:
а) \(-1;\ 4;\ 6-\sqrt{22};\ 6+\sqrt{22}\).
б) \(-1;\ 6-\sqrt{22}\).
Пояснение.
Положим \(t=x-2\). По области допустимых значений \(t\neq0\), то есть \(x\neq2\). Уравнение принимает вид
\(\frac{t^2}{2}+\frac{18}{t^2}=7\left(\frac t2-\frac3t\right)+10\).
Умножим обе части на \(2t^2\), что допустимо при \(t\neq0\):
\(t^4-7t^3-20t^2+42t+36=0\). Многочлен раскладывается на множители:
\((t-2)(t+3)(t^2-8t-6)=0\).
Поэтому \(t=2\), \(t=-3\) или \(t=4\pm\sqrt{22}\). Возвращаясь к \(x=t+2\), получаем четыре корня из пункта а; ни один из них не нарушает ОДЗ.
На отрезке \([-2;2]\) находятся \(-1\) и \(6-\sqrt{22}\approx1{,}31\). Корень \(4\) и число \(6+\sqrt{22}\) расположены правее отрезка.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10489.
Верный ответ: б) \(\frac12\).
а) В равнобедренном треугольнике половина основания равна \(16\), поэтому его высота равна \(\sqrt{20^2-16^2}=12\). Разместим точки так: \(A(-16;0;0)\), \(C(16;0;0)\), \(B(0;12;0)\), а верхнее основание находится на высоте \(24\). Тогда \(M(0;0;24)\). Из \(BP:PB_1=1:3\) следует \(BP=6\), поэтому \(P(0;12;6)\).
Вектор \(\overrightarrow{MP}=(0;12;-18)\) не имеет составляющей вдоль оси \(AC\), тогда как \(\overrightarrow{AC}=(32;0;0)\). Их скалярное произведение равно нулю, значит, \(MP\perp AC\).
б) Плоскость \(ACP\) содержит прямую \(AC\). В сечении плоскостью, перпендикулярной \(AC\), её наклон задаёт отрезок с горизонтальной составляющей \(12\) и подъёмом \(6\). Поэтому тангенс угла между \(ACP\) и плоскостью основания равен \(\frac6{12}=\frac12\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10205.
Верный ответ: \(\left(-5;-1\right)\cup\left(\frac32;+\infty\right)\).
Решение.
По ОДЗ \(x\ne-1\). Выразим обе части через основание \(3\):
\( \sqrt[3]{27^{2x-3}}=3^{2x-3}\),
\( \sqrt{81^{\frac{6-4x}{x+1}}}=3^{\frac{12-8x}{x+1}}\).
Так как \(3\gt 1\), получаем неравенство для показателей:
\( 2x-3\gt \frac{12-8x}{x+1}\), или \(\frac{2x^2+7x-15}{x+1}\gt 0\).
Числитель раскладывается как \((2x-3)(x+5)\). Критические точки: \(-5\), \(-1\), \(\frac32\). Метод интервалов даёт положительные значения дроби на \((-5;-1)\) и \(\left(\frac32;+\infty\right)\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10434.
Верный ответ: 44 000 000 рублей.
Сравним доход с одного гектара для каждой культуры.
Первое поле:
картофель: \(400\cdot5000=2\,000\,000\) руб. с гектара;
свёкла: \(300\cdot6000=1\,800\,000\) руб. с гектара.
Здесь выгоднее занять всё поле картофелем.
Второе поле:
картофель: \(300\cdot5000=1\,500\,000\) руб. с гектара;
свёкла: \(400\cdot6000=2\,400\,000\) руб. с гектара.
Здесь выгоднее выращивать только свёклу.
Деление поля между культурами не увеличит доход: каждый гектар следует отдать той культуре, которая именно на этом поле приносит больше денег. Поэтому максимальный доход равен
\(10\cdot2\,000\,000+10\cdot2\,400\,000=44\,000\,000\) рублей.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10208.
Верный ответ: б) \(4\sqrt5\).
а) Лучи BM и BN являются соответственно внутренней и внешней биссектрисами угла B, поэтому \(\angle MBN=90^\circ\). По той же причине \(\angle MCN=90^\circ\). Значит, точки B, C, M, N лежат на одной окружности, причём MN — её диаметр.
Углы \(\angle BMN\) и \(\angle BCN\) опираются на хорду BN, поэтому равны. Так как CN — биссектриса угла ACB, \(\angle BCN=\frac12\angle ACB\). Следовательно, \(2\angle BMN=\angle ACB\).
б) Точка M — центр вневписанной окружности, противоположной вершине B. В равнобедренном треугольнике \(AB=AC=s\), \(BC=a\) симметричные расстояния BM и CN вычисляются одинаково:
\[BM^2=s(2s+a).\]
При \(s=5\), \(a=6\): \(BM^2=5(10+6)=80\). Поскольку длина положительна, \(BM=\sqrt{80}=4\sqrt5\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10150.
Верный ответ: \(k>\dfrac12\), \(k\ne\dfrac{2+\sqrt2}{2}\).
Знаменатель исходной дроби не должен обращаться в ноль, поэтому \(t\ne\dfrac\pi4\). При допустимом \(t\) умножим уравнение на \(\cos t-\sin t\):
\[1+(2-2k)\sin t=2k(\cos t-\sin t).\]
Слагаемые с \(k\sin t\) сокращаются, и получаем
\[k=\frac{1+2\sin t}{2\cos t}=\tan t+\frac{1}{2\cos t}.\]
На интервале \(\left(0;\dfrac\pi2\right)\) обе функции справа строго возрастают. При \(t\to0+\) их сумма стремится к \(\dfrac12\), но этого значения не достигает, а при \(t\to\dfrac\pi2-\) неограниченно возрастает. Поэтому возможны все \(k>\dfrac12\), кроме значения, соответствующего запрещённой точке \(t=\dfrac\pi4\):
\[k=1+\frac1{\sqrt2}=\frac{2+\sqrt2}{2}.\]
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10209.
Верный ответ:
а) да;
б) нет;
в) 26.
а) В сундуке всего \(50\cdot1+50\cdot3=200\) дукатов, поэтому каждому из 20 пиратов полагается по 10 дукатов. Например, десяти пиратам можно выдать по три трёхдукатные и по одной однодукатной монете, а другим десяти — по две трёхдукатные и четыре однодукатные. При этом будут использованы ровно 50 монет каждого вида.
б) При делении между 40 пиратами каждый должен получить по 5 дукатов. Даже самый экономный по однодукатным монетам вариант — одна монета в 3 дуката и две монеты по 1 дукату. Поэтому понадобилось бы не менее \(40\cdot2=80\) однодукатных монет, а их только 50.
в) Пусть \(R\) — сумма остатков всех 26 назначенных долей при делении на 3. Имеем \(R\le26\cdot2=52\), а из общей суммы 200 следует \(R\equiv200\equiv2\pmod3\). Следующее после 50 число с таким остатком равно 53, поэтому \(R\le50\). Остатки выдаём однодукатными монетами, а оставшиеся однодукатные монеты группируем по три и заменяем ими нужное количество трёхдукатных монет.
Для 27 пиратов можно назначить первым 26 по 2 дуката. На это потребуются 52 однодукатные монеты, поэтому такое распределение выполнить невозможно.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10134.
