Тест ЕГЭ по профильной математике 2027, вариант 4

1. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Найдите меньшую сторону параллелограмма, если его периметр равен 15.

Верный ответ: 2,5

Обозначим параллелограмм ABCD так, что биссектрисы соседних углов A и B пересекаются в точке E на стороне DC.
Для биссектрисы AE имеем $\angle DAE=\angle EAB$. Так как $AB \parallel DE$, угол $EAB$ равен углу $AED$. Поэтому треугольник ADE равнобедренный и $DE=AD$. Аналогично из биссектрисы BE и параллельности $AB \parallel EC$ получаем $EC=BC$.
В параллелограмме $AD=BC$, значит $DE=EC=AD$. Следовательно, $DC=DE+EC=2AD$, то есть одна сторона вдвое больше другой. Пусть меньшая сторона равна $x$, тогда большая равна $2x$. Полупериметр равен $15:2=7{,}5$, поэтому $x+2x=7{,}5$, откуда $x=2{,}5$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24333.

2. Даны векторы $ \vec a $(4; -1) и $ \vec b $($ {b_0} $; 8). Найдите $ {b_0} $, если $ \left| {\vec b} \right| = 2,5\left| {\vec a} \right| $. Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.

Верный ответ: 6,5

Для $\vec a=(4;-1)$ получаем $|\vec a|=\sqrt{17}$, а для $\vec b=(b_0;8)$: $|\vec b|=\sqrt{b_0^2+64}$. По условию:
$\sqrt{b_0^2+64}=2{,}5\sqrt{17}$.
После возведения в квадрат: $b_0^2+64=6{,}25\cdot17=106{,}25$, поэтому $b_0^2=42{,}25$ и $b_0=\pm6{,}5$. Из двух значений выбираем большее.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21342.

3. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если все его рёбра увеличить в 7 раз?

Верный ответ: 49

Площадь поверхности куба зависит от квадрата длины ребра: $S=6a^2$. Если ребро увеличить в 7 раз, новая площадь будет равна $6(7a)^2=49\cdot6a^2$.
Следовательно, площадь увеличится в $7^2=49$ раз.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10503.

4. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 4, но не дойдя до отметки 7.

Верный ответ: 0,25

За полный оборот часовая стрелка проходит 12 равных часовых промежутков. Условие «достигнув отметки 4, но не дойдя до отметки 7» соответствует промежутку от 4 до 7 продолжительностью 3 часа.

При случайном моменте остановки вероятность пропорциональна длине этого промежутка, поэтому она равна 3 / 12 = 0,25. Считать нужно именно промежутки времени, а не количество подписанных отметок на циферблате.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10309.

5. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс. В каждом очередном Киндер-сюрпризе с равной вероятностью может оказаться любая из них, а содержимое разных яиц независимо. У Маши уже есть шесть разных принцесс. Какова вероятность того, что новую принцессу, которой ещё нет в коллекции Маши, удастся получить, купив ещё одно или два шоколадных яйца?

Верный ответ: 0,64

У Маши уже есть 6 из 10 принцесс, поэтому вероятность получить в одном яйце уже имеющуюся принцессу равна $\frac{6}{10}=0,6$.

Удобнее рассмотреть противоположное событие: новая принцесса не попадётся ни в первом, ни во втором яйце. Для этого оба раза должна попасться одна из уже имеющихся принцесс. Так как содержимое яиц независимо, вероятности перемножаются:
$P(\text{две повторные принцессы})=\left(\frac{6}{10}\right)^2=0,36$.

Значит, вероятность получить новую принцессу не позднее второй покупки равна $1-\left(\frac{6}{10}\right)^2=0,64$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15342.

6. Найдите корень уравнения $ {5^{4 - x}} = 25 $.

Верный ответ: 2

Представим правую часть как степень того же основания:
$25=5^2$.
Получаем $5^{4-x}=5^2$. Поскольку основание $5$ положительно и не равно $1$, равенство степеней означает равенство показателей:
$4-x=2$.
Отсюда $-x=-2$, поэтому $x=2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10253.

7. Найдите значение выражения $ \frac{{4\cos 146^\circ }}{{\cos 34^\circ }} $.

Верный ответ: -4

Представим угол как $146^\circ=180^\circ-34^\circ$. По формуле приведения
$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$,
следовательно, $\cos146^\circ=-\cos34^\circ$.

После подстановки одинаковые косинусы сокращаются:
$\frac{4\cos146^\circ}{\cos34^\circ}=\frac{-4\cos34^\circ}{\cos34^\circ}=-4$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10371.

8. На рисунке изображены график функции y = f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Верный ответ: 5

На рисунке функция убывает в тех отмеченных точках, где график направлен вниз слева направо. Именно в таких точках угловой коэффициент касательной, а значит и производная, отрицателен.
Это происходит при $x_1, x_2, x_3, x_4$ и $x_5$. В точках $x_6, x_7$ и $x_8$ график уже не убывает: он находится около минимума или поднимается. Поэтому подходят пять точек.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10464.

9. Рейтинг $R $ интернет-магазина вычисляется по формуле $$ R = {r_{пок}} - \frac{{{r_{пок}} - {r_{экс}}}}{{{{(K + 1)}^m}}}, $$ где $ m = \frac{{0,02K}}{{{r_{пок}} + 0,1}} $, $ {{r_{пок}}} $ - средняя оценка магазина покупателями, $ {{r_{экс}}} $ - оценка магазина, данная экспертами, $K $ - число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 26, их средняя оценка равна 0,68, а оценка экспертов равна 0,32.

Верный ответ: 0,64

Сначала вычислим показатель степени:
$$m=\frac{0{,}02\cdot26}{0{,}68+0{,}1}=\frac{0{,}52}{0{,}78}=\frac23.$$
Тогда $(K+1)^m=27^{2/3}=(\sqrt[3]{27})^2=3^2=9$. Разность между оценкой покупателей и оценкой экспертов равна $0{,}68-0{,}32=0{,}36$.
Подставляем значения в формулу рейтинга:
$$R=0{,}68-\frac{0{,}36}{9}=0{,}68-0{,}04=0{,}64.$$

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10296.

10. Если смешать 14-процентный раствор кислоты и 98-процентный раствор этой же кислоты и добавить 10 кг чистой воды, получится 70-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 74-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 14-процентного раствора использовали для получения смеси?

Верный ответ: 30

Обозначим массы 14-процентного и 98-процентного растворов через x и y кг, а массу готовой смеси — через M.

Во втором опыте вместо воды добавили 10 кг 50-процентного раствора, поэтому кислоты стало на 5 кг больше. Концентрация увеличилась с 70% до 74%, то есть на 4 процентных пункта:
(0,74 - 0,70)M = 5,
M = 125 кг.
Следовательно, x + y = 125 - 10 = 115.

Для смеси с водой записываем баланс кислоты:
0,14x + 0,98y = 0,70 · 125 = 87,5.
После подстановки y = 115 - x получаем x = 30 кг. Небольшое изменение концентрации при добавлении 5 кг кислоты объясняется большой общей массой смеси.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10468.

11. На рисунке изображён график функции $f(x)=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите значение $f(10)$.

Верный ответ: 47

Вершина параболы находится в точке $(3;-2)$, поэтому $f(x)=a(x-3)^2-2$.
На графике видна точка $(1;2)$. Подставим её координаты: $2=4a-2$, откуда $a=1$.
Значит, $f(x)=(x-3)^2-2=x^2-6x+7$. Тогда $f(10)=100-60+7=47$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15341.

12. Найдите точку минимума функции $ y = (10 - x){e^{10 - x}} $.

Верный ответ: 11

Применим правило производной произведения:
$y'=-e^{10-x}-(10-x)e^{10-x}=(x-11)e^{10-x}$.
Показательная функция всегда положительна, поэтому знак производной совпадает со знаком $x-11$. При $x<11$ функция убывает, а при $x>11$ возрастает.
Следовательно, в точке $x=11$ убывание сменяется возрастанием — это точка минимума.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10488.

Часть 2

13. Выполните следующие пункты:

а) Решите уравнение $ \sin x + \sqrt {\frac{3}{2}\left( {1 - \cos x} \right)} = 0 $.
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $ \left[ { - \frac{{13\pi }}{2}; - 5\pi } \right] $.

Верный ответ:
а) $x=2\pi k$ или $x=-\frac\pi3+2\pi k$, $k\in Z$.
б) $-\frac{19\pi}{3};\ -6\pi$.

Пояснение.
Перенесём корень вправо: $\sin x=-\sqrt{\frac32(1-\cos x)}$. Поэтому обязательно $\sin x\leqslant0$.
После возведения в квадрат получаем $\sin^2x=\frac32(1-\cos x)$. Используем $\sin^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)$:
$(1-\cos x)\left(\cos x-\frac12\right)=0$.
Если $\cos x=1$, то $x=2\pi k$, и исходное равенство выполняется. Если $\cos x=\frac12$, из двух возможных четвертей выбираем ту, где синус неположителен: $x=-\frac\pi3+2\pi k$.
На отрезке $\left[-\frac{13\pi}{2};-5\pi\right]$ первая серия даёт $-6\pi$, а вторая — $-\frac{19\pi}{3}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10432.

14. На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 4 : 1, на ребре BB₁ - точка F так, что B₁F : FB = 3 : 2, а на ребре B₁C₁ - точка T так, что B₁T : TC₁ = 3 : 1. Известно, что AB = 3, AD = 4, AA₁ = 5.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁.

Верный ответ: б) $\arccos\frac1{\sqrt{19}}$.
Пусть $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $D(0;4;0)$, $A_1(0;0;5)$. Из отношений на рёбрах получаем $E(0;0;1)$, $F(3;0;2)$, $T(3;3;5)$.
а) Плоскость $EFT$ имеет уравнение $-x-3y+3z=3$. Для $D_1(0;4;5)$ левая часть равна $-12+15=3$, значит, $D_1\in(EFT)$.
б) Нормаль к этой плоскости — $(-1;-3;3)$. Грань $BB_1C_1$ лежит в плоскости $x=3$, нормаль к которой равна $(1;0;0)$. Поэтому $\cos\alpha=\frac1{\sqrt{1+9+9}}=\frac1{\sqrt{19}}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10471.

15. Решите неравенство $ {2^x} + 3 \cdot {2^{ - x}} \le 4 $.

Верный ответ: $\left[0;\log_2 3\right]$.

Решение.
Положим $t=2^x\gt 0$. Тогда $2^{-x}=\frac1t$, и неравенство принимает вид
$ t+\frac3t\le4$.
Умножаем на положительное $t$, поэтому знак неравенства не меняется:
$ t^2-4t+3\le0$, или $(t-1)(t-3)\le0$.
Отсюда $1\le t\le3$. Так как $t=2^x$ и функция $2^x$ возрастает, получаем $2^0\le2^x\le3$, то есть $0\le x\le\log_2 3$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10339.

16. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12 месяцев?

Верный ответ: 1 866 000 рублей.

За 24 месяца долг 2,4 млн рублей уменьшается равными частями, поэтому каждый месяц погашается
$\frac{2\,400\,000}{24}=100\,000$ рублей основного долга.
За первые 12 месяцев будет погашено $1\,200\,000$ рублей.

Проценты начисляются на остатки долга 2,4 млн, 2,3 млн, 2,2 млн, ..., 1,3 млн рублей. Это 12 членов арифметической прогрессии, сумма которых равна
$\frac{2{,}4+1{,}3}{2}\cdot12=22{,}2$ млн рублей.
Три процента от этой суммы составляют $0{,}666$ млн, то есть 666 000 рублей.

Выплаты за первые 12 месяцев складываются из погашенной части долга и процентов:
$1\,200\,000+666\,000=1\,866\,000$ рублей.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10341.

17. На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что $\cos\angle ABC=\frac34$. В каком отношении прямая DL делит сторону AB?

Верный ответ: б) $4:21$ (считая отношение от вершины A).

а) Обозначим $\angle ABC=\alpha$. Так как BL — биссектриса, $\angle LBC=\alpha/2$. В равнобедренном треугольнике BLD основание — BD, поэтому его углы при B и D равны: $\angle BDL=\alpha/2$. Поскольку точки B, C, D лежат на одной прямой, $\angle CDL=\alpha/2$.
Треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, следовательно, $\angle BCA=\alpha$. Луч CD противоположен лучу CB, поэтому $\angle DCL=180^\circ-\alpha$. Тогда третий угол треугольника DCL равен $\alpha/2$, то есть $\angle CDL=\angle CLD$. Значит, $CD=CL$.

б) Пусть $E=DL\cap AB$, а $c=\cos\alpha$. Для равнобедренного треугольника ABC $BC=2AB\,c$. По теореме о биссектрисе
\[\frac{AL}{LC}=\frac{AB}{BC}=\frac1{2c}.\]
Из пункта а) $CD=CL$, поэтому $BD=BC+CD$. Применим теорему Менелая к треугольнику ABC и секущей ELD:
\[\frac{AE}{EB}=\frac{CD}{BD}\cdot\frac{AL}{LC}=\frac1{4c(1+c)}.\]
При $c=3/4$ получаем $AE:EB=4:21$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10264.

18. Найдите все значения $a $, при каждом из которых уравнение $ {a^2} + 11\left| {x + 2} \right| + 3\sqrt {{x^2} + 4x + 13} $ $ = 5a + 2\left| {x - 2a + 2} \right| $ имеет хотя бы один корень.

Верный ответ: $\left[\dfrac{9-3\sqrt5}{2};\dfrac{9+3\sqrt5}{2}\right]$.

Положим $u=x+2$. Тогда уравнение можно записать как равенство нулю выражения
\[a^2-5a+11|u|+3\sqrt{u^2+9}-2|u-2a|.\]
По неравенству треугольника
\[|u-2a|\le|u|+2|a|.\]
Поэтому
\[11|u|+3\sqrt{u^2+9}-2|u-2a|\ge9|u|+3\sqrt{u^2+9}-4|a|\ge9-4|a|.\]
Равенство достигается при $u=0$, значит, минимальное значение всей левой части равно
\[a^2-5a+9-4|a|.\]
Как функция от $u$, левая часть непрерывна и при $|u|\to\infty$ стремится к $+\infty$. Поэтому корень существует тогда и только тогда, когда найденный минимум не положителен.
При $a<0$ получаем $a^2-a+9\le0$, что невозможно. При $a\ge0$:
\[a^2-9a+9\le0.\]
Корни этого квадратного трёхчлена равны $\dfrac{9\pm3\sqrt5}{2}$, поэтому между ними неравенство выполняется.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10304.

19. Конечная возрастающая последовательность ${a_1}$, ${a_2}$, ... , ${a_n}$, состоит из n $ \ge $ 3 различных натуральных чисел, причём при всех натуральных $ k \le n - 2 $ выполнено равенство $ 7{a_{k + 2}} = 8{a_{k + 1}} - {a_k} $.
а) Приведите пример такой последовательности при $ n $ = 5.
б) Может ли в такой последовательности при некотором $n$ $ \ge $ 3 выполняться равенство $ 6{a_n} = 7{a_2} - {a_1} $ ?
в) Какое наименьшее значение может принимать ${a_1}$, если ${a_n}$ = 190?

Верный ответ:
а) например, 1, 344, 393, 400, 401;
б) нет;
в) 6.

Обозначим $d_k=a_{k+1}-a_k$. Из условия $7a_{k+2}=8a_{k+1}-a_k$ получаем $7d_{k+1}=d_k$: положительные разности уменьшаются в 7 раз.
а) Разности в примере равны 343, 49, 7 и 1, поэтому условие выполнено.
б) Пусть последняя разность равна $t>0$. Тогда $d_1=7^{n-2}t$ и $a_n=a_1+t(1+7+\ldots+7^{n-2})$. Правая часть равенства равна $7a_2-a_1=6a_1+7^{n-1}t$, а левая — $6a_n=6a_1+(7^{n-1}-1)t$. Правая часть больше на $t$, поэтому равенство невозможно.
в) Имеем $190=a_1+tS$, где $S=1+7+\ldots+7^{n-2}$. Значения $S<190$ равны 8 и 57. Наименьшие положительные остатки равны 6 и 19, поэтому минимум получается при $n=3$: $190=6+23\cdot8$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10476.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Вариант 4

Часть 2