Тест ЕГЭ по профильной математике 2027, вариант 5

1. В треугольнике ABC высота AH равна 13, AB = BC, AC = 20. Найдите синус угла CAB.

Верный ответ: 0,65

Подсказка: площадь можно выразить двумя способами: $S = \frac12 \cdot BC \cdot AH$ и $S = \frac12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$. Так как $AB = BC$, получаем $AH = AC \cdot \sin A$. Тогда $\sin A = 13 / 20 = 0,65$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24334.

2. На координатной плоскости изображены векторы $ \vec a $, $ \vec b $ и $ \vec c $. Найдите длину вектора $ \vec a + \vec b + \vec c $.

Верный ответ: 5

Считываем координаты векторов с рисунка: $\vec a=(4;-3)$, $\vec b=(0;4)$, $\vec c=(-8;2)$. Складываем координаты отдельно:
$\vec a+\vec b+\vec c=(4+0-8;-3+4+2)=(-4;3)$.
Длина полученного вектора равна $\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21343.

3. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $ \frac{2}{3} $ высоты. Объём жидкости равен 192 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Верный ответ: 456

При высоте жидкости $\frac23$ высоты сосуда меньший и полный конусы подобны с коэффициентом $\frac23$. Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента, поэтому жидкость занимает $\frac8{27}$ вместимости сосуда.
Полный объём равен $192\cdot\frac{27}{8}=648$ мл. Недостающий объём равен $648-192=456$ мл.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10465.

4. Клиент получает в банке кредитную карту. Три последние цифры номера карты случайные. Какова вероятность того, что эти последние три цифры идут подряд в порядке убывания, например 876 или 432?

Верный ответ: 0,008

Для трёх последних цифр существует 10³ = 1000 равновероятных вариантов, поскольку каждая позиция может содержать любую цифру от 0 до 9.

Условию соответствуют записи 987, 876, 765, 654, 543, 432, 321 и 210 — всего 8 вариантов. Первой цифрой может быть число от 2 до 9, а две следующие после этого определяются однозначно.

Поэтому вероятность равна 8 / 1000 = 0,008.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10138.

5. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс. В каждом очередном Киндер-сюрпризе с равной вероятностью может оказаться любая из них, а содержимое разных яиц независимо. У Маши уже есть семь разных принцесс. Какова вероятность того, что новую принцессу, которой ещё нет в коллекции Маши, удастся получить, купив ещё одно или два шоколадных яйца?

Верный ответ: 0,51

У Маши уже есть 7 из 10 принцесс, поэтому вероятность получить в одном яйце уже имеющуюся принцессу равна $\frac{7}{10}=0,7$.

Удобнее рассмотреть противоположное событие: новая принцесса не попадётся ни в первом, ни во втором яйце. Для этого оба раза должна попасться одна из уже имеющихся принцесс. Так как содержимое яиц независимо, вероятности перемножаются:
$P(\text{две повторные принцессы})=\left(\frac{7}{10}\right)^2=0,49$.

Значит, вероятность получить новую принцессу не позднее второй покупки равна $1-\left(\frac{7}{10}\right)^2=0,51$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15344.

6. Решите уравнение $ \frac{{x - 7}}{{7x + 9}} = \frac{{x - 7}}{{x - 3}} $. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Верный ответ: 7

Сначала учтём ограничения: знаменатели не должны обращаться в ноль, поэтому $x\ne -\frac97$ и $x\ne 3$.

У дробей одинаковый числитель $x-7$, но сразу сокращать его нельзя: при $x=7$ он равен нулю, и этот корень можно потерять. Выполним перекрёстное умножение:
$(x-7)(x-3)=(x-7)(7x+9)$.
Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:
$(x-7)((x-3)-(7x+9))=0$,
$-6(x-7)(x+2)=0$.
Отсюда $x=7$ или $x=-2$. Оба числа допустимы, а по условию требуется больший корень, поэтому выбираем $7$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10101.

7. Найдите значение выражения $ {\log _6}126 - {\log _6}3{,}5 $.

Верный ответ: 2

Логарифмы имеют одинаковое основание, поэтому их разность можно заменить логарифмом частного:
$\log_6 126-\log_6 3{,}5=\log_6\frac{126}{3{,}5}$.
Поскольку $126:3{,}5=36$, получаем
$\log_6 36=\log_6 6^2=2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10257.

8. На рисунке изображён график $ y = f'(x) $ - производной функции $ f(x) $, определённой на интервале $ (-5; 7) $. Найдите точку экстремума функции $ f(x) $, принадлежащую отрезку $ [-3; 5] $.

Верный ответ: 3

Экстремум функции возможен в нуле производной, но важно проверить ещё и смену её знака. При $x=3$ график $f'(x)$ пересекает ось абсцисс снизу вверх.
Следовательно, слева от 3 производная отрицательна и функция $f(x)$ убывает, а справа производная положительна и функция возрастает. Поэтому при $x=3$ функция имеет минимум.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10141.

9. Зависимость температуры (в кельвинах) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задаётся выражением $ T(t) = {T_0} + at + b{t^2} $, где $ {T_0} $ = 900 К, $ a $ = 31 К/мин, $ b $ = -0,2 К/мин². Известно, что при температурах нагревателя свыше 1550 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

Верный ответ: 25

Найдём моменты, когда температура достигает предельно допустимого значения 1550 К:
$$900+31t-0{,}2t^2=1550.$$
После переноса и умножения на $-5$ получаем:
$$t^2-155t+3250=0,$$
откуда $t=25$ или $t=130$.
Коэффициент при $t^2$ в исходной функции отрицательный, поэтому график — парабола с ветвями вниз. Следовательно, температура выше 1550 К между найденными моментами. Прибор нужно отключить при первом достижении опасной границы; ждать 130-й минуты нельзя, поскольку до неё прибор уже находится в опасном температурном интервале.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10258.

10. Игорь и Паша могут покрасить забор за 30 часов. Паша и Володя могут покрасить этот же забор за 36 часов, а Володя и Игорь - за 45 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?

Верный ответ: 24

Пусть производительности Игоря, Паши и Володи равны a, b и c забора в час. Тогда:
a + b = 1/30,
b + c = 1/36,
c + a = 1/45.

Сложим равенства. Производительность каждого мальчика войдёт в сумму дважды:
2(a + b + c) = 1/30 + 1/36 + 1/45 = 1/12.
Значит, общая производительность троих равна 1/24 забора в час.

Время покраски всего забора является величиной, обратной этой производительности.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10373.

11. На рисунке изображён график функции $f(x)=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите значение $f(-4)$.

Верный ответ: -44

Вершина параболы — точка $(3;5)$, поэтому $f(x)=a(x-3)^2+5$.
График проходит через точку $(1;1)$: $1=4a+5$, откуда $a=-1$. Отрицательное значение $a$ согласуется с тем, что ветви направлены вниз.
Следовательно, $f(x)=-(x-3)^2+5=-x^2+6x-4$. При $x=-4$: $f(-4)=-16-24-4=-44$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15343.

12. Найдите наибольшее значение функции $ y = \ln\left((x + 5)^5\right) - 5x $ на отрезке $ \left[-4{,}5;0\right] $.

Верный ответ: 20

На данном отрезке $x+5>0$, поэтому $\ln((x+5)^5)=5\ln(x+5)$.
Найдём производную: $y'=\frac5{x+5}-5=-\frac{5(x+4)}{x+5}$. Знаменатель положителен. При $x<-4$ производная положительна, а при $x>-4$ — отрицательна.
Следовательно, до точки $x=-4$ функция возрастает, а после неё убывает, поэтому там достигается максимум. $y(-4)=\ln1+20=20$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10298.

Часть 2

13. Выполните следующие пункты:

а) Решите уравнение $ \frac{{2\cos x - \sqrt 3 }}{{\sqrt {7\sin x} }} = 0 $.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $ \left[ {\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right] $.

Верный ответ:
а) $x=\frac\pi6+2\pi k$, $k\in Z$.
б) $\frac{13\pi}{6}$.

Пояснение.
Поскольку квадратный корень стоит в знаменателе, недостаточно условия $7\sin x\geqslant0$: знаменатель ещё не должен быть равен нулю. Поэтому обязательно $\sin x>0$.
Для равенства дроби нулю её числитель должен обращаться в ноль: $2\cos x-\sqrt3=0$, откуда $\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$. Формально это даёт $x=\pm\frac\pi6+2\pi k$.
В точках $-\frac\pi6+2\pi k$ синус отрицателен, поэтому корень в знаменателе не определён. В точках $\frac\pi6+2\pi k$ синус положителен, и эти значения подходят.
На отрезке $\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]$ условие выполняется только при $k=1$, что даёт $\frac{13\pi}{6}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10337.

14. Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер AB, AC и SA, отсекает от пирамиды SABC пирамиду, объём которой в 8 раз меньше объёма пирамиды SABC.
б) Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости, если SA = $ 2\sqrt 5 $, AB = AC = 10, BC = $ 4\sqrt 5 $.

Верный ответ: б) $2$.
а) Плоскость проходит через середины трёх рёбер $AB$, $AC$ и $AS$, выходящих из одной вершины $A$. Поэтому отсечённая у вершины $A$ пирамида подобна исходной с коэффициентом $\frac12$. Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: $(\frac12)^3=\frac18$.
б) Введём координаты: $A(0;0;0)$, $B(10;0;0)$, $C(6;8;0)$, $S(0;0;2\sqrt5)$. При этом $BC=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt5$, то есть все данные выполнены. Уравнение плоскости $SBC$: $2\sqrt5x+\sqrt5y+10z-20\sqrt5=0$. Расстояние от $A$ до неё равно $\frac{20\sqrt5}{\sqrt{20+5+100}}=4$. Плоскость середин получается из плоскости $SBC$ гомотетией с центром $A$ и коэффициентом $\frac12$, поэтому она находится от $A$ на вдвое меньшем расстоянии: $2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10281.

15. Решите неравенство $ \sqrt[5]{{{{32}^{4x - 3}}}} < \sqrt {{{16}^{\frac{{2x + 1}}{x}}}} $.

Верный ответ: $\left(-\infty;-\frac14\right)\cup\left(0;2\right)$.

Решение.
По ОДЗ $x\ne0$. Представим обе части как степени двойки:
$ \sqrt[5]{32^{4x-3}}=2^{4x-3}$,
$ \sqrt{16^{\frac{2x+1}{x}}}=2^{4+\frac2x}$.
Основание $2\gt 1$, поэтому сравниваем показатели:
$ 4x-3\lt 4+\frac2x$, или $\frac{4x^2-7x-2}{x}\lt 0$.
Числитель раскладывается: $4x^2-7x-2=(4x+1)(x-2)$. Критические точки равны $-\frac14$, $0$ и $2$. Метод интервалов даёт отрицательные значения дроби при $x\lt -\frac14$ и $0\lt x\lt 2$. Все границы исключаются, поскольку неравенство строгое, а $x=0$ не входит в ОДЗ.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10396.

16. 15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Верный ответ: 115.

За 9 месяцев основной долг уменьшается одинаковыми частями. Перед начислением процентов его значения равны
$S,\ \frac89S,\ \frac79S,\ldots,\frac19S$.
Сумма этих остатков равна
$\frac{9+8+\ldots+1}{9}S=5S$.

Проценты за весь срок составят $0{,}03\cdot5S=0{,}15S$, то есть 15% от первоначального кредита. Вместе с возвратом суммы $S$ это даёт $1{,}15S$, или 115% от суммы кредита.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10474.

17. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.
б) Найдите отношение BP : PC, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.

Верный ответ: б) $2:1$.

а) Выберем ось Ox вдоль прямой AD. Пусть $P(0;0)$, а параллельная ей прямая через Q имеет уравнение $y=h$, где $Q(q;h)$. Любая окружность, проходящая через P, имеет уравнение $x^2+y^2+ux+vy=0$.
На прямой $y=0$ её второе пересечение имеет абсциссу $-u$. На прямой $y=h$ одна точка пересечения имеет абсциссу q, а сумма абсцисс двух точек равна $-u$, поэтому абсцисса второй точки равна $-u-q$. Значит, для первой окружности $\vec{AB}=(-q;h)$, а для второй $\vec{DC}=(-q;h)$. Следовательно, $AB\parallel DC$. По построению $AD\parallel BC$, поэтому ABCD — параллелограмм.

б) BP — хорда первой окружности, а PC — хорда второй. Для хорды $l=2R\sin\varphi$, где $\varphi$ — вписанный угол, опирающийся на неё. Поэтому
\[BP=2R_1\sin\angle BQP,\qquad PC=2R_2\sin\angle PQC.\]
Точки B, Q, C лежат на одной прямой, так что эти углы смежные и их синусы равны. Следовательно, $BP:PC=R_1:R_2=2:1$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10321.

18. Найдите все значения $ a $, при каждом из которых уравнение $$ {\left( {{x^2} + x + 2{a^2} + 1} \right)^2} = 8{a^2}({x^2} + x + 1) $$ имеет ровно один корень.

Верный ответ: $a=\pm\dfrac{\sqrt6}{4}$.

Обозначим $u=x^2+x+1$. Тогда уравнение принимает вид
\[(u+2a^2)^2=8a^2u.\]
После раскрытия скобок и переноса всё сворачивается в полный квадрат:
\[u^2-4a^2u+4a^4=(u-2a^2)^2=0.\]
Значит,
\[x^2+x+1=2a^2.\]
Это квадратное уравнение относительно $x$ имеет ровно один действительный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю:
\[D=1-4(1-2a^2)=8a^2-3=0.\]
Отсюда $a^2=\dfrac38$, что даёт два значения параметра.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10399.

19. Конечная возрастающая последовательность ${a_1}$, ${a_2}$, ... , ${a_n}$, состоит из n $ \ge $ 3 различных натуральных чисел, причём при всех натуральных $ k \le n - 2 $ выполнено равенство $ 2{a_{k + 2}} = 3{a_{k + 1}} - {a_k} $.
а) Приведите пример такой последовательности при $ n $ = 6.
б) Может ли в такой последовательности при некотором $n$ $ \ge $ 3 выполняться равенство $ {a_n} = 2{a_2} - {a_1} $ ?
в) Какое наименьшее значение может принимать ${a_1}$, если ${a_n}$ = 287?

Верный ответ:
а) например, 1, 49, 73, 85, 91, 94;
б) нет;
в) 2.

Пусть $d_k=a_{k+1}-a_k$. Из условия $2a_{k+2}=3a_{k+1}-a_k$ получаем $2d_{k+1}=d_k$: каждая предыдущая положительная разность вдвое больше следующей.
а) Разности в приведённой последовательности равны 48, 24, 12, 6 и 3, поэтому условие выполнено.
б) Пусть последняя разность равна $t>0$. Тогда $d_1=2^{n-2}t$ и $a_n=a_1+t(1+2+\ldots+2^{n-2})$. Правая часть равенства $2a_2-a_1$ равна $a_1+2^{n-1}t$, а $a_n=a_1+(2^{n-1}-1)t$. Правая часть больше на $t$, поэтому равенство невозможно.
в) Теперь $287=a_1+tS$, где $S=1+2+\ldots+2^{n-2}$. Возможные значения $S<287$: 3, 7, 15, 31, 63, 127 и 255. Наименьшие положительные значения $a_1$ для них равны 2, 7, 2, 8, 35, 33 и 32. Для $S=7$ обычный остаток равен нулю, но $a_1$ должно быть натуральным, поэтому берётся значение 7. Значение 2 достигается, например, уже при $n=3$: $287=2+95\cdot3$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10419.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Вариант 5

Часть 2