Тест ЕГЭ по профильной математике 2027, вариант 6

1. В треугольнике ABC высота AH равна $4\sqrt6$, AB = BC, AC = 25. Найдите косинус угла CAB.

Верный ответ: 0,92

Так как $AB=BC$, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, поэтому его углы при основании равны: $\angle CAB=\angle ACB$. Точка H лежит на прямой BC, а $AH \perp BC$, значит в прямоугольном треугольнике AHC
$\sin \angle ACB=AH/AC=4\sqrt6/25$. Следовательно, таким же является синус угла CAB.
Угол CAB острый, поэтому его косинус положителен: $\cos \angle CAB=\sqrt{1-96/625}=\sqrt{529/625}=23/25=0{,}92$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24335.

2. На координатной плоскости изображены векторы $ \vec a $, $ \vec b $ и $ \vec c $. Найдите длину вектора $ \vec a + \vec b + \vec c $.

Верный ответ: 13

По рисунку $\vec a=(4;4)$, $\vec b=(9;-3)$, $\vec c=(-1;-6)$. Тогда
$\vec a+\vec b+\vec c=(4+9-1;4-3-6)=(12;-5)$.
Длина вектора $(12;-5)$ равна $\sqrt{12^2+(-5)^2}=\sqrt{169}=13$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21344.

3. Объём цилиндра равен 12. Чему равен объем конуса, который имеет такое же основание и такую же высоту, как и данный цилиндр?

Верный ответ: 4

Объём цилиндра с площадью основания $S$ и высотой $h$ равен $Sh$. Объём конуса с теми же основанием и высотой равен $\frac13Sh$. Значит, такой конус занимает ровно треть объёма цилиндра.
Поэтому $12:3=4$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10199.

4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно три раза.

Верный ответ: 0,25

Каждый из четырёх бросков даёт два возможных результата, поэтому всего имеется 2⁴ = 16 равновероятных последовательностей.

Чтобы орёл выпал ровно три раза, в последовательности должна быть ровно одна решка. Её место можно выбрать четырьмя способами: решка может выпасть при первом, втором, третьем или четвёртом броске. Значит, благоприятных последовательностей 4.

Вероятность равна 4 / 16 = 0,25.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10366.

5. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс. В каждом очередном Киндер-сюрпризе с равной вероятностью может оказаться любая из них, а содержимое разных яиц независимо. У Маши уже есть восемь разных принцесс. Какова вероятность того, что новую принцессу, которой ещё нет в коллекции Маши, удастся получить, купив ещё одно или два шоколадных яйца?

Верный ответ: 0,36

У Маши уже есть 8 из 10 принцесс, поэтому вероятность получить в одном яйце уже имеющуюся принцессу равна $\frac{8}{10}=0,8$.

Удобнее рассмотреть противоположное событие: новая принцесса не попадётся ни в первом, ни во втором яйце. Для этого оба раза должна попасться одна из уже имеющихся принцесс. Так как содержимое яиц независимо, вероятности перемножаются:
$P(\text{две повторные принцессы})=\left(\frac{8}{10}\right)^2=0,64$.

Значит, вероятность получить новую принцессу не позднее второй покупки равна $1-\left(\frac{8}{10}\right)^2=0,36$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15346.

6. Найдите корень уравнения $ {32^{x - 3}} = \frac{1}{2} $.

Верный ответ: 2,8

Представим обе части как степени числа $2$:
$32=2^5$, а $\frac12=2^{-1}$.
Тогда
$(2^5)^{x-3}=2^{-1}$,
$2^{5(x-3)}=2^{-1}$.
Приравниваем показатели:
$5(x-3)=-1$.
Отсюда $5x-15=-1$, $5x=14$, поэтому $x=\frac{14}{5}=2{,}8$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10329.

7. Найдите значение выражения $ 4p (x-4) - p(4x) $, если $ p(x) = 2x + 5 $.

Верный ответ: -17

Сначала найдём значения функции для тех аргументов, которые стоят в выражении:
$p(x-4)=2(x-4)+5=2x-3$,
$p(4x)=2\cdot4x+5=8x+5$.

Теперь подставим их:
$4p(x-4)-p(4x)=4(2x-3)-(8x+5)=8x-12-8x-5=-17$.
Слагаемые $8x$ и $-8x$ сокращаются, поэтому значение выражения не зависит от $x$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10105.

8. На рисунке изображены график функции y = f(x) и девять точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Верный ответ: 4

Производная отрицательна, когда с увеличением $x$ значение функции уменьшается, то есть график идёт вниз. На возрастающих ветвях производная положительна, а в точной вершине или впадине с горизонтальной касательной она равна нулю.
На нисходящих участках расположены точки $x_1, x_3, x_4$ и $x_6$. Точки $x_2, x_7, x_8, x_9$ лежат на возрастающих участках, а $x_5$ находится в нижней точке графика. Поэтому условию удовлетворяют четыре точки.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10426.

9. Скорость движения автомобиля $ \upsilon $ (км/ч) и угловая скорость вращения вала двигателя $ {\omega _{двиг.}} $ (об/мин) связаны соотношением $$ \upsilon = \frac{{0,0006 \cdot \pi d{\omega _{двиг.}}}}{{kb}} $$ где $d $ - диаметр колеса (см), $k $ - передаточное число дифференциала автомобиля, $b $ - передаточное число коробки передач при выбранной передаче. В таблице указаны передаточные числа для автомобиля «Лада-Калина».

У автомобиля «Лада-Калина» диаметр колеса равен 58 см. Водитель двигается на 2-й передаче с постоянной скоростью. Прибор (тахометр) показывает, что число оборотов двигателя равно 3000 об/мин. Считайте, что $ \pi $ = 3,14. Найдите скорость автомобиля в км/ч. Результат округлите до целого значения.

Верный ответ: 45

Из таблицы берём передаточное число дифференциала $k=3{,}706$ и передаточное число 2-й передачи $b=1{,}950$. Остальные столбцы таблицы не используются, потому что автомобиль движется именно на второй передаче.
Подставляем $d=58$, $\omega_{двиг.}=3000$ и $\pi=3{,}14$:
$$\upsilon=\frac{0{,}0006\cdot3{,}14\cdot58\cdot3000}{3{,}706\cdot1{,}950}\approx45{,}36.$$
Округлять промежуточные вычисления не нужно: окончательное значение округляется до целого вниз, так как цифра в разряде десятых равна 3.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10106.

10. Первый сплав содержит 5% меди, второй - 11% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Верный ответ: 6

Пусть масса первого сплава равна x кг. Тогда масса второго сплава равна x + 4 кг, а масса полученного сплава — 2x + 4 кг.

Количество меди при смешивании сохраняется. В первом сплаве её 0,05x кг, во втором — 0,11(x + 4) кг, а в третьем — 10% от его массы:
0,05x + 0,11(x + 4) = 0,10(2x + 4).

После раскрытия скобок получаем x = 1 кг. Значит, массы исходных сплавов равны 1 кг и 5 кг; искомая масса складывается из этих двух величин.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10259.

11. На рисунке изображён график функции $f(x)=|kx+b|+c$, где числа $k$, $b$ и $c$ — целые, $k>0$. Найдите значение $f(-15{,}7)$.

Верный ответ: 35,4

Вершина графика модуля находится в точке $(3;-2)$. Поэтому функцию можно представить как $f(x)=k|x-3|-2$.
График проходит через точку $(2;0)$: $0=k\cdot1-2$, значит, $k=2$. Тогда $f(x)=2|x-3|-2=|2x-6|-2$.
При $x=-15{,}7$ выражение под модулем равно $-37{,}4$, а модуль меняет его знак: $f(-15{,}7)=|-37{,}4|-2=37{,}4-2=35{,}4$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15345.

12. Найдите точку минимума функции $ y = (1 - 2x)\cos x + 2\sin x + 7 $, принадлежащую промежутку $ \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) $.

Верный ответ: 0,5

Вычислим производную:
$y'=-2\cos x-(1-2x)\sin x+2\cos x=(2x-1)\sin x$.
На промежутке $\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$ синус положителен, поэтому знак производной определяется множителем $2x-1$. При $0\frac12$ — положительна.
Функция сначала убывает, затем возрастает, значит, точка $x=\frac12=0{,}5$ является точкой минимума.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10165.

Часть 2

13. Выполните следующие пункты:

а) Решите уравнение $ \cos x + \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{2} \cdot (\sin x + 1)} = 0 $.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $ \left[ {\frac{{ - 11\pi }}{2}; - 4\pi } \right] $.

Верный ответ:
а) $x=-\frac\pi2+2\pi k$ или $x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k$, $k\in Z$.
б) $-\frac{21\pi}{4};\ -\frac{9\pi}{2}$.

Пояснение.
Перенесём квадратный корень вправо: $\cos x=-\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2}(\sin x+1)}$. Квадратный корень неотрицателен, поэтому его значение со знаком «минус» неположительно. Следовательно, для решения обязательно $\cos x\leqslant0$. Это условие понадобится после возведения в квадрат.
Обозначим $A=\frac{2-\sqrt2}{2}$. После возведения в квадрат получаем $\cos^2x=A(1+\sin x)$. Так как $\cos^2x=(1-\sin x)(1+\sin x)$, то
$(1+\sin x)(1-\sin x-A)=0$.
Отсюда $\sin x=-1$ или $\sin x=1-A=\frac{\sqrt2}{2}$. В первом случае получаем $x=-\frac\pi2+2\pi k$. Во втором из двух четвертей выбираем только вторую, где косинус неположителен: $x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k$.
На заданном отрезке первая серия даёт $-\frac{9\pi}{2}$, а вторая — $-\frac{21\pi}{4}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10394.

14. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 6, точка M - середина ребра BC, точка O - центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды.
а) Найдите отношение, в котором плоскость CMF делит отрезок SA, считая от вершины S.
б) Найдите угол между плоскостью MCF и плоскостью ABC.

Верный ответ: а) $1:6$; б) $\arctan\frac{4\sqrt2}{3}$.
а) Возьмём начало координат в $S$, а векторы $\overrightarrow{SA}$, $\overrightarrow{SB}$, $\overrightarrow{SC}$ — за базис. Тогда $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;1)$, а центр основания $O(\frac13;\frac13;\frac13)$. Так как $SF:FO=1:2$, точка $F$ проходит треть пути от $S$ к $O$: $F(\frac19;\frac19;\frac19)$. Поскольку $M$ лежит на $BC$, плоскость $CMF$ совпадает с плоскостью $BCF$, уравнение которой $7x+y+z=1$. На ребре $SA$ точки имеют вид $(t;0;0)$, поэтому $7t=1$. Получаем $SX:XA=\frac17:\frac67=1:6$.
б) Прямые $AM$ и $SM$ перпендикулярны $BC$, поэтому плоскость $ASM$ перпендикулярна $BC$. Она пересекает основание по $AM$, а плоскость $MCF$ — по $MF$, следовательно, искомый двугранный угол равен $\angle AMF$. В равностороннем треугольнике $AM=3\sqrt3$, $OM=\sqrt3$, $AO=2\sqrt3$. Высота пирамиды $SO=\sqrt{6^2-(2\sqrt3)^2}=2\sqrt6$, а $OF=\frac23SO=\frac{4\sqrt6}{3}$. В прямоугольном треугольнике $MOF$: $\tan\angle AMF=\frac{OF}{OM}=\frac{4\sqrt2}{3}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10243.

15. Решите неравенство $ {4^x} - 3 \cdot {2^{x + 2}} + 32 \ge 0 $.

Верный ответ: $\left(-\infty;2\right]\cup\left[3;+\infty\right)$.

Решение.
Сделаем замену $t=2^x$, где $t\gt 0$. Тогда $4^x=t^2$, а $3\cdot2^{x+2}=12t$. Получаем квадратное неравенство
$ t^2-12t+32\ge0$, то есть $(t-4)(t-8)\ge0$.
Произведение неотрицательно при $t\le4$ или $t\ge8$. Поскольку $2^x$ возрастает, условия $2^x\le4=2^2$ и $2^x\ge8=2^3$ дают соответственно $x\le2$ и $x\ge3$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10225.

16. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк $x$ рублей. Какой должна быть сумма $x$, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Верный ответ: 2 622 050 рублей.

После первого начисления процентов долг станет равен $1{,}145\cdot4\,290\,000$. После платежа $x$ останется
$1{,}145\cdot4\,290\,000-x$.

Через год этот остаток снова увеличится в 1,145 раза, а второй платёж $x$ должен погасить долг полностью:
$1{,}145(1{,}145\cdot4\,290\,000-x)-x=0$.
Отсюда
$2{,}145x=1{,}145^2\cdot4\,290\,000$,
$x=2\,622\,050$ рублей.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10360.

17. В трапеции ABCD основания AD и BC. Диагональ AC разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и AB.
а) Докажите, что луч DB — биссектриса угла ADC.
б) Найдите AB, если известны длины диагоналей трапеции: BD = 8 и AC = 5.

Верный ответ: б) 6.

а) Треугольник ACD равнобедренный с основанием AD, поэтому $AC=CD$. Треугольник ABC равнобедренный с основанием AB, поэтому $AC=BC$. Следовательно, $BC=CD$, то есть треугольник BCD равнобедренный и $\angle CBD=\angle BDC$.
Так как $AD\parallel BC$, $\angle ADB=\angle CBD$. Значит, $\angle ADB=\angle BDC$, поэтому DB — биссектриса угла ADC.

б) Обозначим $\angle BDC=\varphi$. Тогда в равнобедренном треугольнике BCD
\[BD=2AC\cos\varphi.\]
Из доказанной биссектрисы и параллельности оснований следует, что угол ACB равен $2\varphi$. Поэтому в равнобедренном треугольнике ABC
\[AB=2AC\sin\varphi.\]
Возводя оба равенства в квадрат и складывая, получаем $AB^2+BD^2=4AC^2$. Значит,
\[AB=\sqrt{4AC^2-BD^2}=\sqrt{4\cdot25-64}=6.\]

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10492.

18. Найдите все значения $a $, при каждом из которых уравнение $ a{x^2} + 2(a + 3)x + (a + 4) = 0 $ имеет два корня, расстояние между которыми больше 2.

Верный ответ: $1-\sqrt{10}
Чтобы уравнение оставалось квадратным, необходимо \(a\ne0$. Его дискриминант:
\[D=\bigl(2(a+3)\bigr)^2-4a(a+4)=4(2a+9).\]
Расстояние между корнями квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ равно $\dfrac{\sqrt D}{|A|}$. Здесь оно равно
\[\frac{2\sqrt{2a+9}}{|a|}.\]
По условию это расстояние больше $2$:
\[\frac{2\sqrt{2a+9}}{|a|}>2\iff \sqrt{2a+9}>|a|.\]
Обе части неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
\[2a+9>a^2\iff a^2-2a-9<0.\]
Корни последнего квадратного трёхчлена равны $1\pm\sqrt{10}$, значит, параметр лежит между ними. На этом промежутке дискриминант исходного уравнения положителен; остаётся исключить $a=0$, при котором уравнение становится линейным.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10171.

19. Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 2?
б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно $ \frac{4}{3} $?
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 20?

Верный ответ:
а) да, например 4, 5 и 8;
б) нет;
в) $\frac{28}{19}$.

Пусть стороны расположены по возрастанию: $aa^2+b^2$.
а) Для сторон 4, 5 и 8 выполняется $4+5>8$, поэтому треугольник существует, и $8^2=64>4^2+5^2=41$, поэтому он тупоугольный. Отношение наибольшей стороны к наименьшей равно 2.
б) Если $\frac{c}{a}=\frac{4}{3}$, то из натуральности сторон можно записать $a=3t$, $c=4t$. Условие тупоугольности даёт $16t^2>9t^2+b^2$, то есть $b<\sqrt7\,t<3t=a$. Это противоречит тому, что $b>a$.
в) Теперь $b=20$, а $a\le19$. Из тупоугольности следует $\frac{c}{a}>\sqrt{1+(20/a)^2}$. Правая часть уменьшается при увеличении $a$; при $a\le18$ она уже больше $28/19$, поэтому меньший результат может появиться только при $a=19$. Тогда $c^2>19^2+20^2=761$, и наименьшее целое $c$ равно 28. Стороны 19, 20 и 28 образуют треугольник, поскольку $19+20>28$, и он тупоугольный, поскольку $28^2>19^2+20^2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10286.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Вариант 6

Часть 2