Тест ЕГЭ по профильной математике 2027, вариант 7

1. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 48° и 74°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Верный ответ: 132

Подсказка: в четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. Данные углы не могут быть противоположными, значит оставшиеся углы равны $180° - 48° = 132°$ и $180° - 74° = 106°$. Больший из них — 132°.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24336.

2. Даны векторы $ \vec a $(2; -5) и $ \vec b $(5; 7). Найдите скалярное произведение векторов $ 0{,}6\vec a $ и $ 1{,}4\vec b $.

Верный ответ: -21

Сначала найдём скалярное произведение исходных векторов:
$\vec a\cdot\vec b=2\cdot5+(-5)\cdot7=10-35=-25$.
Числовые множители можно вынести из скалярного произведения:
$(0{,}6\vec a)\cdot(1{,}4\vec b)=0{,}6\cdot1{,}4\cdot(\vec a\cdot\vec b)=0{,}84\cdot(-25)=-21$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21345.

3. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 47. Найдите объём куба.

Верный ответ: 376

Обозначим ребро куба через $a$. Сечение отсекает призму с прямоугольным треугольником в основании. Оба катета этого треугольника равны $\frac a2$, поэтому площадь основания равна $\frac{a^2}{8}$. Высота призмы совпадает с третьим ребром куба и равна $a$. Тогда объём призмы равен $\frac{a^3}{8}$, то есть в 8 раз меньше объёма куба.
Следовательно, объём куба равен $47\cdot8=376$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10142.

4. В небольшом магазине работают два продавца - Василий и Сергей. Каждый из них может быть занят с клиентом с вероятностью 0,4. При этом они могут быть заняты одновременно с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайно выбранный момент времени занят только Василий, а Сергей свободен.

Верный ответ: 0,1

Событие «Василий занят» состоит из двух несовместных случаев: занят только Василий или одновременно заняты Василий и Сергей.

Вероятность того, что Василий занят, равна 0,4, а вероятность одновременной занятости продавцов равна 0,3. Значит, из всех случаев занятости Василия нужно исключить случаи, когда Сергей тоже занят: 0,4 − 0,3 = 0,1.

Умножать 0,4 на вероятность того, что Сергей свободен, нельзя: независимость занятости продавцов в условии не дана, зато вероятность их одновременной занятости указана напрямую.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10157.

5. В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

Верный ответ: 0,22

Всего в коробке $11+6+8=25$ фломастеров. Подходящий результат возможен в двух порядках: сначала синий, затем красный, или сначала красный, затем синий.

После выбора первого фломастера в коробке остаётся 24 фломастера, поэтому
$P=\frac{11}{25}\cdot\frac{6}{24}+\frac{6}{25}\cdot\frac{11}{24}=\frac{132}{600}=0,22$.

Вероятности двух порядков складываются, потому что эти случаи не могут произойти одновременно. Зелёные фломастеры входят в общее количество, но появление хотя бы одного зелёного фломастера делает нужное событие невозможным.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15348.

6. Решите уравнение $ \frac{{x - 1}}{{6x + 11}} = \frac{{x - 1}}{{5x + 3}} $. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Верный ответ: 1

ОДЗ: $6x+11\ne0$ и $5x+3\ne0$, поэтому $x\ne-\frac{11}{6}$ и $x\ne-\frac35$.

Одинаковый числитель $x-1$ нельзя сразу сокращать, иначе потеряется возможный корень $x=1$. Выполним перекрёстное умножение:
$(x-1)(5x+3)=(x-1)(6x+11)$.
После переноса и вынесения общего множителя:
$(x-1)((5x+3)-(6x+11))=0$,
$-(x-1)(x+8)=0$.
Значит, $x=1$ или $x=-8$. Оба значения допустимы, но в ответ нужно записать больший корень — $1$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10139.

7. Найдите значение выражения $ ({252^2} - {23^2}):275 $.

Верный ответ: 229

Вычислять квадраты больших чисел не нужно. Применим формулу разности квадратов:
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Здесь $252+23=275$, то есть сумма чисел совпадает с делителем:
$\frac{252^2-23^2}{275}=\frac{(252-23)(252+23)}{275}$
$=\frac{229\cdot275}{275}=229$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10390.

8. На рисунке изображены график функции $ y = f(x) $ и касательная к нему в точке с абсциссой ${x_0}$. Найдите значение производной функции $ f(x) $ в точке ${x_0}$.

Верный ответ: 1,5

Значение производной равно наклону касательной. Касательная проходит через начало координат $(0;0)$ и отмеченную точку $(-2;-3)$.
Её угловой коэффициент равен $k=\dfrac{0-(-3)}{0-(-2)}=\dfrac32=1{,}5$. Прямая поднимается слева направо, поэтому производная положительна.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10502.

9. Зависимость объёма спроса $ q $ (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены $ p $ (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой $ q=70-5p $. Выручка предприятия $r $ (в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле $ r(p)=q⋅p $. Определите наибольшую цену $ p $, при которой месячная выручка $ r(p) $ составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. за ед.

Верный ответ: 8

Подставляем спрос $q=70-5p$ в формулу выручки и учитываем требование «не менее 240»:
$$p(70-5p)\ge240.$$
Перенесём всё в одну сторону и разделим на $-5$, изменив знак неравенства:
$$p^2-14p+48\le0.$$
Корни квадратного трёхчлена равны 6 и 8. Парабола $p^2-14p+48$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $6\le p\le8$. Условие просит наибольшую допустимую цену, поэтому выбирается правый конец этого промежутка.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10486.

10. Моторная лодка прошла против течения 24 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость (в км/ч) лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч.

Верный ответ: 21

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна x км/ч. Против течения её скорость равна x - 3, а по течению — x + 3 км/ч.

На обратный путь лодка затратила на 20 минут, то есть на 1/3 часа, меньше:
24/(x - 3) - 24/(x + 3) = 1/3.

После упрощения:
144/(x² - 9) = 1/3,
x² = 441.
Из двух значений ±21 подходит только положительное, причём скорость лодки должна быть больше скорости течения.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10221.

11. На рисунке изображён график функции $f(x)=|kx+b|+c$, где числа $k$, $b$ и $c$ — целые, $k>0$. Найдите значение $f(-6{,}4)$.

Верный ответ: 11,2

Вершина «галочки» имеет координаты $(-3;1)$, поэтому $f(x)=k|x+3|+1$.
Например, точка $(-2;4)$ лежит на графике. Подставим её: $4=k\cdot1+1$, откуда $k=3$. Значит, $f(x)=3|x+3|+1=|3x+9|+1$.
При $x=-6{,}4$: $f(-6{,}4)=|-19{,}2+9|+1=|-10{,}2|+1=11{,}2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15347.

12. Найдите точку минимума функции $ y = \sqrt {{x^2} - 8x + 17} $.

Верный ответ: 4

Преобразуем выражение под корнем, выделив полный квадрат:
$x^2-8x+17=(x-4)^2+1$.
Квадрат $(x-4)^2$ не может быть отрицательным и принимает наименьшее значение $0$ только при $x=4$. Тогда минимально и подкоренное выражение, а вместе с ним — вся функция, поскольку квадратный корень возрастает с увеличением аргумента.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10317.

Часть 2

13. Выполните следующие пункты:

а) Решите уравнение $ {5^{{x^2} - 4x + 1}} + {5^{{x^2} - 4x}} = 30 $.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $ \left[ { - 1;3} \right] $.

Верный ответ:
а) $x=2\pm\sqrt5$.
б) $2-\sqrt5$.

Пояснение.
Вынесем общую степень $5^{x^2-4x}$:
$5^{x^2-4x}(5+1)=30$, поэтому $5^{x^2-4x}=5$. Основания степеней одинаковы и равны числу, отличному от $1$, следовательно, равны показатели: $x^2-4x=1$.
Получаем квадратное уравнение $x^2-4x-1=0$, его корни $x=2\pm\sqrt5$. Число $2-\sqrt5\approx-0{,}24$ принадлежит отрезку $[-1;3]$, а $2+\sqrt5\approx4{,}24$ находится правее него.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10204.

14. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SB в отношении 1 : 3, считая от вершины B.
б) Найдите отношение, в котором эта плоскость делит ребро SF, считая от вершины S.

Верный ответ: а) $1:3$; б) $3:4$.
Обозначим через $O$ центр основания и используем координаты в базисе $(\overrightarrow{OS},\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$. Тогда можно записать $S(1;0;0)$, $A(0;1;0)$, $B(0;0;1)$. Для правильного шестиугольника $C(0;-1;1)$, $E(0;0;-1)$, $F(0;1;-1)$.
Пусть $M$ и $N$ — середины $SA$ и $SE$. Тогда $M(\frac12;\frac12;0)$, $N(\frac12;0;-\frac12)$, а уравнение плоскости $MNC$ имеет вид $5x-y+z-2=0$.
а) Точка $X$ ребра $SB$ имеет координаты $X(1-t;0;t)$, где $t=\frac{SX}{SB}$. Подстановка в уравнение плоскости даёт $5(1-t)+t-2=0$, откуда $t=\frac34$. Значит, $BX:XS=(1-t):t=1:3$.
б) Точка $Y$ ребра $SF$ имеет координаты $Y(1-t;t;-t)$. После подстановки получаем $5(1-t)-t-t-2=0$, то есть $t=\frac37$. Следовательно, $SY:YF=t:(1-t)=3:4$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10224.

15. Решите неравенство $ \frac{3}{{{{\left( {{2^{2 - {x^2}}} - 1} \right)}^2}}} - \frac{4}{{{2^{2 - {x^2}}} - 1}} + 1 \ge 0 $.

Верный ответ: $\left(-\infty;-\sqrt2\right)\cup\left(-\sqrt2;-1\right]\cup\{0\}\cup\left[1;\sqrt2\right)\cup\left(\sqrt2;+\infty\right)$.

Решение.
Введём замену $t=2^{2-x^2}-1$. Знаменатель не должен обращаться в нуль, поэтому $t\ne0$, то есть $x\ne\pm\sqrt2$.
Неравенство принимает вид
$ \frac3{t^2}-\frac4t+1=\frac{(t-1)(t-3)}{t^2}\ge0$.
Поскольку $t^2\gt 0$, требуется $t\le1$ или $t\ge3$.
Условие $t\le1$ даёт $2^{2-x^2}\le2$, следовательно, $x^2\ge1$, то есть $|x|\ge1$. Условие $t\ge3$ даёт $2^{2-x^2}\ge4$, откуда $x^2\le0$ и потому $x=0$. Из полученного множества исключаем точки $x=\pm\sqrt2$, в которых исходное выражение не определено.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10358.

16. Кредит планируют взять 15 января в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 2466 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?

Верный ответ: 2 034 000 рублей.

Пусть сумма кредита равна $S$. За 24 месяца основной долг уменьшается равномерно, то есть ежемесячно на $\frac{S}{24}$.

В первые 12 месяцев возвращается $\frac{S}{2}$ основного долга. Проценты начисляются на суммы от $S$ до $\frac{13}{24}S$, их сумма равна $9{,}25S$. Поэтому выплаты первого года составляют
$\frac{S}{2}+0{,}02\cdot9{,}25S=0{,}685S$.
По условию $0{,}685S=2\,466\,000$, откуда $S=3\,600\,000$ рублей.

В последние 12 месяцев снова погашается $\frac{S}{2}$ основного долга, но проценты начисляются уже на меньшие остатки:
$\frac{12}{24}S,\ \frac{11}{24}S,\ldots,\frac{1}{24}S$.
Их сумма равна $\frac{12+11+\ldots+1}{24}S=3{,}25S$. Значит, выплаты за последние 12 месяцев составят
$\frac{S}{2}+0{,}02\cdot3{,}25S=0{,}565S=2\,034\,000$ рублей.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10227.

17. Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.
а) Докажите, что $\angle BAC=30^\circ$.
б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = $8\sqrt3$.

Верный ответ: б) $16\sqrt7$.

а) Введём координаты $C(0;0)$, $A(a;0)$, $B(0;b)$. Тогда $M(a/2;b/2)$. Из $AK:KC=1:2$ следует $K(2a/3;0)$.
Направляющий вектор CM можно взять равным $(a;b)$, а направляющий вектор MK — $(a;-3b)$. По условию эти прямые перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю:
\[a^2-3b^2=0.\]
Следовательно, $a=\sqrt3b$, и $\tan\angle BAC=BC/AC=b/a=1/\sqrt3$. Значит, $\angle BAC=30^\circ$.

б) Прямая MK пересекает ось BC в точке $P(0;2b)$. Решая совместно уравнения прямых AP и BK, получаем $Q(2a;-2b)$. Поэтому
\[KQ^2=\left(2a-\frac{2a}{3}\right)^2+(-2b)^2=\frac{16a^2}{9}+4b^2.\]
Так как $a^2=3b^2$,
\[KQ=\frac{2\sqrt{21}}{3}b=\frac{2\sqrt{21}}{3}BC.\]
Теперь $BC=b=8\sqrt3$, поэтому $KQ=\frac{2\sqrt{21}}3\cdot8\sqrt3=16\sqrt7$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10435.

18. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$ {a^2} + 7\left| {x + 1} \right| + 5\sqrt {{x^2} + 2x + 5} = 2a + 3\left| {x - 4a + 1} \right| $$ имеет хотя бы один корень.

Верный ответ: $[-5-\sqrt{15};-5+\sqrt{15}]\cup[7-\sqrt{39};7+\sqrt{39}]$.

Положим $u=x+1$. Перенесём правую часть влево:
\[a^2-2a+7|u|+5\sqrt{u^2+4}-3|u-4a|.\]
Из неравенства $|u-4a|\le|u|+4|a|$ следует
\[7|u|+5\sqrt{u^2+4}-3|u-4a|\ge4|u|+5\sqrt{u^2+4}-12|a|\ge10-12|a|.\]
При $u=0$ равенство достигается, поэтому минимум левой части равен
\[a^2-2a+10-12|a|.\]
Левая часть непрерывна и возрастает до $+\infty$ при $|u|\to\infty$, следовательно, исходное уравнение имеет корень тогда и только тогда, когда этот минимум не превосходит нуля.
Если $a\ge0$, получаем $a^2-14a+10\le0$, откуда $7-\sqrt{39}\le a\le7+\sqrt{39}$.
Если $a<0$, получаем $a^2+10a+10\le0$, откуда $-5-\sqrt{15}\le a\le-5+\sqrt{15}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10342.

19. На доске были написаны несколько целых чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа, сумма которых делится на 3.
а) Может ли сумма всех оставшихся на доске чисел равняться 11, если сначала по одному разу были написаны числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11?
б) Может ли на доске остаться ровно два числа, разность которых равна 24, если сначала по одному разу были написаны все натуральные числа от 100 до 151 включительно?
в) Известно, что на доске осталось ровно два числа, а сначала по одному разу были написаны все натуральные числа от 100 до 151 включительно. Какое наибольшее значение может получиться, если поделить одно из оставшихся чисел на второе из них?

Верный ответ:
а) может;
б) не может;
в) 1,5.

Удаляемая пара имеет остатки $(0,0)$ или $(1,2)$ при делении на 3. Следовательно, не меняются чётность количества чисел с остатком 0 и разность между количествами чисел с остатками 1 и 2.
а) Можно оставить числа 3 и 8, сумма которых равна 11. Остальные удаляются парами $(2,4)$, $(5,7)$, $(6,9)$, $(10,11)$; сумма каждой пары кратна 3.
б) Среди чисел от 100 до 151 имеется 17 чисел с остатком 0, 18 чисел с остатком 1 и 17 чисел с остатком 2. Если останутся два числа, то по сохранённым свойствам их остатки должны быть 0 и 1. Их разность не делится на 3, а число 24 делится на 3.
в) Допустимая пара должна состоять из числа с остатком 0 и числа с остатком 1. Если в числителе стоит число с остатком 0, наибольшее отношение равно $150/100=1{,}5$. При обратном распределении остатков получаем не более $151/102$, а это меньше 1,5. Пару 150 и 100 можно оставить: среди остальных чисел остаётся чётное количество чисел с остатком 0 и одинаковое количество чисел с остатками 1 и 2, поэтому все они удаляются допустимыми парами.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10514.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Вариант 7

Часть 2