Тест ЕГЭ по профильной математике решать онлайн

1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 15, $ tgA = \frac{3}{4} $. Найдите AC.

Верный ответ: 12

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10425.

2. Даны векторы $ \vec a $(2,2; -4) и $ \vec b $(-1,25; -1). Найдите скалярное произведение векторов $ 3\vec a $ и $ 4\vec b $.

Верный ответ: 15

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21346.

3. Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 30°. Боковое ребро равно 3. Найдите диагональ призмы.

Верный ответ: 6

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10237.

4. В некотором городе из 2000 появившихся на свет младенцев 990 девочек. Найдите частоту рождения мальчиков в этом городе.

Верный ответ: 0,505

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10214.

5. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 6. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.

Верный ответ: 0,58

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15350.

6. Решите уравнение $ \frac{{x + 4}}{{5x + 9}} = \frac{{x + 4}}{{4x - 5}} $. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Верный ответ: -4

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10120.

7. Найдите значение выражения $ 2tg15^\circ \cdot tg105^\circ $.

Верный ответ: -2

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10276.

8. На рисунке изображены график функции $ y = f(x) $ и семь точек на оси абсцисс: ${x_1}$, ${x_2}$, ${x_3}$, ${x_4}$, ${x_5}$, ${x_6}$, ${x_7}$. В скольких из этих точек производная функции $ f(x) $ отрицательна?

Верный ответ: 6

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10388.

9. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $ m = {m_0} \cdot {2^{ - \frac{t}{T}}} $, где $ {m_0} $ - начальная масса изотопа, $t $ - время, прошедшее от начального момента, $T $ - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 20 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

Верный ответ: 20

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10182.

10. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 374 литра она заполняет на 5 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объёмом 462 литра?

Верный ответ: 22

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10126.

11. На рисунке изображён график функции $ f(x) = a{x^2} - 4x + c $. Найдите $ f( - 3) $.

Верный ответ: 26

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15349.

12. Найдите точку минимума функции $ y = {x^2} - 14x + 20\ln x - 6 $.

Верный ответ: 5

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10374.

Часть 2

13. Выполните следующие пункты:

а) Решите уравнение $ {6^{{x^2} - 4x}} + {6^{{x^2} - 4x - 1}} = 42 $.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $ [ - 2;4] $.

а) $ 2 \pm \sqrt 6 $

б) $ 2 - \sqrt 6 $

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10242.

14. В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Точка M - середина ребра B₁C₁, точка N лежит на ребре AC, причём AN : NC = 8 : 1. Катет AC втрое больше бокового ребра AA₁ призмы.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна прямой CA₁.
б) Найдите угол между прямой MN и плоскостью основания A₁B₁C₁, если $ \sin \angle CBA = \frac{3}{5} $.

б) $ arctg\frac{{3\sqrt {37} }}{{37}} $

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10129.

15. Решите неравенство $ {5^{x + 2}} + {5^{x + 1}} - {5^x} < {3^{\frac{x}{2} + 1}} - {3^{\frac{x}{2}}} - {3^{\frac{x}{2} - 1}} $.

$x < \log \left({{{\left({\frac{{87}}{5}} \right)}^{\frac{2}{{\log \left({\frac{3}{{25}}} \right)}}}}} \right) $

Замечание. Ответ может также быть представлен в другом виде.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10187.

16. 15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r $% по сравнению с концом предыдущего месяца; .
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 15% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите $r $.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10265.

17. На продолжении стороны AC за вершину A треугольника ABC отложен отрезок AD, равный стороне AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M.
а) Докажите, что луч AM - биссектриса угла BAC.
б) Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника ABC равна 144 и известно отношение AC : AB = 3 : 1.

б) 84

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10188.

18. Найдите все значения $ a $, при каждом из которых система $$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z = 4{x^2} + {y^2}\\ 2x + y + 3z = a \end{array} \right. $$ имеет единственное решение.

$ a = - \frac{5}{{96}} $

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10494.

19. Конечная возрастающая последовательность ${a_1}$, ${a_2}$, ... , ${a_n}$, состоит из n $ \ge $ 3 различных натуральных чисел, причём при всех натуральных $ k \le n - 2 $ выполнено равенство $ 4{a_{k + 2}} = 5{a_{k + 1}} - {a_k} $.
а) Приведите пример такой последовательности при $ n $ = 5.
б) Может ли в такой последовательности при некотором $n$ $ \ge $ 3 выполняться равенство $ 3{a_n} = 4{a_2} - {a_1} $ ?
в) Какое наименьшее значение может принимать ${a_1}$, если ${a_n}$ = 283?

а) например, последовательность 1, 257, 321, 337, 341
б) нет
в) 3

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10438.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Часть 2