Тест ЕГЭ по профильной математике 2027, вариант 8

1. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 54° и 78°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Верный ответ: 126

Во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°. Данные углы 54° и 78° не могут быть противоположными, потому что $54°+78°=132°$, а не 180°. Значит они соседние.
Каждый из оставшихся углов дополняет один из данных до 180°: $180°-54°=126°$ и $180°-78°=102°$. Из этих двух углов больше 126°.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24337.

2. Даны векторы $ \vec a $(2,2; -4) и $ \vec b $(-1,25; -1). Найдите скалярное произведение векторов $ 3\vec a $ и $ 4\vec b $.

Верный ответ: 15

Вычислим скалярное произведение исходных векторов:
$\vec a\cdot\vec b=2{,}2\cdot(-1{,}25)+(-4)\cdot(-1)=-2{,}75+4=1{,}25$.
При умножении обоих векторов на числа произведение умножается на произведение этих чисел:
$(3\vec a)\cdot(4\vec b)=12(\vec a\cdot\vec b)=12\cdot1{,}25=15$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21346.

3. Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 30°. Боковое ребро равно 3. Найдите диагональ призмы.

Верный ответ: 6

Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен углу между диагональю и её проекцией на основание. Диагональ, её проекция и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро длиной 3 лежит напротив угла $30^\circ$.
Поэтому $\sin30^\circ=\frac{3}{d}$. Так как $\sin30^\circ=\frac12$, получаем $d=6$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10237.

4. В некотором городе из 2000 появившихся на свет младенцев 990 девочек. Найдите частоту рождения мальчиков в этом городе.

Верный ответ: 0,505

Сначала найдём число родившихся мальчиков: 2000 − 990 = 1010.

Частота события — это отношение числа случаев, когда событие произошло, к общему числу наблюдений. Поэтому частота рождения мальчиков равна 1010 / 2000 = 0,505.

В числителе должно стоять именно число мальчиков, а не число девочек, поскольку требуется частота рождения мальчиков.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10214.

5. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 6. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.

Верный ответ: 0,58

Чтобы потребовалось ровно два броска, после первого броска сумма ещё не должна превысить 6, а после второго должна стать больше 6. Первый результат всегда не больше 6, поэтому достаточно посчитать пары результатов с суммой больше 6.

Все $6\cdot6=36$ упорядоченных пар равновероятны. Если первым выпало 1, подходит 1 значение второго броска; если 2 — два значения; и так далее до 6 подходящих значений при первом результате 6. Получаем $1+2+3+4+5+6=21$ пару.

$P=\frac{21}{36}=0,5833\ldots$. После округления до сотых получаем 0,58.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15350.

6. Решите уравнение $ \frac{{x + 4}}{{5x + 9}} = \frac{{x + 4}}{{4x - 5}} $. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Верный ответ: -4

ОДЗ: $5x+9\ne0$ и $4x-5\ne0$, то есть $x\ne-\frac95$ и $x\ne\frac54$.

Нельзя просто сократить числитель $x+4$: при $x=-4$ обе дроби равны нулю, поэтому сокращение уничтожило бы один из корней. Перемножим крест-накрест:
$(x+4)(4x-5)=(x+4)(5x+9)$.
Выносим общий множитель:
$(x+4)((4x-5)-(5x+9))=0$,
$-(x+4)(x+14)=0$.
Получаем $x=-4$ и $x=-14$. Оба корня входят в ОДЗ; большим из них является $-4$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10120.

7. Найдите значение выражения $ 2\operatorname{tg}15^\circ \cdot \operatorname{tg}105^\circ $.

Верный ответ: -2

Угол $105^\circ=90^\circ+15^\circ$. Для таких углов
$\operatorname{tg}(90^\circ+\alpha)=-\operatorname{ctg}\alpha=-\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$.
Значит,
$\operatorname{tg}105^\circ=-\frac{1}{\operatorname{tg}15^\circ}$.

Подставим это в выражение:
$2\operatorname{tg}15^\circ\cdot\left(-\frac{1}{\operatorname{tg}15^\circ}\right)=-2$.
Тангенс $15^\circ$ сокращается со своим обратным числом.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10276.

8. На рисунке изображены график функции $ y = f(x) $ и семь точек на оси абсцисс: ${x_1}$, ${x_2}$, ${x_3}$, ${x_4}$, ${x_5}$, ${x_6}$, ${x_7}$. В скольких из этих точек производная функции $ f(x) $ отрицательна?

Верный ответ: 6

Производная отрицательна в тех точках, где при движении слева направо график функции опускается. Высота графика относительно оси $Ox$ здесь не важна — имеет значение только направление его движения.
График убывает в отмеченных точках $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ и $x_7$. В точке $x_6$ график поднимается, поэтому там производная положительна. Отрицательная производная получается в шести точках.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10388.

9. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $ m = {m_0} \cdot {2^{ - \frac{t}{T}}} $, где $ {m_0} $ - начальная масса изотопа, $t $ - время, прошедшее от начального момента, $T $ - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 20 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

Верный ответ: 20

За один период полураспада масса уменьшается вдвое. Через первые 10 минут останется $20:2=10$ мг, а ещё через 10 минут — $10:2=5$ мг.
Значит, до нужной массы проходят два периода по 10 минут.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10182.

10. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Вторая труба заполняет резервуар объёмом 374 литра на 5 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объёмом 462 литра. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба?

Верный ответ: 22

Пусть вторая труба пропускает x л/мин. Тогда производительность первой трубы равна x - 1 л/мин.

Вторая труба заполняет резервуар за 374/x минут, а первая — за 462/(x - 1) минут. Первая затрачивает на 5 минут больше, поэтому:
462/(x - 1) - 374/x = 5.

Получаем уравнение 5x² - 93x - 374 = 0. Его корни: x = 22 и x = -3,4. Производительность трубы должна быть положительной, поэтому отрицательный корень не соответствует условию задачи.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10126.

11. На рисунке изображён график функции $f(x)=ax^2-4x+c$. Найдите $f(-3)$.

Верный ответ: 26

Абсцисса вершины параболы $ax^2-4x+c$ равна $x_0=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}$. По графику вершина имеет абсциссу $1$, поэтому $\frac{2}{a}=1$ и $a=2$.
Ордината вершины равна $-6$: $f(1)=2-4+c=-6$, откуда $c=-4$.
Таким образом, $f(x)=2x^2-4x-4$, и $f(-3)=2\cdot9+12-4=26$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15349.

12. Найдите точку минимума функции $ y = {x^2} - 14x + 20\ln x - 6 $.

Верный ответ: 5

Из-за логарифма область определения функции: $x>0$.
$y'=2x-14+\frac{20}{x}=\frac{2(x-2)(x-5)}{x}$. При $05$ снова положительна.
В точке $x=2$ функция переходит от возрастания к убыванию — это максимум. В точке $x=5$ убывание сменяется возрастанием, поэтому именно $x=5$ является точкой минимума.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10374.

Часть 2

13. Выполните следующие пункты:

а) Решите уравнение $ {6^{{x^2} - 4x}} + {6^{{x^2} - 4x - 1}} = 42 $.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $ [ - 2;4] $.

Верный ответ:
а) $x=2\pm\sqrt6$.
б) $2-\sqrt6$.

Пояснение.
Вынесем степень с меньшим показателем:
$6^{x^2-4x-1}(6+1)=42$. Отсюда $6^{x^2-4x-1}=6$, поэтому $x^2-4x-1=1$.
Получаем $x^2-4x-2=0$, следовательно, $x=2\pm\sqrt6$. Число $2-\sqrt6\approx-0{,}45$ лежит на отрезке $[-2;4]$, а $2+\sqrt6\approx4{,}45$ находится правее его границы.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10242.

14. В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Точка M - середина ребра B₁C₁, точка N лежит на ребре AC, причём AN : NC = 8 : 1. Катет AC втрое больше бокового ребра AA₁ призмы.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна прямой CA₁.
б) Найдите угол между прямой MN и плоскостью основания A₁B₁C₁, если $ \sin \angle CBA = \frac{3}{5} $.

Верный ответ: б) $\arctan\frac{3\sqrt{37}}{37}$.
а) Пусть $AA_1=h$, тогда $AC=3h$. Возьмём $C(0;0;0)$, $A(3h;0;0)$, $B(0;b;0)$. Из $AN:NC=8:1$ получаем $NC=\frac{AC}{9}=\frac h3$, поэтому $N(\frac h3;0;0)$, а середина $M$ ребра $B_1C_1$ имеет координаты $M(0;\frac b2;h)$.
Тогда $\overrightarrow{MN}=(\frac h3;-\frac b2;-h)$, $\overrightarrow{CA_1}=(3h;0;h)$, и $\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{CA_1}=h^2-h^2=0$. Поэтому прямые перпендикулярны.
б) Условие $\sin\angle CBA=\frac35$ даёт отношение катетов $AC:BC=3:4$. Следовательно, $BC=4h$. Длина проекции $MN$ на основание равна $\sqrt{(\frac h3)^2+(2h)^2}=\frac{h\sqrt{37}}3$, а вертикальная составляющая равна $h$. Поэтому $\tan\alpha=\frac{3}{\sqrt{37}}=\frac{3\sqrt{37}}{37}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10129.

15. Решите неравенство $ {5^{x + 2}} + {5^{x + 1}} - {5^x} < {3^{\frac{x}{2} + 1}} - {3^{\frac{x}{2}}} - {3^{\frac{x}{2} - 1}} $.

Верный ответ: $x\lt \log_{\frac5{\sqrt3}}\frac5{87}$.

Решение.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$ 5^{x+2}+5^{x+1}-5^x=5^x(25+5-1)=29\cdot5^x$,
$ 3^{\frac x2+1}-3^{\frac x2}-3^{\frac x2-1}=3^{\frac x2-1}(9-3-1)=\frac53(\sqrt3)^x$.
Получаем $29\cdot5^x\lt \frac53(\sqrt3)^x$. После деления на положительное число $29(\sqrt3)^x$:
$ \left(\frac5{\sqrt3}\right)^x\lt \frac5{87}$.
Так как $\frac5{\sqrt3}\gt 1$, функция $\left(\frac5{\sqrt3}\right)^x$ возрастает, поэтому $x$ должен быть меньше логарифма правой части по этому основанию.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10187.

16. 15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 15% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите $r$.

Верный ответ: 3.

Пусть сумма кредита равна $S$. Поскольку за 9 месяцев долг уменьшается равными частями, перед начислением процентов его значения последовательно равны
$S,\ \frac{8}{9}S,\ \frac{7}{9}S,\ldots,\frac{1}{9}S$.
Их сумма составляет
$\frac{9+8+\ldots+1}{9}S=5S$.

Значит, за весь срок начисленные проценты равны $\frac{r}{100}\cdot5S$. По условию общая переплата составляет 15% от кредита, то есть $0{,}15S$:
$\frac{5r}{100}S=0{,}15S$.
Сокращаем на $S$ и получаем $5r=15$, поэтому $r=3$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10265.

17. На продолжении стороны AC за вершину A треугольника ABC отложен отрезок AD, равный стороне AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M.
а) Докажите, что луч AM — биссектриса угла BAC.
б) Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника ABC равна 144 и известно отношение AC : AB = 3 : 1.

Верный ответ: б) 84.

а) Равенство $AD=AB$ делает треугольник ABD равнобедренным, поэтому его углы при основании BD равны. Параллельность $AM\parallel BD$ переносит эти углы к вершине A: $\angle BAM=\angle ABD$ и $\angle MAC=\angle BDA$. Значит, $\angle BAM=\angle MAC$, поэтому AM делит угол BAC пополам.

б) Из теоремы о биссектрисе следует $BM:MC=AB:AC=1:3$, следовательно, $BM:BC=1:4$. Поэтому
\[S_{ABM}=144\cdot\frac14=36.\]
У треугольников ABD и ABC высота из B к прямой DAC одна и та же. Так как $AD=AB$ и $AB:AC=1:3$,
\[S_{ABD}=144\cdot\frac{AD}{AC}=144\cdot\frac13=48.\]
Трапеция AMBD состоит из этих двух треугольников, поэтому $S_{AMBD}=36+48=84$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10188.

18. Найдите все значения $ a $, при каждом из которых система $$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z = 4{x^2} + {y^2}\\ 2x + y + 3z = a \end{array} \right. $$ имеет единственное решение.

Верный ответ: $a=-\dfrac5{96}$.

Из первого уравнения выразим $z$:
\[z=\frac{4x^2+y^2-x-y}{2}.\]
Подставим во второе уравнение:
\[a=6x^2+\frac32y^2+\frac12x-\frac12y.\]
Дополняя квадраты, получаем
\[a=6\left(x+\frac1{24}\right)^2+\frac32\left(y-\frac16\right)^2-\frac5{96}.\]
Правая часть не меньше $-\dfrac5{96}$. При меньшем $a$ решений нет. При большем $a$ получается эллипс, содержащий бесконечно много пар $(x,y)$, а для каждой пары значение $z$ определяется однозначно. Единственная пара $(x,y)$ возникает только в точке минимума, когда оба квадрата равны нулю.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10494.

19. Конечная возрастающая последовательность ${a_1}$, ${a_2}$, ... , ${a_n}$, состоит из n $ \ge $ 3 различных натуральных чисел, причём при всех натуральных $ k \le n - 2 $ выполнено равенство $ 4{a_{k + 2}} = 5{a_{k + 1}} - {a_k} $.
а) Приведите пример такой последовательности при $ n $ = 5.
б) Может ли в такой последовательности при некотором $n$ $ \ge $ 3 выполняться равенство $ 3{a_n} = 4{a_2} - {a_1} $ ?
в) Какое наименьшее значение может принимать ${a_1}$, если ${a_n}$ = 283?

Верный ответ:
а) например, 1, 257, 321, 337, 341;
б) нет;
в) 3.

Обозначим $d_k=a_{k+1}-a_k$. Из условия $4a_{k+2}=5a_{k+1}-a_k$ следует $4d_{k+1}=d_k$, то есть соседние положительные разности последовательно уменьшаются в 4 раза.
а) Разности в примере равны 256, 64, 16 и 4, поэтому рекуррентное равенство выполняется.
б) Если последняя разность равна $t>0$, то $d_1=4^{n-2}t$ и $a_n=a_1+t(1+4+\ldots+4^{n-2})$. При этом $4a_2-a_1=3a_1+4^{n-1}t$, а $3a_n=3a_1+(4^{n-1}-1)t$. Первая величина больше второй на $t$, поэтому равенство невозможно.
в) Имеем $283=a_1+tS$, где $S=1+4+\ldots+4^{n-2}$. Значения $S<283$ равны 5, 21 и 85. Соответствующие наименьшие положительные значения $a_1$ равны остаткам 3, 10 и 28. Минимум 3 получается при $n=3$: $283=3+56\cdot5$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10438.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Вариант 8

Часть 2