Тест ЕГЭ по профильной математике 2027, вариант 9

1. В треугольнике ABC угол B равен 68°, биссектрисы углов BAC и ACB пересекаются в точке O. Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах.

Верный ответ: 124

Подсказка: точка O — центр вписанной окружности. Для инцентра верна формула $\angle AOC = 90° + \frac{\angle B}{2}$. Тогда $\angle AOC = 90° + 68°/2 = 124°$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24338.

2. На координатной плоскости изображены векторы $ \vec a $ и $ \vec b $. Найдите $ \cos \alpha $, где $ \alpha $ - угол между векторами $ \vec a $ и $ \vec b $.

Верный ответ: -0,8

По рисунку $\vec a=(-3;6)$, $\vec b=(8;-4)$. Косинус угла между векторами вычисляется через скалярное произведение:
$\vec a\cdot\vec b=(-3)\cdot8+6\cdot(-4)=-48$.
$|\vec a|=\sqrt{45}=3\sqrt5$, $|\vec b|=\sqrt{80}=4\sqrt5$, поэтому
$\cos\alpha=\dfrac{-48}{(3\sqrt5)(4\sqrt5)}=\dfrac{-48}{60}=-0{,}8$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21347.

3. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $ \frac{1}{4} $ высоты. Объём жидкости равен 5 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Верный ответ: 315

Конус жидкости подобен всему сосуду. Высота жидкости составляет $\frac14$ высоты сосуда, поэтому объём составляет не $\frac14$, а $\left(\frac14\right)^3=\frac1{64}$ полного объёма: при подобии изменяются сразу три измерения.
Полный объём равен $5\cdot64=320$ мл, следовательно, долить нужно $320-5=315$ мл.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10408.

4. В корабельной артиллерии применяется система управления огнём. Орудие делает выстрел по цели. Если цель не поражена, делается ещё один выстрел. Третий выстрел не делается. Известно, что вероятность поражения цели каждым отдельным выстрелом равна 0,8, а результаты выстрелов независимы. Найдите вероятность того, что цель будет поражена.

Верный ответ: 0,96

Удобнее рассмотреть противоположное событие — цель не поражена ни одним выстрелом. Это возможно только тогда, когда первый выстрел оказался неудачным и после него неудачным оказался второй.

Вероятность промаха при одном выстреле равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку результаты выстрелов независимы, вероятность двух промахов равна 0,2 · 0,2 = 0,04.

Все остальные случаи приводят к поражению цели, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,04 = 0,96. То, что второй выстрел делают только после первого промаха, как раз учтено в событии «два промаха подряд».

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10347.

5. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 7. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.

Верный ответ: 0,42

Ровно два броска потребуются тогда, когда сумма первых двух результатов превысит 7. После одного броска это невозможно, поскольку на кости выпадает не больше 6.

Из 36 равновероятных упорядоченных пар подходят пары с суммой 8, 9, 10, 11 или 12. Таких пар соответственно $5,4,3,2,1$, всего $5+4+3+2+1=15$.

$P=\frac{15}{36}=0,4166\ldots$. Округляя до сотых, получаем 0,42.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15352.

6. Найдите корень уравнения $ {\log _2}(15 + x) = {\log _2}3 $.

Верный ответ: -12

Логарифмы имеют одинаковое основание $2$. Функция $\log_2 t$ принимает одинаковые значения только при одинаковых положительных аргументах, поэтому
$15+x=3$.
Отсюда $x=3-15=-12$.

Проверка ОДЗ: при $x=-12$ левый аргумент равен $3>0$, поэтому оба логарифма существуют.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10481.

7. Найдите значение выражения $ \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } - \sqrt 5 $.

Верный ответ: -2

Подкоренное выражение является полным квадратом:
$9-4\sqrt5=5+4-4\sqrt5=(\sqrt5-2)^2$.
Значит,
$\sqrt{9-4\sqrt5}=\sqrt{(\sqrt5-2)^2}=|\sqrt5-2|$.

Так как $\sqrt5>2$, выражение $\sqrt5-2$ положительно, поэтому модуль равен $\sqrt5-2$. Тогда
$(\sqrt5-2)-\sqrt5=-2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10333.

8. На рисунке изображены график функции $ y = f(x) $ и касательная к нему в точке с абсциссой ${x_0}$. Найдите значение производной функции $ f(x) $ в точке ${x_0}$.

Верный ответ: 2

Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной. На прямой удобно взять отмеченные точки $(-2;-4)$ и $(1;2)$.
При увеличении $x$ на $1-(-2)=3$ значение $y$ увеличивается на $2-(-4)=6$. Поэтому $f'(x_0)=k=\dfrac{6}{3}=2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10483.

9. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому $P=\sigma ST^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $\sigma=5{,}7\cdot10^{-8}\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot\text{К}^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $S=\frac1{256}\cdot10^{21}$ м², а мощность её излучения равна $5{,}7\cdot10^{25}$ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Верный ответ: 4000

Из закона Стефана–Больцмана выразим четвёртую степень температуры:
$$T^4=\frac{P}{\sigma S}.$$
Подставляем данные:
$$T^4=\frac{5{,}7\cdot10^{25}}{5{,}7\cdot10^{-8}\cdot\frac1{256}\cdot10^{21}}=256\cdot10^{12}.$$
Заметим, что $256=4^4$, а $10^{12}=(10^3)^4$. Поэтому
$$T=4\cdot10^3\text{ К}.$$
Берём положительный корень, поскольку физическая температура в кельвинах не может быть отрицательной.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10372.

10. Если смешать 45-процентный раствор кислоты и 97-процентный раствор этой же кислоты и добавить 10 кг чистой воды, получится 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 45-процентного раствора использовали для получения смеси?

Верный ответ: 15

Пусть массы 45-процентного и 97-процентного растворов равны x и y кг, а M — масса каждой готовой смеси. В обоих опытах к тем же растворам добавляют 10 кг, поэтому M одинаково.

Во втором опыте вместо воды добавили 10 кг 50-процентного раствора, то есть количество кислоты увеличилось на 5 кг. Концентрация при этом выросла с 62% до 72%:
(0,72 - 0,62)M = 5,
M = 50 кг.
Значит, x + y = 50 - 10 = 40.

Для первой смеси составим баланс кислоты:
0,45x + 0,97y = 0,62 · 50 = 31.
Подставляя y = 40 - x, получаем x = 15 кг. Сравнение двух опытов сначала позволяет избавиться от неизвестного состава исходных растворов и найти общую массу смеси.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10392.

11. На рисунке изображён график функции $f(x)=ax^2-3x+c$. Найдите $f(-4)$.

Верный ответ: -14

На графике отмечены точки $(-2;4)$ и $(1;1)$. Подставим их координаты в $f(x)=ax^2-3x+c$:
$4a+c=-2$ и $a+c=4$.
Вычитая второе уравнение из первого, получаем $3a=-6$, поэтому $a=-2$, а $c=6$.
Тогда $f(-4)=-2\cdot16-3\cdot(-4)+6=-32+12+6=-14$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15351.

12. Найдите точку минимума функции $ y = (25 - x){e^{25 - x}} $.

Верный ответ: 26

Найдём производную произведения:
$y'=-e^{25-x}-(25-x)e^{25-x}=(x-26)e^{25-x}$.
Множитель $e^{25-x}$ положителен для любого $x$, поэтому производная отрицательна при $x<26$ и положительна при $x>26$.
Функция сначала убывает, затем возрастает, значит, $x=26$ является точкой минимума.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10507.

Часть 2

13. Выполните следующие пункты:

а) Решите уравнение $ \cos 2x + \sqrt 2 \sin x + 1 = 0 $.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $ \left[ { - 3\pi ; - \frac{{3\pi }}{2}} \right] $.

Верный ответ:
а) $x=-\frac\pi4+2\pi k$ или $x=-\frac{3\pi}4+2\pi k$, $k\in Z$.
б) $-\frac{11\pi}{4};\ -\frac{9\pi}{4}$.

Пояснение.
Заменим $\cos2x$ по формуле $\cos2x=1-2\sin^2x$:
$1-2\sin^2x+\sqrt2\sin x+1=0$, то есть $2\sin^2x-\sqrt2\sin x-2=0$.
Рассматривая это выражение как квадратное уравнение относительно $\sin x$, получаем $\sin x=\sqrt2$ или $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$. Значение $\sqrt2$ невозможно для синуса, так как $|\sin x|\leqslant1$. Поэтому остаётся $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$, что даёт две серии корней из пункта а.
Для обеих серий условие $-3\pi\leqslant x\leqslant-\frac{3\pi}{2}$ выполняется только при $k=-1$: получаются $-\frac{9\pi}{4}$ и $-\frac{11\pi}{4}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10166.

14. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно $ \sqrt {730} $.
а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Верный ответ: б) $\arctan\frac{21}{17}$.
Радиус основания равен $13$. Расстояние от центра окружности до хорды длины $24$ равно $\sqrt{13^2-12^2}=5$, а до хорды длины $10$ — $\sqrt{13^2-5^2}=12$.
а) Хорды лежат в параллельных основаниях и параллельны друг другу. Если бы центры оснований находились с одной стороны от секущей плоскости, горизонтальное расстояние между прямыми, содержащими хорды, было бы $12-5=7$. Тогда расстояние между хордами равнялось бы $\sqrt{21^2+7^2}=7\sqrt{10}$, что не совпадает с $\sqrt{730}$. При расположении центров по разные стороны горизонтальное расстояние равно $12+5=17$, и $\sqrt{21^2+17^2}=\sqrt{730}$, как в условии.
б) Рассмотрим сечение плоскостью, перпендикулярной хордам. След секущей плоскости поднимается на высоту цилиндра $21$, проходя по горизонтали $17$. Поэтому для угла $\alpha$ между плоскостями $\tan\alpha=\frac{21}{17}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10338.

15. Решите неравенство $5^{x+3}-5^{x-2}-5^x\lt 6^{\frac{x}{2}+3}-6^{\frac{x}{2}+2}+3\cdot6^{\frac{x}{2}+1}$.

Верный ответ: $x\lt \log_{\frac5{\sqrt6}}\frac{1650}{1033}$.

Решение.
Вынесем общие степенные множители:
$ 5^{x+3}-5^{x-2}-5^x=5^{x-2}(5^5-1-5^2)=3099\cdot5^{x-2}$,
$ 6^{\frac x2+3}-6^{\frac x2+2}+3\cdot6^{\frac x2+1}=6^{\frac x2+1}(6^2-6+3)=33\cdot6^{\frac x2+1}$.
Поэтому неравенство равносильно $\frac{3099}{25}\cdot5^x\lt 198\cdot(\sqrt6)^x$. Делим на положительное число $\frac{3099}{25}(\sqrt6)^x$:
$ \left(\frac5{\sqrt6}\right)^x\lt \frac{1650}{1033}$.
Основание $\frac5{\sqrt6}\gt 1$, поэтому показательная функция возрастает и знак неравенства при переходе к логарифму не меняется.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10168.

16. 15 января планируется взять кредит в банке на 5 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Верный ответ: 103.

Пусть сумма кредита равна $S$. За 5 месяцев долг уменьшается равными частями, поэтому перед начислением процентов он последовательно равен
$S,\ \frac45S,\ \frac35S,\ \frac25S,\ \frac15S$.
Сумма этих остатков равна $3S$.

Процентная ставка составляет 1% в месяц, значит, за весь срок начислят
$0{,}01\cdot3S=0{,}03S$.
Кроме процентов заёмщик возвращает сам кредит $S$, поэтому общая сумма выплат равна $1{,}03S$, то есть 103% от суммы кредита.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10322.

17. Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A₂, B₂ и C₂ — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 4, BC = 7 и AC = 8.

Верный ответ: б) $\frac{43}{2}$.

а) Центр тяжести делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Так как A₂ — середина AM, то $AA_2=AA_1/3$; аналогичные равенства верны для B₂ и C₂.
Рассмотрим угловой четырёхугольник $AC_1A_2B_1$. Он состоит из двух треугольников. У каждого основание равно половине соответствующей стороны большого треугольника, а высота равна одной шестой соответствующей высоты, поэтому площадь каждого равна $S_{ABC}/12$. Значит, площадь четырёхугольника равна $S_{ABC}/6$. Таких угловых четырёхугольников три, их общая площадь равна $S_{ABC}/2$, поэтому на центральный шестиугольник также приходится половина площади ABC.

б) Возьмём M за начало векторов и обозначим $\vec{MA}=\vec a$, $\vec{MB}=\vec b$, $\vec{MC}=\vec c$. Для центра тяжести $\vec a+\vec b+\vec c=0$. Вершины шестиугольника имеют векторы $\pm\vec a/2$, $\pm\vec b/2$, $\pm\vec c/2$, поэтому среди его сторон по две имеют длины $MA/2$, $MB/2$, $MC/2$.
Отсюда сумма квадратов сторон равна $\frac12(MA^2+MB^2+MC^2)$. Из $\vec a+\vec b+\vec c=0$ следует
\[MA^2+MB^2+MC^2=\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{3}.\]
Значит, искомая сумма равна $\frac{4^2+7^2+8^2}{6}=\frac{129}{6}=\frac{43}{2}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10359.

18. Найдите все значения $a $, при каждом из которых уравнение $$ {x^4} - 2{x^3} - 4{x^2} + 10x - 5 - 2ax + 6a - {a^2} = 0 $$ имеет не менее трёх корней.

Верный ответ: $0\le a\le5$.

Многочлен раскладывается так:
\[x^4-2x^3-4x^2+10x-5-2ax+6a-a^2=(x^2+a-5)\bigl((x-1)^2-a\bigr).\]
Значит,
\[x^2=5-a\quad\text{или}\quad (x-1)^2=a.\]
Первое уравнение имеет действительные корни при $a\le5$, второе — при $a\ge0$. При $0При \(a=0$ второе уравнение даёт единственный корень $x=1$, а первое — ещё два. При $a=5$ первое уравнение даёт $x=0$, а второе — два других корня. Обе границы подходят, а вне отрезка $[0;5]$ корней не более двух.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10152.

19. а) Существует ли такое кратное 11 трёхзначное число, у которого вторая цифра равна произведению двух других его цифр?
б) Существует ли такое кратное 11 трёхзначное число, у которого сумма всех цифр равна 5?
в) Найдите наименьшее кратное 11 восьмизначное число, среди цифр которого по одному разу встречаются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 и 9. Ответ обоснуйте.

Верный ответ:
а) да, например 242;
б) нет;
в) 12 738 495.

Используем признак делимости на 11: разность суммы цифр на нечётных местах и суммы цифр на чётных местах должна делиться на 11.
а) Для числа 242 имеем $2-4+2=0$, поэтому оно кратно 11. Средняя цифра равна произведению крайних: $4=2\cdot2$.
б) Пусть цифры трёхзначного числа равны $a,b,c$ и $a+b+c=5$. Тогда выражение из признака делимости равно $a-b+c=5-2b$. При $b=0,1,2,3,4,5$ получаются только числа 5, 3, 1, −1, −3, −5; ни одно из них не делится на 11.
в) Сумма восьми данных цифр равна 39, поэтому суммы цифр на нечётных и чётных местах должны быть 25 и 14. Для наименьшего числа ставим впереди 1, а второй цифрой — 2. Если бы сумма цифр на нечётных местах была 14, то ещё три цифры на этих местах должны были бы иметь сумму 13, но среди оставшихся цифр такой тройки нет. Значит, сумма на нечётных местах равна 25, и после первой цифры 1 там нужно набрать ещё 24. Наименьшая возможная третья цифра — 7: при 3, 4 или 5 две оставшиеся цифры не дадут нужную сумму, а $7+8+9=24$. Оставшиеся цифры расставляем по возрастанию на местах той же чётности.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10191.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Вариант 9

Часть 2