Тест ЕГЭ по профильной математике решать онлайн

1. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 28°. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Верный ответ: 59

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10368.

2. На координатной плоскости изображены векторы $ \vec a $ и $ \vec b $. Найдите $ \cos \alpha $, где $ \alpha $ - угол между векторами $ \vec a $ и $ \vec b $.

Верный ответ: -0,8

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21347.

3. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $ \frac{1}{4} $ высоты. Объём жидкости равен 5 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Верный ответ: 315

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10408.

4. В корабельной артиллерии применяется система управления огнём. Орудие делает выстрел по цели. Если цель не поражена, делается ещё один выстрел. Третий выстрел не делается. Известно, что вероятность поражения цели каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Найдите вероятность того, что цель будет поражена.

Верный ответ: 0,96

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10347.

5. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 7. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.

Верный ответ: 0,42

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15352.

6. Найдите корень уравнения $ {\log _2}(15 + x) = {\log _2}3 $.

Верный ответ: -12

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10481.

7. Найдите значение выражения $ \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } - \sqrt 5 $.

Верный ответ: -2

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10333.

8. На рисунке изображены график функции $ y = f(x) $ и касательная к нему в точке с абсциссой ${x_0}$. Найдите значение производной функции $ f(x) $ в точке ${x_0}$.

Верный ответ: 2

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10483.

9. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана- Больцмана, согласно которому $ P = \sigma S{T^4} $, где $ P $ - мощность излучения звезды (в ваттах), $ \sigma $ = 5,7 × 10^-8 $ \frac{{Вт}}{{{м^2} \cdot {К^4}}} $ - постоянная, $ S $ - площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $ T$ - температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $ S = \frac{1}{{256}} \cdot {10^{21}} $ м², а мощность её излучения равна 5,7 ⋅ 10²⁵ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Верный ответ: 4000

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10372.

10. Если смешать 45-процентный раствор кислоты и 97-процентный раствор этой же кислоты и добавить 10 кг чистой воды, получится 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 45-процентного раствора использовали для получения смеси?

Верный ответ: 15

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10392.

11. На рисунке изображён график функции $ f(x) = a{x^2} - 3x + c $. Найдите $ f( - 4) $.

Верный ответ: -14

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15351.

12. Найдите точку минимума функции $ y = (25 - x){e^{25 - x}} $.

Верный ответ: 26

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10507.

Часть 2

13. Выполните следующие пункты:

а) Решите уравнение $ \cos 2x + \sqrt 2 \sin x + 1 = 0 $.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $ \left[ { - 3\pi ; - \frac{{3\pi }}{2}} \right] $.

а) $ - \frac{\pi }{4} + 2\pi k, - \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,k \in Z $

б) $ - \frac{{11\pi }}{4}, - \frac{{9\pi }}{4} $

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10166.

14. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно $ \sqrt {730} $.
а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

б) $ arctg\frac{{21}}{{17}} $

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10338.

15. Решите неравенство $ {5^{x + 3}} - {5^{x - 2}} - {5^x} $ < $ {6^{\frac{x}{2} + 3}} - {6^{\frac{x}{2} + 2}} + 3 \cdot {6^{\frac{x}{2} + 1}} $.

$ x < \frac{{\lg 2}}{{\lg 5 - \lg \sqrt 6 }} $

Замечание. Ответ может также быть представлен в другом виде, например,

$ x < \frac{1}{{{{\log }_2}5 - {{\log }_2}\sqrt 6 }} $ или $ x < \frac{{\lg 4}}{{\lg 25 - \lg 6}} $.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10168.

16. 15 января планируется взять кредит в банке на 5 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

103

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10322.

17. Медианы AA₁, BB₁ и CC₁, треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A₂, B₂ и C₂ - середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 4, BC = 7 и AC = 8.

б) $ \frac{{43}}{2} $

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10359.

18. Найдите все значения $a $, при каждом из которых уравнение $$ {x^4} - 2{x^3} - 4{x^2} + 10x - 5 - 2ax + 6a - {a^2} = 0 $$ имеет не менее трёх корней.

$ 0 \le a \le 5 $

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10152.

19. а) Существует ли такое кратное 11 трёхзначное число, у которого вторая цифра равна произведению двух других его цифр?
б) Существует ли такое. кратное 11 трёхзначное число, у которого сумма всех цифр равна 5?
в) Найдите наименьшее кратное 11 восьмизначное число, среди цифр которого по одному разу встречаются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 и 9. Ответ обоснуйте.

а) да, например 242
б) нет
в) 12 738 495

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10191.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Часть 2