Тест ЕГЭ по профильной математике 2027, вариант 10

1. В треугольнике ABC угол B равен 74°. Найдите угол AOC, где O — центр вписанной окружности. Ответ дайте в градусах.

Верный ответ: 127

Подсказка: для центра вписанной окружности $O$ выполняется формула $\angle AOC = 90° + \frac{\angle B}{2}$. Подставляем: $90° + 74°/2 = 127°$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24339.

2. На координатной плоскости изображены векторы $ \vec a $ и $ \vec b $. Найдите косинус угла между векторами $ \vec a $ и $ \vec b $.

Верный ответ: -0,6

С рисунка получаем $\vec a=(-2;6)$ и $\vec b=(12;-4)$. Их скалярное произведение:
$\vec a\cdot\vec b=(-2)\cdot12+6\cdot(-4)=-48$.
Длины равны $|\vec a|=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ и $|\vec b|=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$. Тогда
$\cos\alpha=\dfrac{-48}{(2\sqrt{10})(4\sqrt{10})}=\dfrac{-48}{80}=-0{,}6$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21348.

3. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $ \frac{1}{3} $ высоты. Объём жидкости равен 4 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Верный ответ: 104

Жидкость занимает меньший конус, подобный сосуду. Отношение высот равно $\frac13$, значит, отношение объёмов равно $\left(\frac13\right)^3=\frac1{27}$. Поэтому 4 мл — это $\frac1{27}$ вместимости сосуда.
Вместимость равна $4\cdot27=108$ мл. Нужно долить $108-4=104$ мл.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10427.

4. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков делится на 5, но не делится на 30.

Верный ответ: 0,25

Чтобы произведение делилось на 5, хотя бы на одном кубике должна выпасть 5: среди чисел от 1 до 6 другого множителя 5 нет.

Исходов с пятёркой на первом кубике 6, с пятёркой на втором — ещё 6, но пару (5; 5) мы при таком подсчёте учли дважды. Поэтому произведение делится на 5 в 6 + 6 − 1 = 11 случаях.

Из них нужно исключить пары (5; 6) и (6; 5), потому что их произведение равно 30 и делится на 30. Остаётся 11 − 2 = 9 исходов из 36, то есть 9 / 36 = 0,25.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10442.

5. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 8. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Округлите ответ до сотых.

Верный ответ: 0,28

После первого броска сумма не может превысить 8, поэтому испытание закончится на втором броске именно тогда, когда сумма двух результатов окажется больше 8.

Подходят суммы 9, 10, 11 и 12. Число упорядоченных пар для них равно соответственно $4,3,2,1$, то есть всего $4+3+2+1=10$ пар из 36.

$P=\frac{10}{36}=0,2777\ldots$. После округления до сотых получаем 0,28.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15354.

6. Найдите корень уравнения $ \sqrt {\frac{{2x + 5}}{3}} = 5 $.

Верный ответ: 35

Правая часть равна $5$ и неотрицательна, поэтому можно возвести обе части уравнения в квадрат:
$\frac{2x+5}{3}=25$.
Умножаем на $3$: $2x+5=75$. Тогда $2x=70$, откуда $x=35$.

Проверка: при $x=35$ под корнем получается $\frac{75}{3}=25$, а $\sqrt{25}=5$, поэтому найденное значение подходит.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10158.

7. Найдите значение выражения $ \sqrt {200} \cdot {\cos ^2}\frac{{5\pi }}{8} - \sqrt {50} $.

Верный ответ: -5

Используем формулу понижения степени:
$\cos^2 x=\frac{1+\cos2x}{2}$.
При $x=\frac{5\pi}{8}$ получаем
$\cos^2\frac{5\pi}{8}=\frac{1+\cos\frac{5\pi}{4}}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt2}{4}$.

Также $\sqrt{200}=10\sqrt2$, а $\sqrt{50}=5\sqrt2$. Тогда
$10\sqrt2\cdot\frac{2-\sqrt2}{4}-5\sqrt2$
$=5\sqrt2-5-5\sqrt2=-5$.
Слагаемые с $\sqrt2$ сокращаются.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10295.

8. На рисунке изображён график $ y = f'(x) $ - производной функции $ f(x) $, определённой на интервале $ (-5; 5) $. Найдите количество точек максимума функции $ f(x) $, принадлежащих отрезку $ [-3; 4] $.

Верный ответ: 2

В точке максимума функция сначала возрастает, а затем убывает. Для производной это означает смену знака с «плюса» на «минус»: график $f'(x)$ должен пересечь ось $Ox$ сверху вниз.
На отрезке $[-3;4]$ такой переход происходит дважды — при $x=0$ и при $x=3$. Пересечение между ними, где производная меняет знак с «минуса» на «плюс», соответствует минимуму функции и не учитывается.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10160.

9. Скорость движения автомобиля $ \upsilon $ (км/ч) и угловая скорость вращения вала двигателя $ {\omega _{двиг.}} $ (об/мин) связаны соотношением $$ \upsilon = \frac{{0,0006 \cdot \pi d{\omega _{двиг.}}}}{{kb}} $$ где $d $ - диаметр колеса (см), $k $ - передаточное число дифференциала автомобиля, $b $ - передаточное число коробки передач при выбранной передаче. В таблице указаны передаточные числа для автомобиля «Лада-Калина».

У автомобиля «Лада-Калина» диаметр колеса равен 56 см. Водитель двигается на 1-й передаче с постоянной скоростью. Прибор (тахометр) показывает, что число оборотов двигателя равно 4000 об/мин. Считайте, что $ \pi $ = 3,14. Найдите скорость автомобиля в км/ч. Результат округлите до целого значения.

Верный ответ: 31

В знаменателе формулы нужны два числа из таблицы: для дифференциала $k=3{,}706$, для 1-й передачи $b=3{,}636$.
Подставляем диаметр колеса и число оборотов двигателя:
$$\upsilon=\frac{0{,}0006\cdot3{,}14\cdot56\cdot4000}{3{,}706\cdot3{,}636}\approx31{,}32.$$
До целого округляем только итог вычисления. Поскольку цифра в разряде десятых меньше 5, округление выполняется вниз.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10144.

10. Семь одинаковых рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов десять таких же рубашек дороже куртки?

Верный ответ: 40

Примем стоимость куртки за 100%. Тогда семь рубашек стоят на 2% меньше, то есть 98% стоимости куртки.

Одна рубашка стоит 98/7 = 14% стоимости куртки, поэтому десять рубашек стоят:
10 · 14% = 140% стоимости куртки.

Чтобы найти, на сколько процентов они дороже, сравниваем 140% со 100%: превышение составляет 40%. Проценты здесь считаются именно от цены куртки.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10487.

11. На рисунке изображён график функции $f(x)=ax^2-8x+c$. Найдите $f(-2)$.

Верный ответ: 27

Абсцисса вершины параболы равна $x_0=\frac{8}{2a}=\frac{4}{a}$. По графику $x_0=2$, значит, $a=2$.
Вершина имеет ординату $-5$: $f(2)=2\cdot4-8\cdot2+c=-5$. Отсюда $c=3$.
Следовательно, $f(x)=2x^2-8x+3$. При $x=-2$ оба первых слагаемых положительны: $f(-2)=8+16+3=27$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15353.

12. Найдите наименьшее значение функции $ y = 4x - \ln (4x) + 16 $ на отрезке $ \left[ {\frac{1}{8};\frac{5}{8}} \right] $.

Верный ответ: 17

На заданном отрезке $x>0$, поэтому функция и её производная определены.
$y'=4-\frac1x=\frac{4x-1}{x}$. Поскольку знаменатель положителен, производная отрицательна при $x<\frac14$ и положительна при $x>\frac14$. Значит, функция убывает до $x=\frac14$, а затем возрастает.
В точке минимума $y\left(\frac14\right)=4\cdot\frac14-\ln1+16=17$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10279.

Часть 2

13. Выполните следующие пункты:

а) Решите уравнение $ 2 - 5\cos x - \cos 2x = 0 $.
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $ \left[ { - \frac{{5\pi }}{2}; - \pi } \right] $.

Верный ответ:
а) $x=\pm\frac\pi3+2\pi k$, $k\in Z$.
б) $-\frac{7\pi}{3};\ -\frac{5\pi}{3}$.

Пояснение.
Используем формулу $\cos2x=2\cos^2x-1$:
$2-5\cos x-(2\cos^2x-1)=0$, откуда $2\cos^2x+5\cos x-3=0$.
Корни этого квадратного уравнения: $\cos x=\frac12$ и $\cos x=-3$. Второе значение невозможно, поскольку косинус принимает значения только от $-1$ до $1$. Поэтому $\cos x=\frac12$, а значит, $x=\pm\frac\pi3+2\pi k$.
На отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]$ из этих серий остаются значения, полученные при $k=-1$: $-\frac{7\pi}{3}$ и $-\frac{5\pi}{3}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10185.

14. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 1.
а) Докажите, что прямая AB₁ параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AC и BC₁.
б) Найдите косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁.

Верный ответ: б) $\frac14$.
а) Пусть $M$ — середина $AC$, а $N$ — середина $BC_1$. Через радиус-векторы точек получаем $\overrightarrow{MN}=\frac12(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C_1}-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{C})$. Так как $\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{BB_1}$, это выражение равно $\frac12\overrightarrow{AB_1}$. Следовательно, $MN\parallel AB_1$.
б) Возьмём $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(\frac12;\frac{\sqrt3}{2};0)$, а боковые рёбра направим вдоль оси $z$. Тогда $\overrightarrow{AB_1}=(1;0;1)$, $\overrightarrow{BC_1}=(-\frac12;\frac{\sqrt3}{2};1)$. Их скалярное произведение равно $\frac12$, а длина каждого вектора равна $\sqrt2$. Поэтому $\cos\alpha=\frac{1/2}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac14$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10300.

15. Решите неравенство $ \frac{{{x^2} - 2x - 1}}{{x - 2}} + \frac{2}{{x - 3}} \le x $.

Верный ответ: $\left(-\infty;1\right]\cup\left(2;3\right)$.

Решение.
По ОДЗ $x\ne2$ и $x\ne3$. Перенесём $x$ в левую часть:
$ \frac{x^2-2x-1}{x-2}-x+\frac2{x-3}\le0$.
Первые два слагаемых дают $-\frac1{x-2}$, поэтому
$ -\frac1{x-2}+\frac2{x-3}=\frac{x-1}{(x-2)(x-3)}\le0$.
Критические точки: $1$ — нуль числителя, $2$ и $3$ — нули знаменателя. Метод интервалов показывает, что дробь неположительна при $x\le1$ и при $2\lt x\lt 3$. Точка $1$ включается, а $2$ и $3$ исключаются по ОДЗ.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10206.

16. 31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 11% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 11%), затем Василий переводит в банк 3 696 300 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Верный ответ: 6 330 000 рублей.

Пусть Василий взял $S$ рублей, а ежегодный платёж равен $P=3\,696\,300$ рублей.

После начисления 11% и первого платежа долг станет равен
$1{,}11S-P$.
Через год банк снова увеличит этот остаток на 11%, после чего второй такой же платёж должен полностью закрыть долг:
$1{,}11(1{,}11S-P)-P=0$.

Раскрывая скобки, получаем
$1{,}2321S=2{,}11P$.
Подставляем величину платежа:
$S=\frac{2{,}11\cdot3\,696\,300}{1{,}2321}=6\,330\,000$ рублей.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10246.

17. Дан остроугольный треугольник ABC. Биссектриса внутреннего угла при вершине B пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке M, а биссектриса внутреннего угла при вершине C пересекает биссектрису внешнего угла при вершине B в точке N.
а) Докажите, что $2\angle CNM=\angle ABC$.
б) Найдите CN, если AB = AC = 13, BC = 10.

Верный ответ: б) $6\sqrt{13}$.

а) Внутренняя и внешняя биссектрисы одного угла взаимно перпендикулярны. Поэтому $\angle MBN=90^\circ$ и $\angle MCN=90^\circ$. Следовательно, четырёхугольник BMCN вписан в окружность с диаметром MN.
Вписанные углы $\angle CNM$ и $\angle CBM$ опираются на одну хорду CM, значит, $\angle CNM=\angle CBM$. Луч BM делит угол ABC пополам, поэтому $\angle CBM=\frac12\angle ABC$. Значит, $2\angle CNM=\angle ABC$.

б) N является центром вневписанной окружности, противоположной вершине C. Для равнобедренного треугольника с боковой стороной s и основанием a расстояние от этого центра до вершины C удовлетворяет формуле
\[CN^2=s(2s+a).\]
Она получается из $CN=r_C/\sin(C/2)$: здесь $r_C$ равен высоте треугольника, а $\cos C=a/(2s)$. При $s=13$, $a=10$:
\[CN^2=13(26+10)=13\cdot36,\]
откуда $CN=6\sqrt{13}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10131.

18. Найдите все значения $ a $, при каждом из которых уравнение $$ {\left( {3{x^2} - 3x + {a^2} + 9} \right)^2} = 12{a^2}\left( {{x^2} - x + 3} \right) $$ имеет ровно один корень.

Верный ответ: $a=\pm\dfrac{\sqrt{33}}2$.

Пусть $u=x^2-x+3$. Тогда выражение в первых скобках равно $3u+a^2$, и уравнение принимает вид
\[(3u+a^2)^2=12a^2u.\]
Левая часть после переноса сворачивается:
\[(3u-a^2)^2=0.\]
Значит,
\[x^2-x+3=\frac{a^2}{3}.\]
Для единственного действительного корня дискриминант квадратного уравнения по $x$ должен быть равен нулю:
\[D=1-4\left(3-\frac{a^2}{3}\right)=0.\]
Получаем $a^2=\dfrac{33}{4}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10456.

19. Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел -1, 2, 4, -6, 7, -8, -10, 12. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел -1, 2, 4, -6, 7, -8, -10, 12. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Верный ответ:
а) нет;
б) нет;
в) 16.

а) Нулевая сумма на карточке могла бы получиться только при сложении двух противоположных чисел. Среди чисел −1, 2, 4, −6, 7, −8, −10, 12 нет ни одной пары вида $x$ и $-x$, поэтому ни один множитель не может быть равен нулю.
б) На каждой стороне карточек записаны два нечётных и шесть чётных чисел. Нечётную сумму даёт только пара чисел разной чётности. Таких пар может быть не более четырёх, поэтому как минимум четыре из восьми сумм будут чётными. Поскольку нулевых сумм нет, модуль каждой из этих четырёх сумм не меньше 2, а модуль произведения не меньше $2^4=16$. Значение 1 невозможно.
в) Нижняя граница 16 достигается. Можно попарно поменять числа местами так: $-1$ с 2, 4 с −6, 7 с −8, −10 с 12. Тогда восемь сумм равны $1,1,-2,-2,-1,-1,2,2$, а их произведение равно 16.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10343.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Вариант 10

Часть 2