Тест ЕГЭ по профильной математике 2027, вариант 11

1. Средняя линия трапеции равна 24. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 2:3. Найдите большее основание трапеции.

Верный ответ: 28,8

Подсказка: диагональ трапеции делит среднюю линию на отрезки, равные половинам оснований, поэтому основания относятся как 2:3. Средняя линия равна полусумме оснований: $(a + b)/2 = 24$, значит $a + b = 48$. Большее основание: $48 \cdot 3/5 = 28,8$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24340.

2. Даны векторы $ \vec a $(6;-1), $ \vec b $(-5;-2) и $ \vec c $(-3;5). Найдите длину вектора $ \vec a - \vec b + \vec c $.

Верный ответ: 10

Выполняем действия с соответствующими координатами:
$\vec a-\vec b+\vec c=(6-(-5)+(-3);-1-(-2)+5)=(8;6)$.
Теперь находим длину: $\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$. Знаки перед векторами важно учитывать в обеих координатах.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21349.

3. Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 30°. Боковое ребро равно 6. Найдите диагональ призмы.

Верный ответ: 12

Диагональ призмы, её проекция на основание и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. Боковое ребро длиной 6 лежит напротив угла $30^\circ$, поскольку этот угол является углом между диагональю и плоскостью основания.
Следовательно, $\sin30^\circ=\frac{6}{d}$. Так как $\sin30^\circ=\frac12$, диагональ равна $d=12$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10332.

4. Клиент получает в банке кредитную карту. Четыре последние цифры номера карты случайные. Какова вероятность того, что эти четыре цифры образуют две одинаковые группы по две цифры, причём цифры внутри каждой группы различны, например 0404 или 5252?

Верный ответ: 0,009

Любая запись из четырёх цифр равновероятна, поэтому всего имеется 10⁴ = 10000 вариантов.

Обозначим первые две цифры через A и B. Цифру A можно выбрать 10 способами, а цифру B — 9 способами, потому что по условию B должна отличаться от A. После этого последние две цифры уже определены: они снова должны быть A и B. Получается 10 · 9 = 90 подходящих записей вида ABAB.

Вероятность равна 90 / 10000 = 0,009. Дополнительно выбирать третью и четвёртую цифры нельзя: они обязаны повторять первые две.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10119.

5. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 4. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска?

Верный ответ: 0,5

Важно учесть оба условия: после первого броска сумма должна быть не больше 4, а после второго — больше 4. Поэтому результаты 5 и 6 на первом броске не подходят: при них испытание закончилось бы сразу.

Если первым выпало 1, для второго броска подходят 4, 5, 6 — 3 варианта; если 2 — 4 варианта; если 3 — 5 вариантов; если 4 — все 6 вариантов. Всего $3+4+5+6=18$ подходящих упорядоченных пар из 36.

$P=\frac{18}{36}=0,5$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15356.

6. Найдите корень уравнения $ {\log _2}( - 2 - x) = 1 $.

Верный ответ: -4

По определению логарифма равенство
$\log_2(-2-x)=1$
означает, что
$-2-x=2^1$.
Получаем $-2-x=2$, откуда $-x=4$ и $x=-4$.

Аргумент логарифма обязан быть положительным. При $x=-4$ он равен $-2-(-4)=2>0$, поэтому корень допустим.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10310.

7. Найдите значение выражения $ ({246^2} - {17^2}):263 $.

Верный ответ: 229

Используем разность квадратов:
$246^2-17^2=(246-17)(246+17)$.
Сумма $246+17=263$ совпадает со знаменателем, поэтому этот множитель сокращается:
$\frac{(246-17)(246+17)}{263}=246-17=229$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10428.

8. На рисунке изображён график функции $ y = f(x) $, определённой на интервале (-6; 6). Найдите количество решений уравнения $ f'(x) = 0 $ на отрезке $[-5{,}5; 4]$.

Верный ответ: 6

Равенство $f'(x)=0$ означает, что касательная к графику функции горизонтальна. На данном рисунке такие касательные получаются в вершинах «горбов» и в нижних точках «впадин».
На отрезке $[-5{,}5;4]$ видны три точки локального максимума и три точки локального минимума. Крайняя впадина справа расположена за пределами этого отрезка и не учитывается. Всего внутри заданного промежутка шесть решений уравнения.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10293.

9. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f=28$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 40 до 60 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от 53 до 77 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $\frac1{d_1}+\frac1{d_2}=\frac1f$. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ дайте в сантиметрах.

Верный ответ: 44

Из формулы линзы выразим расстояние до лампочки:
$$\frac1{d_1}=\frac1{28}-\frac1{d_2}.$$
Чтобы $d_1$ было как можно меньше, величина $\frac1{d_1}$ должна быть как можно больше. Для этого $\frac1{d_2}$ должно быть как можно меньше, то есть нужно взять наибольшее разрешённое расстояние до экрана: $d_2=77$ см.
Тогда
$$\frac1{d_1}=\frac1{28}-\frac1{77}=\frac{49}{2156}=\frac1{44}.$$
Полученное значение входит в разрешённый для $d_1$ промежуток от 40 до 60 см.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10315.

10. Девять одинаковых рубашек дешевле куртки на 7%. На сколько процентов двенадцать таких же рубашек дороже куртки?

Верный ответ: 24

Примем цену куртки за 100%. Девять одинаковых рубашек дешевле неё на 7%, значит, стоят 93% цены куртки.

Стоимость двенадцати рубашек по отношению к цене куртки равна:
93% · 12/9 = 124%.

Следовательно, превышение над стоимостью куртки равно 124% - 100% = 24%. Сравнивать нужно с ценой куртки, потому что именно она является базой в вопросе.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10506.

11. На рисунке изображён график функции $f(x)=ax^2-3x+c$. Найдите $f(5)$.

Верный ответ: -61

На графике отмечены точки $(-2;2)$ и $(1;-1)$. Подставим их в формулу функции:
$4a+c=-4$ и $a+c=2$.
После вычитания получаем $3a=-6$, то есть $a=-2$. Тогда $c=4$, поэтому $f(x)=-2x^2-3x+4$.
При $x=5$: $f(5)=-2\cdot25-15+4=-61$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15355.

12. Найдите наибольшее значение функции $ y = {x^5} + 20{x^3} - 65x $ на отрезке $ \left[ { - 4;0} \right] $.

Верный ответ: 44

Найдём критические точки:
$y'=5x^4+60x^2-65=5(x^2-1)(x^2+13)=5(x-1)(x+1)(x^2+13)$.
Множитель $x^2+13$ всегда положителен. Из действительных корней $x=-1$ и $x=1$ заданному отрезку принадлежит только $x=-1$.
Проверяем её и концы отрезка: $y(-4)=-2044$, $y(-1)=44$, $y(0)=0$. Наибольшее из этих значений получается при $x=-1$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10241.

Часть 2

13. Выполните следующие пункты:

а) Решите уравнение $ \frac{{2{{\sin }^2}x - \sin x}}{{2\cos x - \sqrt 3 }} = 0 $.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $ \left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right] $.

Верный ответ:
а) $x=\pi n$ или $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$, $n\in Z$.
б) $2\pi;\ \frac{17\pi}{6};\ 3\pi$.

Пояснение.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Числитель раскладывается на множители: $2\sin^2x-\sin x=\sin x(2\sin x-1)$. Поэтому $\sin x=0$ или $\sin x=\frac12$.
Из $\sin x=0$ получаем $x=\pi n$; при этих значениях знаменатель не обращается в ноль. Равенство $\sin x=\frac12$ даёт $x=\frac\pi6+2\pi n$ и $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$. Первая серия не подходит: при $x=\frac\pi6+2\pi n$ имеем $2\cos x-\sqrt3=0$, то есть исходная дробь не определена. Вторая серия допустима.
На отрезке $\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]$ серия $x=\pi n$ даёт $2\pi$ и $3\pi$, а вторая серия — $\frac{17\pi}{6}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10318.

14. В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Точка M - середина ребра B₁C₁, точка N лежит на ребре AC, причём AN : NC = 15 : 1. Катет AC в четыре раза больше бокового ребра AA₁ призмы.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна прямой CA₁.
б) Найдите угол между прямой MN и плоскостью основания A₁B₁C₁, если $ \cos \angle CBA = \frac{1}{{\sqrt 5 }} $.

Верный ответ: б) $\arctan\frac{4\sqrt{17}}{17}$.
а) Обозначим $AA_1=h$. Тогда $AC=4h$. Введём координаты: $C(0;0;0)$, $A(4h;0;0)$, $B(0;b;0)$, а верхнее основание расположим на высоте $h$. Так как $AN:NC=15:1$, то $NC=\frac{AC}{16}=\frac h4$, поэтому $N(\frac h4;0;0)$. Точка $M$ — середина $B_1C_1$, значит $M(0;\frac b2;h)$.
Направляющие векторы можно взять такими: $\overrightarrow{MN}=(\frac h4;-\frac b2;-h)$ и $\overrightarrow{CA_1}=(4h;0;h)$. Их скалярное произведение равно $h^2-h^2=0$, следовательно, $MN\perp CA_1$.
б) Из $\cos\angle CBA=\frac1{\sqrt5}$ следует $AC:BC=2:1$, поэтому $BC=2h$. Проекция $MN$ на плоскость основания имеет длину $\sqrt{(\frac h4)^2+(\frac{BC}{2})^2}=\frac{h\sqrt{17}}4$, а перпендикулярная основанию составляющая равна $h$. Значит, для искомого угла $\alpha$: $\tan\alpha=\frac{h}{h\sqrt{17}/4}=\frac{4\sqrt{17}}{17}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10110.

15. Решите неравенство $ 2x \ge {\log _3}\left( {\frac{{35}}{2} \cdot {6^{x - 1}} - 3 \cdot {4^{x - \frac{1}{2}}}} \right) $.

Верный ответ: $\left(\log_{\frac32}\frac{18}{35};-1\right]\cup\left[2;+\infty\right)$.

Решение.
По ОДЗ выражение под логарифмом положительно. Разделив его на $4^x\gt 0$, получаем $\frac{35}{12}\left(\frac32\right)^x-\frac32\gt 0$, поэтому $\left(\frac32\right)^x\gt \frac{18}{35}$.
Так как $2x=\log_3 3^{2x}$ и основание $3\gt 1$, можно сравнить аргументы:
$ 3^{2x}\ge\frac{35}{2}\cdot6^{x-1}-3\cdot4^{x-\frac12}$.
Делим на $4^x$ и обозначаем $t=\left(\frac32\right)^x$:
$ t^2-\frac{35}{12}t+\frac32\ge0$, или $(3t-2)(4t-9)\ge0$.
Следовательно, $t\le\frac23$ или $t\ge\frac94$. Функция $\left(\frac32\right)^x$ возрастает, значит $x\le-1$ или $x\ge2$. С учётом ОДЗ в первой части остаются только значения $x\gt \log_{\frac32}\frac{18}{35}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10130.

16. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 9 млн руб.

Верный ответ: 4 млн рублей.

Обозначим сумму кредита через $S$ млн рублей. В конце каждого из первых трёх лет выплачиваются только проценты — по $0{,}2S$, поэтому сумма этих платежей равна $0{,}6S$.

Два последних платежа одинаковы. Если каждый из них равен $x$, то после первого из них долг составляет $1{,}2S-x$, а после следующего начисления процентов второй платёж полностью закрывает кредит:
$1{,}2(1{,}2S-x)-x=0$.
Отсюда $x=\frac{36}{55}S$.

Общая выплата составляет
$0{,}6S+2x=\frac{21}{11}S$.
По условию $\frac{21}{11}S<9$, значит $S<\frac{33}{7}\approx4{,}71$. Поскольку кредит выдаётся на целое число миллионов рублей, наибольшая возможная сумма равна 4 млн рублей.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10151.

17. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина гипотенузы AB, H — точка пересечения прямых CM и DK.
а) Докажите, что прямые CM и DK перпендикулярны.
б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 30 и 40.

Верный ответ: б) 49.

а) Расположим треугольник так: $C(0;0)$, $A(a;0)$, $B(0;b)$. Тогда для внешних квадратов можно взять $D(0;-a)$, $K(-b;0)$, а середина гипотенузы имеет координаты $M(a/2;b/2)$.
Вектор CM пропорционален $(a;b)$, а вектор DK равен $(-b;a)$. Их скалярное произведение равно нулю, поэтому прямые перпендикулярны.

б) Решая уравнения прямых CM и DK, получаем, что на прямой CM точке H соответствует параметр $-ab/(a^2+b^2)$, а точке M — параметр $1/2$. Поэтому
\[MH=\frac{(a+b)^2}{2\sqrt{a^2+b^2}}.\]
Для $a=30$, $b=40$ гипотенуза равна 50, и $MH=\frac{70^2}{2\cdot50}=49$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10340.

18. Найдите все значения $ a $, при каждом из которых уравнение $$ {\left( {2{x^2} + x + 3{a^2} + 5} \right)^2} = 12{a^2}\left( {2{x^2} + x + 5} \right) $$ имеет ровно один корень.

Верный ответ: $a=\pm\dfrac{\sqrt{26}}4$.

Положим $u=2x^2+x+5$. Тогда выражение в первых скобках равно $u+3a^2$, и уравнение принимает вид
\[(u+3a^2)^2=12a^2u.\]
Переносим правую часть и сворачиваем полный квадрат:
\[u^2-6a^2u+9a^4=(u-3a^2)^2=0.\]
Следовательно,
\[2x^2+x+5=3a^2.\]
Ровно один корень по $x$ получается при нулевом дискриминанте:
\[D=1-8(5-3a^2)=24a^2-39=0.\]
Значит, $a^2=\dfrac{13}{8}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10418.

19. а) Приведите пример такого натурального числа $ n $, что числа $ {n^2} $ и $ {(n + 16)^2} $ дают одинаковый остаток при делении на 200.
б) Сколько существует трёхзначных чисел $ n $ с указанным в пункте $ a $ свойством?
в) Сколько существует двузначных чисел $ m $, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел $ n $, таких, что $ {n^2} $ и $ {(n + m)^2} $ дают одинаковый остаток при делении на 200?

Верный ответ:
а) 17;
б) 36;
в) 18.

а) Разность квадратов равна
$(n+16)^2-n^2=32(n+8)$.
Она делится на 200 тогда и только тогда, когда $n+8$ делится на 25, то есть $n\equiv17\pmod{25}$. Поэтому $n=17$ подходит.
б) Трёхзначные решения имеют вид $n=17+25k$. Первое из них — 117, последнее — 992. Между ними 36 чисел с шагом 25.
в) Для произвольного $m$ требуется
$m(2n+m)\equiv0\pmod{200}$, или $2mn\equiv-m^2\pmod{200}$. Пусть $g=\gcd(2m,200)$. Если решения существуют, они образуют один класс по модулю $200/g$. Чтобы среди 900 последовательных трёхзначных чисел было ровно 36 решений, этот модуль должен равняться 25, следовательно, $g=8$. Равенство $\gcd(2m,200)=8$ означает, что $m$ кратно 4, но не кратно 5. Двузначных кратных 4 чисел 22, из них четыре числа — 20, 40, 60 и 80 — кратны 5. Остаётся 18 значений.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10305.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Вариант 11

Часть 2