Тест ЕГЭ по профильной математике 2027, вариант 16

1. В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 36, вписана окружность, AB = 7. Найдите CD.

Верный ответ: 11

Подсказка: в описанном около окружности четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны и каждая такая сумма равна полупериметру. Полупериметр равен $36/2 = 18$. Значит $AB + CD = 18$, откуда $CD = 18 - 7 = 11$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24345.

2. Даны векторы $ \vec a $(2;-3), $ \vec b $(2;-1) и $ \vec c $($ {c_0} $; 3). Найдите $ {c_0} $, если $ \vec a \cdot \left( {\vec b + \vec c} \right) = 0 $.

Верный ответ: 1

Сначала найдём сумму в скобках:
$\vec b+\vec c=(2+c_0;-1+3)=(2+c_0;2)$.
По условию скалярное произведение с $\vec a=(2;-3)$ равно нулю:
$2(2+c_0)+(-3)\cdot2=0$.
После упрощения получаем $4+2c_0-6=0$, то есть $2c_0-2=0$, поэтому $c_0=1$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21354.

3. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если все его рёбра увеличить в 4 раза?

Верный ответ: 16

Площадь поверхности куба с ребром $a$ равна $6a^2$. После увеличения ребра в 4 раза она станет $6(4a)^2=16\cdot6a^2$.
Площадь увеличивается в квадрат коэффициента изменения длины, то есть в $4^2=16$ раз.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10484.

4. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 9. Результат округлите до тысячных.

Верный ответ: 0,116

При броске трёх кубиков всего имеется 6³ = 216 равновероятных упорядоченных исходов.

Зафиксируем результат третьего кубика. Если на нём выпало 1, первые два должны дать сумму 8 — это 5 пар. Для результатов третьего кубика 2, 3, 4, 5 и 6 первые два кубика должны дать соответственно суммы 7, 6, 5, 4 и 3; количество подходящих пар равно 6, 5, 4, 3 и 2.

Всего получаем 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 25 благоприятных исходов. Вероятность равна 25 / 216 = 0,115740… При округлении до тысячных получаем 0,116.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10404.

5. Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью $ p = \frac{{10}}{{17}} $ на единицу больше предыдущего и с вероятностью $ 1-p $ на единицу меньше предыдущего. Изменения на разных шагах независимы. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен -1?

Верный ответ: 0,7

Обозначим через $x$ вероятность когда-нибудь попасть из 0 в -1. Вероятность шага вниз равна $q=1-p=\frac{7}{17}$.

Рассмотрим первый шаг:
— с вероятностью $q$ последовательность сразу попадает в -1;
— с вероятностью $p$ она попадает в 1. Чтобы после этого достичь -1, нужно сначала спуститься из 1 в 0, а затем из 0 в -1. Из-за одинаковых правил на каждом уровне вероятность каждого такого спуска на единицу равна $x$, поэтому вероятность двух последовательных этапов равна $x^2$.

Получаем уравнение $x=q+px^2$. Его корни: $1$ и $\frac{q}{p}$. Здесь $p>q$, то есть движение вверх вероятнее движения вниз, поэтому попадание в -1 не является достоверным событием и корень $x=1$ не подходит.

Следовательно, $x=\frac{q}{p}=\frac{7/17}{10/17}=\frac{7}{10}=0,7$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15366.

6. Найдите корень уравнения $ {\left( {\frac{1}{9}} \right)^{x + 6}} = {81^x} $.

Верный ответ: -2

Приведём обе части к основанию $3$:
$\frac19=3^{-2}$, а $81=3^4$.
Тогда
$(3^{-2})^{x+6}=(3^4)^x$,
$3^{-2x-12}=3^{4x}$.
При одинаковом основании приравниваем показатели:
$-2x-12=4x$.
Получаем $-12=6x$, откуда $x=-2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10272.

7. Найдите значение выражения $ p(x) + p( - 20 - x) $, если $ p(x) = \frac{{x( - 20 - x)}}{{x + 10}} $ при $ x \ne -10 $.

Верный ответ: 0

Сначала преобразуем исходную функцию:
$p(x)=\frac{x(-20-x)}{x+10}=-\frac{x(x+20)}{x+10}$.

Теперь подставим вместо аргумента $-20-x$:
$p(-20-x)=\frac{(-20-x)\bigl(-20-(-20-x)\bigr)}{(-20-x)+10}$
$=\frac{(-20-x)x}{-10-x}=\frac{x(x+20)}{x+10}$.
Получилось число, противоположное $p(x)$, то есть $p(-20-x)=-p(x)$. Поэтому их сумма равна нулю.

Ограничение $x\ne-10$ необходимо, потому что при $x=-10$ знаменатель обращается в ноль.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10143.

8. На рисунке изображён график функции $ y = f(x) $. Найдите точку, в которой функция $ f(x) $ принимает наибольшее значение на отрезке [-4; 3].

Верный ответ: 3

Нужно найти не наибольшую ординату, а абсциссу точки, в которой достигается наибольшее значение функции. Рассматриваем только часть графика при $x\in[-4;3]$ и сравниваем высоты графика, включая концы отрезка.
Локальный максимум в левой части имеет меньшую высоту, чем значение функции в правом конце отрезка. Самая высокая точка рассматриваемой части графика соответствует $x=3$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10312.

9. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе показателей информативности $ In $, оперативности $ Op $, объективности $ Tr $ публикаций, а также качества $ Q $ сайта. Каждый отдельный показатель - целое число от -2 до 2. Составители рейтинга считают, что объективность ценится вдвое, а информативность публикаций - втрое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид $$ R = \frac{{3In + Op + 2Tr + Q}}{A} $$ Найдите, каким должно быть число A, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг 1.

Верный ответ: 14

Максимальное значение каждого показателя равно 2, поэтому в числитель подставляем $In=Op=Tr=Q=2$:
$$3\cdot2+2+2\cdot2+2=6+2+4+2=14.$$
Рейтинг должен быть равен 1. Дробь равна 1 тогда, когда её знаменатель равен числителю, поэтому коэффициент $A$ должен совпадать с найденным максимальным значением числителя.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10353.

10. Из точки A в точку B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 14 км/ч, а вторую половину пути - со скоростью 105 км/ч, в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 50 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Верный ответ: 84

Пусть скорость первого автомобиля равна x км/ч, а весь путь состоит из двух равных частей длиной S км. Тогда первый автомобиль находится в пути 2S/x часов.

Второй автомобиль первую половину пути едет со скоростью x - 14, а вторую — со скоростью 105 км/ч. Его время равно:
S/(x - 14) + S/105.

Автомобили прибыли одновременно, поэтому после сокращения на S:
2/x = 1/(x - 14) + 1/105.
Получаем уравнение x² - 119x + 2940 = 0 с корнями 35 и 84.

Оба корня положительны, но по условию скорость первого автомобиля больше 50 км/ч, поэтому значение 35 не подходит.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10278.

11. На рисунке изображён график функции $f(x)=\frac{k}{x}+a$. Найдите $f(50)$.

Верный ответ: -2,96

Пунктирная горизонтальная асимптота имеет уравнение $y=-3$, следовательно, $a=-3$.
График проходит через отмеченную точку $(-2;-4)$: $-4=\frac{k}{-2}-3$. Отсюда $k=2$.
Получаем $f(x)=\frac{2}{x}-3$. Поэтому $f(50)=\frac{2}{50}-3=0{,}04-3=-2{,}96$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15365.

12. Найдите наименьшее значение функции $ y = 13x - 10\sin x + 1 $ на отрезке $ \left[0;\frac{\pi}{2}\right] $.

Верный ответ: 1

Найдём производную: $y'=13-10\cos x$.
Поскольку $\cos x\leqslant1$, получаем $y'\geqslant13-10=3>0$. Поэтому функция возрастает на всём отрезке и принимает наименьшее значение в его левой границе.
При $x=0$: $y(0)=13\cdot0-10\sin0+1=1$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10146.

Часть 2

13. Выполните следующие пункты:

а) Решите уравнение $ (4{\sin ^2}x - 3)\sqrt {{x^2} - 36{\pi ^2}} = 0 $.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $ \left[ {15;20} \right] $.

Верный ответ:
а) $x=\pm 6\pi$; $x=\frac{19\pi}{3}+\pi n$, $x=\frac{20\pi}{3}+\pi n$, $x=-\frac{19\pi}{3}-\pi n$, $x=-\frac{20\pi}{3}-\pi n$, где $n=0,1,2,\ldots$.
б) $6\pi;\ \frac{19\pi}{3}$.

Пояснение.
Сначала учитываем область допустимых значений корня: $x^2-36\pi^2\geqslant0$, то есть $|x|\geqslant6\pi$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из его множителей равен нулю.
Из $\sqrt{x^2-36\pi^2}=0$ получаем $x=\pm6\pi$.
Из $4\sin^2x-3=0$ следует $\sin^2x=\frac34$, поэтому $x=\frac\pi3+\pi k$ или $x=\frac{2\pi}3+\pi k$, $k\in Z$. Оставляем только те значения, для которых $|x|\geqslant6\pi$; после отбора получаются четыре указанные последовательности.
Для пункта б сравним ближайшие положительные корни с границами отрезка: $6\pi\approx18{,}85$, $\frac{19\pi}{3}\approx19{,}90$, а следующий корень $\frac{20\pi}{3}\approx20{,}94>20$. Отрицательные корни на отрезок $[15;20]$ не попадают.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10109.

14. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 6 и диагональю BD = 11. Все боковые рёбра пирамиды равны 6. На отрезке BD отмечена точка E, а на ребре AS - точка F так, что SF = BE = 5.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

Верный ответ: б) $\frac{3\sqrt{23}}{11}$.
а) В основании $AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{85}$. Проекция вершины $S$ — центр прямоугольника, поэтому высота пирамиды равна $\sqrt{6^2-(\frac{11}{2})^2}=\frac{\sqrt{23}}2$. Введём координаты: $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $D(0;\sqrt{85};0)$, $C(6;\sqrt{85};0)$, $S(3;\frac{\sqrt{85}}2;\frac{\sqrt{23}}2)$.
Так как $BE=5$ при $BD=11$, а $SF=5$ при $SA=6$, получаем $E(\frac{36}{11};\frac{5\sqrt{85}}{11};0)$ и $F(\frac12;\frac{\sqrt{85}}{12};\frac{\sqrt{23}}{12})$. Вычисление векторов даёт $\overrightarrow{SB}=11\overrightarrow{CE}-6\overrightarrow{CF}$, поэтому направление $SB$ параллельно плоскости $CEF$. Точка $B$ этой плоскости не принадлежит, следовательно, $SB\parallel(CEF)$.
б) Пусть точка $Q$ делит $SD$ в отношении $SQ:QD=5:6$. Для неё выполняется $\overrightarrow{CQ}=-5\overrightarrow{CE}+\frac{36}{11}\overrightarrow{CF}$, значит, $Q\in(CEF)$. Доля высоты, оставшаяся у точки $Q$, равна $\frac6{11}$, поэтому расстояние до основания равно $\frac6{11}\cdot\frac{\sqrt{23}}2=\frac{3\sqrt{23}}{11}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10186.

15. Решите неравенство $ \sqrt {{{625}^{\frac{{4 - 2x}}{{x - 1}}}}} > \sqrt[3]{{{{125}^{2x + 1}}}} $.

Верный ответ: $\left(-\infty;-3\right)\cup\left(1;\frac32\right)$.

Решение.
По ОДЗ $x\ne1$. Представим обе части как степени числа $5$:
$ \sqrt{625^{\frac{4-2x}{x-1}}}=5^{\frac{8-4x}{x-1}}$,
$ \sqrt[3]{125^{2x+1}}=5^{2x+1}$.
Поскольку $5\gt 1$, сравниваем показатели:
$ \frac{8-4x}{x-1}\gt 2x+1$, или $\frac{9-3x-2x^2}{x-1}\gt 0$.
Числитель раскладывается как $-(2x-3)(x+3)$. Критические точки: $-3$, $1$, $\frac32$. Метод интервалов показывает, что дробь положительна при $x\lt -3$ и при $1\lt x\lt \frac32$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10472.

16. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 10 млн руб.

Верный ответ: 5 млн рублей.

Пусть сумма кредита равна $S$ млн рублей. В конце каждого из первых двух лет заёмщик выплачивает только начисленные проценты: по $0{,}2S$ млн рублей. Поэтому за эти два года будет выплачено $0{,}4S$.

Обозначим каждый из двух последних равных платежей через $x$. После платежа в конце третьего года долг составит $1{,}2S-x$. В четвёртом году он снова увеличится на 20%, а платёж $x$ должен погасить его полностью:
$1{,}2(1{,}2S-x)-x=0$.
Отсюда $2{,}2x=1{,}44S$, поэтому $x=\frac{36}{55}S$.

Общая сумма выплат равна
$0{,}4S+2x=\frac{94}{55}S$.
По условию $\frac{94}{55}S<10$, то есть $S<\frac{275}{47}\approx5{,}85$. Сумма кредита должна выражаться целым числом миллионов, поэтому наибольшее возможное значение — 5 млн рублей.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10113.

17. На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.
а) Докажите, что $CM=\frac12DK$.
б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC = 6, BC = 10 и $\angle ACB=30^\circ$.

Верный ответ: б) оба расстояния равны 7.

а) Рассмотрим поворот на $90^\circ$. Вектор $\vec{DK}$ получается таким поворотом из суммы $\vec{CA}+\vec{CB}$. Поскольку M — середина AB,
\[\vec{CM}=\frac12(\vec{CA}+\vec{CB}).\]
Поворот сохраняет длину, поэтому $DK=|\vec{CA}+\vec{CB}|=2CM$, что и требовалось доказать.

б) Обозначим центры квадратов через O₁ и O₂. Векторы $\vec{MO_1}$ и $\vec{MO_2}$ составлены из векторов сторон и их поворотов на $90^\circ$; их квадраты длин совпадают. Поэтому искомые расстояния равны и каждое из них равно
\[\frac12\sqrt{AC^2+BC^2+2AC\cdot BC\sin\angle ACB}.\]
Подставляем $AC=6$, $BC=10$, $\sin30^\circ=1/2$:
\[MO_1=MO_2=\frac12\sqrt{36+100+60}=\frac{14}{2}=7.\]

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10302.

18. Найдите все значения $ a $, при каждом из которых система $$ \left\{ \begin{array}{l} 3x - 2y + z = 2{x^2} + {y^2}\\ - x + y + 3z = a \end{array} \right. $$ имеет единственное решение.

Верный ответ: $a=-\dfrac{33}{4}$.

Из первого уравнения системы
\[z=2x^2+y^2-3x+2y.\]
Подставим это выражение во второе уравнение:
\[a=6x^2+3y^2-10x+7y.\]
Выделим полные квадраты:
\[a=6\left(x-\frac56\right)^2+3\left(y+\frac76\right)^2-\frac{33}{4}.\]
Сумма квадратов неотрицательна. Поэтому при $a<-\dfrac{33}{4}$ решений нет, а при $a>-\dfrac{33}{4}$ уравнение задаёт эллипс и имеет бесконечно много пар $(x,y)$. Ровно одна пара получается лишь при минимальном значении правой части, когда оба квадрата равны нулю; после этого $z$ однозначно находится из первого уравнения.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10513.

19. Пираты нашли сундук с сокровищами, в котором было 60 монет достоинством 1 дукат и 60 монет достоинством 5 дукатов.
а) Получится ли поделить все деньги поровну между 18 пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?
б) Получится ли поделить все деньги поровну между 40 пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?
в) При каком наибольшем количестве пиратов капитану всегда удастся поделить монеты между ними, каким бы способом ему ни захотелось это сделать (возможно, кому-то из пиратов будет полагаться 0 монет)?

Верный ответ:
а) да;
б) нет;
в) 16.

а) Общая стоимость монет равна $60\cdot1+60\cdot5=360$ дукатов, поэтому каждому из 18 пиратов должно достаться по 20 дукатов. Например, шести пиратам можно выдать по четыре пятидукатные монеты, а каждому из остальных двенадцати — по три пятидукатные и пять однодукатных. Так будут использованы ровно 60 монет каждого вида.
б) При делении между 40 пиратами каждому полагается по 9 дукатов. Сумму 9 можно набрать либо одной пятидукатной и четырьмя однодукатными монетами, либо только однодукатными. Значит, каждому пирату нужны хотя бы 4 однодукатные монеты, а всего потребовалось бы не менее $40\cdot4=160$ таких монет. В сундуке их только 60.
в) Пусть назначенные доли равны $x_1,\ldots,x_{16}$, а $R$ — сумма их остатков при делении на 5. Тогда $R\le16\cdot4=64$. При этом $R\equiv360\equiv0\pmod5$, поэтому на самом деле $R\le60$. Сначала выдадим каждому остаток его доли однодукатными монетами. Если однодукатные монеты ещё остались, каждая группа из пяти таких монет заменяет одну пятидукатную; так можно использовать ровно все монеты и получить назначенные суммы.
Для 17 пиратов гарантии уже нет: если первым 16 назначить по 4 дуката, им понадобятся 64 однодукатные монеты, поскольку пятидукатную монету для такой доли использовать нельзя.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10115.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Вариант 16

Часть 2