Тест ЕГЭ по профильной математике 2027, вариант 17

1. Площадь параллелограмма равна 180, две его стороны равны 60 и 80. Найдите меньшую высоту этого параллелограмма.

Верный ответ: 2,25

Подсказка: высота к стороне находится по формуле $h = S/a$. К стороне 60 высота равна $180/60 = 3$, к стороне 80 высота равна $180/80 = 2,25$. Меньшая высота равна 2,25.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24346.

2. На координатной плоскости изображены векторы $ \vec a $, $ \vec b $ и $ \vec c $. Найдите длину вектора $ \vec a + \vec b - \vec c $.

Верный ответ: 17

По рисунку $\vec a=(-4;-5)$, $\vec b=(9;0)$, $\vec c=(-3;10)$. Тогда
$\vec a+\vec b-\vec c=(-4+9-(-3);-5+0-10)=(8;-15)$.
Длина равна $\sqrt{8^2+(-15)^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$. При вычитании $\vec c$ знаки меняются у обеих его координат.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21355.

3. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 10. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Верный ответ: 15

У вписанного шара и цилиндра один и тот же радиус $R$, а высота цилиндра равна $2R$. Поэтому полная поверхность цилиндра имеет площадь $2\pi R^2+2\pi R\cdot2R=6\pi R^2$, тогда как поверхность шара равна $4\pi R^2$.
Отношение площадей равно $\frac{6}{4}=\frac32$, поэтому площадь цилиндра равна $10\cdot\frac32=15$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10180.

4. Клиент получает в банке кредитную карту. Четыре последние цифры номера карты случайные. Какова вероятность того, что эти последние четыре цифры идут подряд в порядке возрастания, например 0123 или 4567?

Верный ответ: 0,0007

Каждая из четырёх позиций может содержать любую из 10 цифр, поэтому всего возможно 10 · 10 · 10 · 10 = 10000 равновероятных записей, включая записи, начинающиеся с нуля.

Четыре последовательные возрастающие цифры образуют только записи 0123, 1234, 2345, 3456, 4567, 5678 и 6789. Значит, благоприятных исходов 7, и вероятность равна 7 / 10000 = 0,0007.

Запись 7890 не подходит: после цифры 9 последовательность уже не продолжается в порядке возрастания.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10100.

5. Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью $ p = \frac{{10}}{{19}} $ на единицу больше предыдущего и с вероятностью $ 1-p $ на единицу меньше предыдущего. Изменения на разных шагах независимы. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен -1?

Верный ответ: 0,9

Обозначим через $x$ вероятность когда-нибудь попасть из 0 в -1. Вероятность шага вниз равна $q=1-p=\frac{9}{19}$.

Рассмотрим первый шаг:
— с вероятностью $q$ последовательность сразу попадает в -1;
— с вероятностью $p$ она попадает в 1. Чтобы после этого достичь -1, нужно сначала спуститься из 1 в 0, а затем из 0 в -1. Из-за одинаковых правил на каждом уровне вероятность каждого такого спуска на единицу равна $x$, поэтому вероятность двух последовательных этапов равна $x^2$.

Получаем уравнение $x=q+px^2$. Его корни: $1$ и $\frac{q}{p}$. Здесь $p>q$, то есть движение вверх вероятнее движения вниз, поэтому попадание в -1 не является достоверным событием и корень $x=1$ не подходит.

Следовательно, $x=\frac{q}{p}=\frac{9/19}{10/19}=\frac{9}{10}=0,9$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15368.

6. Найдите корень уравнения $ {\log _3}(2 - x) = 2 $.

Верный ответ: -7

Используем определение логарифма:
$\log_3(2-x)=2$ означает $2-x=3^2$.
Поэтому $2-x=9$, откуда $-x=7$ и $x=-7$.

Проверим область допустимых значений: при $x=-7$ аргумент равен $2-(-7)=9>0$, значит, логарифм существует.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10367.

7. Найдите значение выражения $ -32\sqrt 3\operatorname{tg}(-600^\circ) $.

Верный ответ: 96

Прибавим к углу $-600^\circ$ число $720^\circ$, кратное периоду тангенса $180^\circ$:
$-600^\circ+720^\circ=120^\circ$.
Значит, $\operatorname{tg}(-600^\circ)=\operatorname{tg}120^\circ$.

Так как $120^\circ=180^\circ-60^\circ$, то
$\operatorname{tg}120^\circ=-\operatorname{tg}60^\circ=-\sqrt3$.
Подставляем:
$-32\sqrt3\cdot(-\sqrt3)=32\cdot3=96$.
Два отрицательных множителя дают положительное произведение.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10504.

8. На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены точки -7, -3, 1, 7. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Верный ответ: 7

Производная показывает наклон касательной к графику. В точках $x=-7$ и $x=-3$ график поднимается, поэтому производная положительна. При $x=1$ и $x=7$ график опускается, поэтому производная отрицательна.
Около $x=7$ график идёт вниз заметно круче, чем около $x=1$. Значит, наклон касательной там наиболее отрицательный, то есть значение производной наименьшее.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10236.

9. Наблюдатель, находящийся на высоте $h$ м над поверхностью земли, видит линию горизонта на расстоянии $l$ км, которое можно найти по формуле $l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$, где $R=6400$ км — радиус Земли.
Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 километра. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На сколько ступенек ему нужно подняться, чтобы он увидел горизонт на расстоянии 6,4 километра?

Верный ответ: 7

Сначала выразим высоту: $h=\frac{500l^2}{R}=\frac{5l^2}{64}$.
Для расстояния до горизонта $4{,}8$ км получаем $h_1=1{,}8$ м, а для $6{,}4$ км — $h_2=3{,}2$ м.
Важно найти не всю конечную высоту, а на сколько человек должен подняться:
$$h_2-h_1=3{,}2-1{,}8=1{,}4\text{ м}.$$
Высота одной ступеньки 20 см $=0{,}2$ м, поэтому число ступенек находят делением $1{,}4:0{,}2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10429.

10. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий - за 12 минут, а первый и третий - за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

Верный ответ: 8

Пусть производительности насосов равны a, b и c бассейна в минуту. Тогда из условия:
a + b = 1/9,
b + c = 1/12,
a + c = 1/18.

Сложим три равенства. Слева производительность каждого насоса встретится дважды:
2(a + b + c) = 1/9 + 1/12 + 1/18 = 1/4.
Значит, общая производительность трёх насосов равна 1/8 бассейна в минуту.

Чтобы найти время заполнения целого бассейна, нужно взять величину, обратную общей производительности.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10164.

11. На рисунке изображён график функции $f(x)=\frac{k}{x}+a$. Найдите $f\left(\frac{1}{3}\right)$.

Верный ответ: 11

Горизонтальная асимптота графика — прямая $y=-1$, поэтому $a=-1$.
Отмеченная точка $(1;3)$ лежит на графике: $3=\frac{k}{1}-1$, откуда $k=4$.
Значит, $f(x)=\frac{4}{x}-1$. Деление на $\frac13$ равносильно умножению на $3$: $f\left(\frac13\right)=12-1=11$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15367.

12. Найдите точку максимума функции $ y = - \frac{x}{{{x^2} + 625}} $.

Верный ответ: -25

Найдём производную:
$y'=\frac{x^2-625}{(x^2+625)^2}=\frac{(x-25)(x+25)}{(x^2+625)^2}$.
Знаменатель всегда положителен. До $x=-25$ производная имеет знак «плюс», а после этой точки, вплоть до $x=25$, — знак «минус».
Таким образом, при $x=-25$ функция переходит от возрастания к убыванию. Положительная критическая точка $x=25$ соответствует минимуму.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10450.

Часть 2

13. Выполните следующие пункты:

а) Решите уравнение $ 2{\sin ^4}x + 3\cos 2x + 1 = 0 $.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $ \left[ {\pi ;3\pi } \right] $.

Верный ответ:
а) $x=\frac\pi2+\pi n$, $n\in Z$.
б) $\frac{3\pi}{2};\ \frac{5\pi}{2}$.

Пояснение.
Выразим косинус двойного угла через синус: $\cos2x=1-2\sin^2x$. Тогда
$2\sin^4x+3(1-2\sin^2x)+1=0$,
$2\sin^4x-6\sin^2x+4=0$,
$2(\sin^2x-1)(\sin^2x-2)=0$.
Равенство $\sin^2x=2$ невозможно, поскольку $\sin^2x\leqslant1$. Поэтому $\sin^2x=1$, то есть $\sin x=\pm1$, и все решения записываются формулой $x=\frac\pi2+\pi n$.
На отрезке $[\pi;3\pi]$ этой формуле соответствуют значения при $n=1$ и $n=2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10375.

14. На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 3 : 1, на ребре BB₁ — точка F так, что B₁F : FB = 1 : 3, а на ребре B₁C₁ взята точка T так, что B₁T : TC₁ = 1 : 2. Известно, что AB = 4, AD = 3, AA₁ = 4.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁.

Верный ответ: б) $\arccos\frac13$.
Введём координаты: $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $D(0;3;0)$, $A_1(0;0;4)$. Из заданных отношений получаем $E(0;0;1)$, $F(4;0;3)$, $T(4;1;4)$.
а) Плоскость через эти три точки имеет уравнение $-x-2y+2z=2$. Координаты $D_1(0;3;4)$ удовлетворяют ему: $-0-6+8=2$. Значит, $D_1\in(EFT)$.
б) Нормаль к плоскости $EFT$ равна $(-1;-2;2)$. Плоскость $BB_1C_1$ задаётся уравнением $x=4$, поэтому её нормаль — $(1;0;0)$. Косинус угла между плоскостями равен косинусу угла между нормалями: $\frac{1}{\sqrt{1+4+4}}=\frac13$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10395.

15. Решите неравенство $\log_3\frac1x+\log_3(x^2+3x-9)\le\log_3\left(x^2+3x+\frac1x-10\right)$.

Верный ответ: $\left[2;+\infty\right)$.

Решение.
Для двух логарифмов слева нужны условия $x\gt 0$ и $x^2+3x-9\gt 0$. При $x\gt 0$ второе условие даёт $x\gt \frac{3\sqrt5-3}{2}$.
Объединим логарифмы слева:
$ \log_3\frac{x^2+3x-9}{x}\le\log_3\left(x^2+3x+\frac1x-10\right)$.
Основание $3\gt 1$, поэтому сравниваем аргументы. После переноса и умножения на $x\gt 0$ получаем
$ x^3+2x^2-13x+10\ge0$, то есть $(x-1)(x-2)(x+5)\ge0$.
При $x\gt 0$ это даёт $0\lt x\le1$ или $x\ge2$. Первая часть не удовлетворяет условию $x\gt \frac{3\sqrt5-3}{2}$, поэтому остаётся $x\ge2$. На этих значениях правый аргумент не меньше положительного левого аргумента, значит его положительность также выполнена.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10320.

16. 15 января планируется взять кредит в банке на 5 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Верный ответ: 115.

При равномерном погашении за 5 месяцев перед начислением процентов остаются долги
$S,\ \frac45S,\ \frac35S,\ \frac25S,\ \frac15S$,
где $S$ — сумма кредита. Их сумма равна $3S$.

Проценты за весь срок составят $0{,}05\cdot3S=0{,}15S$, то есть 15% от кредита. Вместе с возвратом основного долга $S$ заёмщик выплатит $1{,}15S$, или 115% от суммы кредита.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10398.

17. Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.
а) Докажите, что $\angle BAC=30^\circ$.
б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = $4\sqrt6$.

Верный ответ: б) $8\sqrt{14}$.

а) Положим $C(0;0)$, $A(a;0)$, $B(0;b)$. Тогда $M(a/2;b/2)$, а из $AK:KC=1:2$ получаем $K(2a/3;0)$. Векторы $\vec{CM}$ и $\vec{MK}$ пропорциональны соответственно $(a;b)$ и $(a;-3b)$. Их перпендикулярность даёт $a^2=3b^2$. Поэтому $\tan\angle BAC=b/a=1/\sqrt3$, следовательно, $\angle BAC=30^\circ$.

б) Из уравнения MK получаем $P(0;2b)$. Пересечение AP и BK имеет координаты $Q(2a;-2b)$. Тогда
\[KQ=\sqrt{(4a/3)^2+(2b)^2}=\frac{2\sqrt{21}}3b.\]
Подставляя $b=BC=4\sqrt6$, имеем $KQ=\frac{8}{3}\sqrt{126}=8\sqrt{14}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10416.

18. Найдите все значения $a $, при каждом из которых уравнение $$ {x^4} - 4{x^3} - 6{x^2} + 4ax + 6a - {a^2} = 0 $$ имеет не менее трёх корней.

Верный ответ: $0\le a\le10$.

Разложим многочлен:
\[x^4-4x^3-6x^2+4ax+6a-a^2=(x^2-a)(x^2-4x-6+a).\]
Отсюда
\[x^2=a\quad\text{или}\quad x^2-4x-6+a=0.\]
Первое уравнение имеет действительные корни при $a\ge0$. Для второго дискриминант равен
\[D=16-4(a-6)=4(10-a),\]
поэтому его корни существуют при $a\le10$. При $0При \(a=0$ первое уравнение даёт один корень $x=0$, а второе — два других. При $a=10$ второе уравнение имеет один корень $x=2$, а первое — два других. Поэтому обе границы входят в ответ. За пределами $[0;10]$ действительные корни имеет только один из множителей.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10133.

19. Конечная возрастающая последовательность ${a_1}$, ${a_2}$, ... , ${a_n}$, состоит из n $ \ge $ 3 различных натуральных чисел, причём при всех натуральных $ k \le n - 2 $ выполнено равенство $ 6{a_{k + 2}} = 7{a_{k + 1}} - {a_k} $.
а) Приведите пример такой последовательности при $ n $ = 5.
б) Может ли в такой последовательности при некотором $n$ $ \ge $ 3 выполняться равенство $ 5{a_n} = 6{a_2} - {a_1} $ ?
в) Какое наименьшее значение может принимать ${a_1}$, если ${a_n}$ = 404?

Верный ответ:
а) например, 1, 433, 505, 517, 519;
б) нет;
в) 5.

Пусть $d_k=a_{k+1}-a_k$. Из равенства $6a_{k+2}=7a_{k+1}-a_k$ следует $6d_{k+1}=d_k$, поэтому каждая предыдущая разность в 6 раз больше следующей.
а) В указанной последовательности разности равны 432, 72, 12 и 2, значит, условие выполняется.
б) Если последняя разность равна $t>0$, то $d_1=6^{n-2}t$ и $a_n=a_1+t(1+6+\ldots+6^{n-2})$. Правая часть предполагаемого равенства равна $6a_2-a_1=5a_1+6^{n-1}t$, а левая — $5a_n=5a_1+(6^{n-1}-1)t$. Они отличаются на положительное число $t$, поэтому равенства быть не может.
в) Получаем $404=a_1+tS$, где $S=1+6+\ldots+6^{n-2}$. Возможные значения $S<404$ равны 7, 43 и 259. Наименьшие положительные значения $a_1$ равны соответственно 5, 17 и 145. Значение 5 достигается при $n=3$: $404=5+57\cdot7$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10457.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Вариант 17

Часть 2