Тест ЕГЭ по профильной математике 2027, вариант 18

1. В треугольнике со сторонами 16 и 20 проведены высоты к этим сторонам. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 14. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.

Верный ответ: 17,5

Подсказка: площадь треугольника можно найти по большей стороне 20 и высоте 14: \(S = \frac12 \cdot 20 \cdot 14 = 140\). Для стороны 16: \(140 = \frac12 \cdot 16 \cdot h\). Отсюда \(h = 17,5\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24347.

2. На координатной плоскости изображены векторы \( \vec a \), \( \vec b \) и \( \vec c \). Найдите длину вектора \( \vec a - \vec b + \vec c \).

Верный ответ: 25

С рисунка получаем \(\vec a=(-10;4)\), \(\vec b=(8;2)\), \(\vec c=(-6;5)\). Выполняем действия по координатам:
\(\vec a-\vec b+\vec c=(-10-8-6;4-2+5)=(-24;7)\).
Длина этого вектора равна \(\sqrt{(-24)^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21356.

3. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна \( 6\sqrt 2 \). Найдите радиус сферы.

Верный ответ: 6

Центр сферы находится в центре основания конуса. Поэтому радиус основания конуса равен радиусу сферы \(R\). Вершина конуса также лежит на сфере и расположена на его оси, значит, высота конуса тоже равна \(R\).
Образующая — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(R\) и \(R\): \(l=\sqrt{R^2+R^2}=R\sqrt2\).
Так как \(l=6\sqrt2\), то \(R=6\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10275.

4. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Верный ответ: 0,58

Промах возможен двумя несовместными способами.

1. Джон выбрал пристрелянный револьвер. Вероятность такого выбора равна 2 / 10 = 0,2, а вероятность промаха из него равна 1 − 0,9 = 0,1. Получаем 0,2 · 0,1 = 0,02.

2. Джон выбрал непристрелянный револьвер. Вероятность выбора равна 8 / 10 = 0,8, а вероятность промаха — 1 − 0,3 = 0,7. Получаем 0,8 · 0,7 = 0,56.

Поскольку одновременно выбрать револьвер обоих видов невозможно, вероятности этих способов складываются: 0,02 + 0,56 = 0,58.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10195.

5. Первый игральный кубик обычный. На гранях второго кубика числа 1 и 2 встречаются по три раза. С равными вероятностями выбирают один из двух кубиков и бросают его два раза; результаты бросков независимы. Известно, что в каком-то порядке выпали 1 и 2 очка. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Верный ответ: 0,9

Обозначим событие «в двух бросках выпали 1 и 2 в любом порядке» через \(A\).

Для обычного кубика подходят два порядка — \((1;2)\) и \((2;1)\):
\(P(A\mid\text{обычный})=2\cdot\frac16\cdot\frac16=\frac1{18}\).

На втором кубике вероятность выпадения каждого из чисел 1 и 2 равна \(\frac36=\frac12\), поэтому
\(P(A\mid\text{второй})=2\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac12\).

До бросков кубики выбирались с равными вероятностями. Наблюдаемое событие на втором кубике происходит в 9 раз вероятнее, чем на обычном, поэтому после получения такой пары шансы относятся как \(9:1\):
\(P(\text{второй}\mid A)=\frac{\frac12}{\frac12+\frac1{18}}=\frac9{10}=0,9\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15370.

6. Найдите корень уравнения \( {\log _7}(9 + x) = {\log _7}2 \).

Верный ответ: -7

Основания логарифмов одинаковые, поэтому при положительных аргументах можно приравнять сами аргументы:
\(9+x=2\).
Тогда \(x=2-9=-7\).

При найденном значении \(9+x=2>0\), следовательно, условие существования логарифма выполнено.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10500.

7. Найдите значение выражения \( {\log _6}144 - {\log _6}4 \).

Верный ответ: 2

Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного:
\(\log_6 144-\log_6 4=\log_6\frac{144}{4}=\log_6 36\).
Так как \(36=6^2\), получаем \(\log_6 36=2\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10200.

8. На рисунке изображён график некоторой функции \( y = f(x) \). Пользуясь рисунком, найдите интеграл \( \int\limits_{ - 7}^{ - 1} {f(x)dx} \).

Верный ответ: 10

Определённый интеграл равен алгебраической площади между графиком и осью \(Ox\). На всём промежутке \([-7;-1]\) график расположен не ниже оси, поэтому площади складываются со знаком «плюс».
На отрезке \([-7;-5]\) получается треугольник с основанием 2 и высотой 2: \(S_1=\dfrac{2\cdot2}{2}=2\). На отрезке \([-5;-1]\) находится прямоугольник со сторонами 4 и 2: \(S_2=4\cdot2=8\). Поэтому интеграл равен \(S_1+S_2=2+8=10\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10255.

9. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \( m = {m_0} \cdot {2^{ - \frac{t}{T}}} \), где \( {m_0} \) - начальная масса изотопа, \(t \) - время, прошедшее от начального момента, \(T \) - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа \({m_0}\) = 200 мг. Период его полураспада \( T \) = 4 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 25 мг?

Верный ответ: 12

Каждые 4 минуты масса изотопа уменьшается в 2 раза. Проследим последовательность:
\(200\to100\to50\to25\).
Потребовалось три уменьшения вдвое, то есть три периода полураспада. Общее время равно \(3\cdot4\) минутам.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10239.

10. Численность волков в двух заповедниках в 2009 году составляла 220 особей. Через год обнаружили, что в первом заповеднике численность волков возросла на 10%, а во втором - на 20%. В результате общая численность волков в двух заповедниках составила 250 особей. Сколько волков было в первом заповеднике в 2009 году?

Верный ответ: 140

Пусть в 2009 году в первом заповеднике было x волков, а во втором — y. Тогда:
x + y = 220.

Рост на 10% означает, что новая численность равна 1,1x, а рост на 20% — что она равна 1,2y. Через год всего стало 250 волков:
1,1x + 1,2y = 250.

Умножим первое уравнение на 1,1 и вычтем его из второго:
0,1y = 250 - 242 = 8, поэтому y = 80.
Тогда численность в первом заповеднике находят как 220 - 80.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10202.

11. На рисунке изображён график функции \(f(x)=\frac{k}{x}+a\). Найдите \(f(7{,}5)\).

Верный ответ: 1,6

Пунктирная горизонтальная асимптота проходит по прямой \(y=2\), поэтому \(a=2\).
По графику видна точка \((3;1)\). Подставим её: \(1=\frac{k}{3}+2\), откуда \(k=-3\). Знак \(k<0\) объясняет расположение ветвей во второй и четвёртой четвертях относительно центра гиперболы.
Следовательно, \(f(7{,}5)=\frac{-3}{7{,}5}+2=-0{,}4+2=1{,}6\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15369.

12. Найдите наименьшее значение функции \( y = e^{2x} - 5e^x - 2 \) на отрезке \( \left[-2;1\right] \).

Верный ответ: -8,25

Сделаем замену \(t=e^x\). Тогда \(t>0\), а функция принимает вид \(y=t^2-5t-2\). На заданном отрезке \(t\in[e^{-2};e]\).
Получился квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом, поэтому минимум находится в вершине: \(t=\frac52\). Это значение входит в промежуток \([e^{-2};e]\), так как \(e^{-2}<\frac52Подставляем: \(y_{\min}=\left(\frac52\right)^2-5\cdot\frac52-2=-\frac{33}{4}=-8{,}25\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10336.

Часть 2

13. Выполните следующие пункты:

а) Решите уравнение \( \sin x = \sqrt {\frac{{1 - \cos x}}{2}} \).
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку \( \left[ {2\pi ;\frac{{7\pi }}{2}} \right] \).

Верный ответ:
а) \(x=2\pi k\) или \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), \(k\in Z\).
б) \(2\pi;\ \frac{8\pi}{3}\).

Пояснение.
Квадратный корень в правой части неотрицателен, поэтому необходимо \(\sin x\geqslant0\).
Возведём равенство в квадрат: \(\sin^2x=\frac{1-\cos x}{2}\). Так как \(\sin^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)\), получаем
\((1-\cos x)\left(\cos x+\frac12\right)=0\).
При \(\cos x=1\) имеем \(x=2\pi k\). При \(\cos x=-\frac12\) возможны углы во второй и третьей четвертях, но условие \(\sin x\geqslant0\) оставляет только вторую: \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\).
На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) первая серия даёт \(2\pi\), а вторая — \(\frac{8\pi}{3}\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10451.

14. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 5, а боковое ребро AA₁ равно \( \sqrt 5 \). На рёбрах BC и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём CK = 2, а C₁L = 1. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой - точка A₁, а основание - сечение данной призмы плоскостью γ.

Верный ответ: б) \(\frac{9\sqrt5}{2}\).
Введём координаты: \(A(0;0;0)\), \(B(5;0;0)\), \(C(5;5;0)\), \(D(0;5;0)\), высота призмы \(\sqrt5\). Тогда \(K(5;3;0)\), \(L(4;5;\sqrt5)\).
а) В плоскости \(\gamma\) лежит прямая \(KL\), а через точку \(K\) в этой плоскости проходит прямая, параллельная \(BD\). Имеем \(\overrightarrow{A_1C}=(5;5;-\sqrt5)\), \(\overrightarrow{BD}=(-5;5;0)\), \(\overrightarrow{KL}=(-1;2;\sqrt5)\). Скалярные произведения \(\overrightarrow{A_1C}\cdot\overrightarrow{BD}=0\) и \(\overrightarrow{A_1C}\cdot\overrightarrow{KL}=-5+10-5=0\). Эти две прямые пересекаются в точке \(K\), поэтому \(A_1C\perp\gamma\).
б) Уравнение плоскости: \(\sqrt5(x+y-8)-z=0\). На нижнем основании она даёт отрезок с концами \(K(5;3;0)\), \(P(3;5;0)\), а на верхнем — отрезок с концами \(R(5;4;\sqrt5)\), \(L(4;5;\sqrt5)\). Сечение — четырёхугольник \(KRLP\). Площади треугольников \(KRL\) и \(KLP\), найденные по векторным произведениям, равны соответственно \(\frac{\sqrt{11}}2\) и \(\sqrt{11}\), поэтому площадь сечения равна \(\frac{3\sqrt{11}}2\).
Нормаль к плоскости — \((\sqrt5;\sqrt5;-1)\), её длина \(\sqrt{11}\). Расстояние от \(A_1(0;0;\sqrt5)\) до \(\gamma\) равно \(\frac{9\sqrt5}{\sqrt{11}}\). Объём пирамиды равен \(\frac13\cdot\frac{3\sqrt{11}}2\cdot\frac{9\sqrt5}{\sqrt{11}}=\frac{9\sqrt5}{2}\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10490.

15. Решите неравенство \( {\log _x}(x - 2) \cdot {\log _x}(x + 2) \le 0 \).

Верный ответ: \(\left(2;3\right]\).

Решение.
Для существования логарифмов нужны положительное основание, основание не равное единице и положительные аргументы. Условие \(x-2\gt 0\) сразу даёт \(x\gt 2\); при таких \(x\) остальные требования ОДЗ также выполнены.
Если \(x\gt 2\), то основание логарифма больше единицы, а \(x+2\gt x\). Поэтому \(\log_x(x+2)\gt 1\gt 0\). Второй множитель всегда положителен, значит произведение будет неположительным только тогда, когда
\( \log_x(x-2)\le0\).
При основании \(x\gt 1\) это равносильно \(0\lt x-2\le1\), откуда \(2\lt x\le3\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10244.

16. 15 января планируется взять кредит в банке на 8 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Верный ответ: 118.

За восемь месяцев долг уменьшается на \(\frac18\) первоначальной суммы ежемесячно. Поэтому проценты начисляются на остатки
\(S,\ \frac78S,\ \frac68S,\ldots,\frac18S\).
Сумма этих остатков равна
\(\frac{8+7+\ldots+1}{8}S=4{,}5S\).

Все начисленные проценты составят \(0{,}04\cdot4{,}5S=0{,}18S\). Добавляя возвращаемый основной долг \(S\), получаем \(1{,}18S\), то есть 118% от суммы кредита.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10436.

17. Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.
а) Докажите, что ABCD — ромб.
б) Эта окружность пересекает сторону AB в точке M, причём AM : MB = 1 : 2. Найдите диагональ AC, если известно, что \(AD=2\sqrt3\).

Верный ответ: б) \(4\sqrt2\).

а) Обозначим точку пересечения диагоналей через O. Поскольку O лежит на окружности с диаметром AD, по теореме Фалеса \(\angle AOD=90^\circ\). Лучи AO и CO лежат на диагонали AC, а BO и DO — на диагонали BD, поэтому диагонали параллелограмма перпендикулярны.
Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам: \(BO=DO\). Прямоугольные треугольники AOB и AOD равны по двум катетам, следовательно, \(AB=AD\). Параллелограмм с равными соседними сторонами является ромбом.

б) Так как \(AM:MB=1:2\), то \(AM=AB/3=AD/3\). Точка M лежит на окружности с диаметром AD, значит, \(\angle AMD=90^\circ\). В прямоугольном треугольнике AMD
\[\cos\angle DAB=\frac{AM}{AD}=\frac13.\]
Диагональ AC ромба является суммой векторов двух его сторон, поэтому при \(s=AD\)
\[AC^2=s^2+s^2+2s^2\cos\angle DAB=2s^2\left(1+\frac13\right).\]
Так как \(s^2=12\), получаем \(AC^2=32\), откуда \(AC=4\sqrt2\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10245.

18. Найдите все значения \( a \), при каждом из которых наибольшее значение функции \( f(x) = \left| {x - a} \right| - {x^2} \) не меньше 1.

Верный ответ: \(a\le-\dfrac34\) или \(a\ge\dfrac34\).

Используем равенство
\[|x-a|=\max(x-a,\,a-x).\]
Тогда
\[f(x)=\max\bigl(-x^2+x-a,\,-x^2-x+a\bigr).\]
Первая парабола имеет наибольшее значение \(\dfrac14-a\), вторая — \(\dfrac14+a\). Следовательно, наибольшее значение исходной функции равно большему из этих чисел:
\[\max f(x)=\frac14+|a|.\]
По условию
\[\frac14+|a|\ge1\iff |a|\ge\frac34.\]

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10323.

19. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.
а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.
б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?
в) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Верный ответ:
а) 1, 2, 3;
б) нет;
в) 8.

Пусть исходная прогрессия содержит \(n\) членов, её первый член равен \(a\), а разность — \(d\ge1\). Если сумма членов равна \(S\), а следующий член — \(x=a+nd\), то после его добавления разность между квадратом суммы и суммой квадратов увеличится на \(2Sx\). Поэтому увеличение равно
\(n(a+nd)(2a+(n-1)d)\).
а) Для прогрессии 1, 2, 3 сумма равна 6, следующий член — 4, и увеличение равно \(2\cdot6\cdot4=48\).
б) При \(n=12\) после деления на 12 получили бы \((a+12d)(2a+11d)=120\). Левая часть не меньше \(12\cdot11=132\), поэтому равенство невозможно.
в) Неравенство \(1440\ge n^2(n-1)\) даёт \(n\le11\), а \(n\) должно делить 1440. Выше 8 остаются только варианты \(n=9\) и \(n=10\). При \(n=9\) произведение \((a+9d)(2a+8d)\) должно равняться 160; подходящие по размеру пары делителей \((10,16)\), \((16,10)\), \((20,8)\) не дают целого \(d=\frac{2X-Y}{10}\). При \(n=10\) произведение равно 144, а пары \((12,12)\) и \((16,9)\) не дают целого \(d=\frac{2X-Y}{11}\). Для \(n=8\) подходит \(a=4\), \(d=1\): прогрессия 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 имеет сумму 60, следующий член 12, и \(2\cdot60\cdot12=1440\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10381.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Вариант 18

Часть 2