Тест ЕГЭ по профильной математике 2027, вариант 19

1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 73°, угол CAD равен 55°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Верный ответ: 128

Подсказка: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Угол ABD равен 73°, значит дуга AD равна 146°. Угол CAD равен 55°, значит дуга CD равна 110°. Угол ABC опирается на дугу ADC, поэтому $\angle ABC = (146° + 110°)/2 = 128°$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24348.

2. Даны векторы $ \vec a $(-2; 4) и $ \vec b $(2; -1). Известно, что векторы $ \vec c({x_c};{y_c}) $ и $ {\vec b} $ сонаправленные, а $ \left| {\vec c} \right| = \left| {\vec a} \right| $. Найдите $ {x_c} + {y_c} $.

Верный ответ: 2

Длины данных векторов равны $|\vec a|=\sqrt{(-2)^2+4^2}=2\sqrt5$ и $|\vec b|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt5$. Значит, $\vec c$ должен быть в два раза длиннее $\vec b$.
Так как $\vec c$ и $\vec b$ сонаправлены, коэффициент положительный: $\vec c=2\vec b=(4;-2)$. Поэтому $x_c+y_c=4-2=2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21357.

3. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 30. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Верный ответ: 45

Если шар вписан в цилиндр, то радиус цилиндра равен радиусу шара $R$, а высота цилиндра равна диаметру шара: $h=2R$.
Площадь полной поверхности цилиндра: $2\pi R^2+2\pi Rh=2\pi R^2+4\pi R^2=6\pi R^2$. Площадь поверхности шара равна $4\pi R^2$. Поэтому площадь цилиндра в $\frac{6}{4}=\frac32$ раза больше.
Получаем $30\cdot\frac32=45$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10161.

4. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что модуль разности выпавших очков равен 1 или 2.

Верный ответ: 0,5

Всего при броске двух кубиков имеется 36 равновероятных упорядоченных пар.

Модуль разности равен 1, когда выпадают соседние числа: 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 5, 5 и 6. Для каждой такой пары возможны два порядка, поэтому получаем 5 · 2 = 10 исходов.

Модуль разности равен 2 для пар чисел 1 и 3, 2 и 4, 3 и 5, 4 и 6. С учётом двух порядков это 4 · 2 = 8 исходов.

Эти случаи не пересекаются, поэтому благоприятных исходов 10 + 8 = 18, а вероятность равна 18 / 36 = 0,5. Слово «модуль» означает, что, например, пары (2; 5) и (5; 2) дают одну и ту же разницу по величине.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10385.

5. Первый игральный кубик обычный. На гранях второго кубика нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. С равными вероятностями выбирают один из двух кубиков и бросают его два раза; результаты бросков независимы. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

Верный ответ: 0,2

Пусть $A$ — событие «в двух бросках выпали 3 и 5 в любом порядке».

Для обычного кубика
$P(A\mid\text{первый})=2\cdot\frac16\cdot\frac16=\frac1{18}$.

На втором кубике числа 3 и 5 занимают по две грани, поэтому вероятность каждого равна $\frac26=\frac13$:
$P(A\mid\text{второй})=2\cdot\frac13\cdot\frac13=\frac29$.

Кубики изначально выбирались с равными вероятностями, а событие $A$ на втором кубике в 4 раза вероятнее, чем на первом. Значит, после наблюдения шансы в пользу первого и второго кубиков равны $1:4$, поэтому
$P(\text{первый}\mid A)=\frac{\frac1{18}}{\frac1{18}+\frac29}=\frac15=0,2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15372.

6. Найдите корень уравнения $ \sqrt[3]{{x - 3}} = 2 $.

Верный ответ: 11

Чтобы убрать кубический корень, возведём обе части в третью степень:
$x-3=2^3$, то есть $x-3=8$.
Следовательно, $x=11$.

В отличие от квадратного корня, кубический корень определён и для отрицательных чисел, а возведение в нечётную степень не создаёт посторонних корней.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10234.

7. Найдите значение выражения $ \frac{{2\cos 28^\circ }}{{\cos 152^\circ }} $.

Верный ответ: -2

Заметим, что $152^\circ=180^\circ-28^\circ$. Во II четверти косинус меняет знак:
$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$.
Поэтому $\cos152^\circ=-\cos28^\circ$, и
$\frac{2\cos28^\circ}{\cos152^\circ}=\frac{2\cos28^\circ}{-\cos28^\circ}=-2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10314.

8. На рисунке изображены график функции $ y = f(x) $ и касательная к нему в точке с абсциссой ${x_0}$. Найдите значение производной функции $ f(x) $ в точке ${x_0}$.

Верный ответ: 0,75

Производная в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту проведённой касательной. На касательной отмечены удобные точки $(-3;-3)$ и $(5;3)$.
Изменение ординаты равно $3-(-3)=6$, а изменение абсциссы — $5-(-3)=8$. Следовательно, $f'(x_0)=k=\dfrac{6}{8}=\dfrac34=0{,}75$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10274.

9. Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C = 3 ⋅ 10^-6 Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $ R $ = 5 ⋅ 10⁶ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе ${U_0}$ = 9 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U $ (кВ) за время, определяемое выражением $ t = \alpha RC{\log _2}\frac{{{U_0}}}{U} $ (с), где $ \alpha = 1,1\frac{с}{{Ом \cdot Ф}} $ - постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 33 секунды. Ответ дайте в кВ (киловольтах).

Верный ответ: 2,25

Сначала вычислим коэффициент перед логарифмом:
$$\alpha RC=1{,}1\cdot5\cdot10^6\cdot3\cdot10^{-6}=16{,}5.$$
Так как прошло 33 секунды, получаем:
$$33=16{,}5\log_2\frac9U,$$
поэтому $\log_2\frac9U=2$. По определению логарифма это означает, что
$$\frac9U=2^2=4.$$
Отсюда $U=\frac94=2{,}25$ кВ.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10334.

10. Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Вторая труба заполняет резервуар объёмом 588 литров на 7 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объёмом 728 литров. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба?

Верный ответ: 28

Обозначим производительность второй трубы через x л/мин. Тогда первая труба пропускает x - 2 л/мин.

Время заполнения второй трубой равно 588/x минут, а первой — 728/(x - 2) минут. Так как первая труба работает на 7 минут дольше, составляем уравнение:
728/(x - 2) - 588/x = 7.

После упрощения получаем x² - 22x - 168 = 0. Корни уравнения равны 28 и -6. Отрицательное значение не может быть производительностью трубы, поэтому его отбрасываем.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10145.

11. На рисунке изображён график функции $f(x)=\frac{k}{x}+a$. Найдите $f(25)$.

Верный ответ: 0,84

Горизонтальная асимптота имеет уравнение $y=1$, поэтому $a=1$.
Отмеченная точка $(1;-3)$ принадлежит графику: $-3=k+1$, следовательно, $k=-4$.
Тогда $f(x)=\frac{-4}{x}+1$, и $f(25)=-\frac{4}{25}+1=\frac{21}{25}=0{,}84$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15371.

12. Найдите наименьшее значение $ y = 7x - 6\sin x + 12 $ на отрезке $ \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] $.

Верный ответ: 12

Производная функции равна $y'=7-6\cos x$.
Так как $\cos x\leqslant1$, то $y'\geqslant7-6=1>0$. Следовательно, функция строго возрастает на всём отрезке, поэтому минимум нужно искать на его левом конце.
При $x=0$: $y(0)=7\cdot0-6\sin0+12=12$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10127.

Часть 2

13. Выполните следующие пункты:

а) Решите уравнение $ \frac{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{5} + \frac{{20}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = $ $ 8\left( {\frac{{x + 3}}{5} - \frac{2}{{x + 3}}} \right) + 1 $.
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $ \left[ { - 6; - 4} \right] $.

Верный ответ:
а) $-5;\ 2;\ \frac{-1-\sqrt{65}}{2};\ \frac{-1+\sqrt{65}}{2}$.
б) $-5;\ -\frac{1+\sqrt{65}}{2}$.

Пояснение.
Введём замену $t=x+3$. По области допустимых значений $t\neq0$, то есть $x\neq-3$. Получаем
$\frac{t^2}{5}+\frac{20}{t^2}=8\left(\frac t5-\frac2t\right)+1$.
Умножим уравнение на $5t^2$:
$t^4-8t^3-5t^2+80t+100=0$. Его левая часть раскладывается так:
$(t-5)(t+2)(t^2-5t-10)=0$.
Следовательно, $t=5$, $t=-2$ или $t=\frac{5\pm\sqrt{65}}{2}$. После обратной замены $x=t-3$ получаем корни из пункта а; запрещённого значения $x=-3$ среди них нет.
На отрезке $[-6;-4]$ лежат $-5$ и $\frac{-1-\sqrt{65}}{2}=-\frac{1+\sqrt{65}}{2}\approx-4{,}53$. Остальные корни находятся правее числа $-4$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10508.

14. На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 4 : 3, на ребре BB₁ — точка F так, что B₁F : FB = 2 : 5, а точка T — середина ребра B₁C₁. Известно, что AB = 3, AD = 4, AA₁ = 7.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁.

Верный ответ: б) $\arccos\sqrt{\frac2{11}}$.
В координатах $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $D(0;4;0)$, $A_1(0;0;7)$ точки имеют вид $E(0;0;3)$, $F(3;0;5)$, $T(3;2;7)$.
а) Уравнение плоскости $EFT$: $-2x-3y+3z=9$. Для вершины $D_1(0;4;7)$ получаем $-12+21=9$, поэтому $D_1$ принадлежит плоскости.
б) Нормаль к $EFT$ равна $(-2;-3;3)$, а к плоскости $BB_1C_1$ — $(1;0;0)$. Тогда $\cos\alpha=\frac2{\sqrt{4+9+9}}=\frac2{\sqrt{22}}=\sqrt{\frac2{11}}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10452.

15. Решите неравенство $ {7^{\ln ({x^2} - 2x)}} \le {(2 - x)^{\ln 7}} $.

Верный ответ: $\left[-1;0\right)$.

Решение.
По ОДЗ нужны $x^2-2x\gt 0$ и $2-x\gt 0$. Первое условие даёт $x\lt 0$ или $x\gt 2$, второе — $x\lt 2$. Поэтому ОДЗ сокращается до $x\lt 0$.
Используем свойство $a^{\ln b}=b^{\ln a}$ для положительных $a$ и $b$:
$ 7^{\ln(x^2-2x)}=(x^2-2x)^{\ln7}$.
Так как $\ln7\gt 0$, функция $u^{\ln7}$ возрастает при $u\gt 0$. Поэтому сравниваем основания:
$ x^2-2x\le2-x$, или $x^2-x-2\le0$.
Получаем $(x-2)(x+1)\le0$, то есть $-1\le x\le2$. После пересечения с ОДЗ $x\lt 0$ остаётся нужный промежуток.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10377.

16. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором - 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором - 300 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу - по цене 13 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Верный ответ: 69 000 000 рублей.

Определим выручку с одного гектара.

На первом поле:
картофель даёт $300\cdot10\,000=3\,000\,000$ руб. с гектара;
свёкла — $200\cdot13\,000=2\,600\,000$ руб. с гектара.
Поэтому первое поле выгоднее полностью отвести под картофель.

На втором поле:
картофель даёт $200\cdot10\,000=2\,000\,000$ руб. с гектара;
свёкла — $300\cdot13\,000=3\,900\,000$ руб. с гектара.
Поэтому второе поле нужно полностью занять свёклой.

При постоянной урожайности смешанная посадка дала бы лишь среднее между этими доходами и не превысила бы более выгодный вариант. Максимальная выручка равна
$10\cdot3\,000\,000+10\cdot3\,900\,000=69\,000\,000$ рублей.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10303.

17. В трапеции ABCD основания AD и BC. Диагональ AC разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и AB.
а) Докажите, что луч DB — биссектриса угла ADC.
б) Найдите AB, если известны длины диагоналей трапеции: BD = 12 и AC = 7,5.

Верный ответ: б) 9.

а) Из равнобедренности треугольника ACD с основанием AD имеем $AC=CD$, а из равнобедренности треугольника ABC с основанием AB — $AC=BC$. Поэтому $BC=CD$, и в треугольнике BCD углы при B и D равны. Поскольку основания трапеции параллельны, $\angle ADB=\angle CBD$. Следовательно, $\angle ADB=\angle BDC$, то есть DB делит угол ADC пополам.

б) Если $\angle BDC=\varphi$, то для равнобедренного треугольника BCD $BD=2AC\cos\varphi$, а для равнобедренного треугольника ABC $AB=2AC\sin\varphi$. Поэтому
\[AB^2+BD^2=4AC^2(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi)=4AC^2.\]
Подставляем $AC=7{,}5$, $BD=12$: $AB=\sqrt{4\cdot7{,}5^2-12^2}=\sqrt{225-144}=9$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10511.

18. Найдите все значения $a $, при каждом из которых уравнение $$ {x^4} + 4{x^3} + 4ax - 16x - 16 + 8a - {a^2} = 0 $$ имеет не менее трёх корней.

Верный ответ: $0
Левую часть можно разложить на множители:
\[x^4+4x^3+4ax-16x-16+8a-a^2=(x^2+a-4)\bigl((x+2)^2-a\bigr).\]
Поэтому исходное уравнение равносильно совокупности
\[x^2=4-a\quad\text{или}\quad (x+2)^2=a.\]
Первое уравнение имеет действительные корни при \(a\le4$, второе — при $a\ge0$. Если $0Границы включать нельзя: при \(a=0$ получаются только корни $-2$ и $2$, а при $a=4$ — только $-4$ и $0$. Вне промежутка $[0;4]$ действительные корни даёт лишь один множитель, то есть корней не более двух.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10114.

19. Конечная возрастающая последовательность ${a_1}$, ${a_2}$, ... , ${a_n}$, состоит из n $ \ge $ 3 различных натуральных чисел, причём при всех натуральных $ k \le n - 2 $ выполнено равенство $ 5{a_{k + 2}} = 6{a_{k + 1}} - {a_k} $.
а) Приведите пример такой последовательности при $ n $ = 5.
б) Может ли в такой последовательности при некотором $n$ $ \ge $ 3 выполняться равенство $ 4{a_n} = 5{a_2} - {a_1} $ ?
в) Какое наименьшее значение может принимать ${a_1}$, если ${a_n}$ = 286?

Верный ответ:
а) например, 1, 126, 151, 156, 157;
б) нет;
в) 4.

Обозначим $d_k=a_{k+1}-a_k$. Из равенства $5a_{k+2}=6a_{k+1}-a_k$ следует $5d_{k+1}=d_k$. Значит, положительные разности соседних членов уменьшаются в 5 раз.
а) В приведённой последовательности разности равны 125, 25, 5 и 1, поэтому требуемое соотношение выполняется.
б) Пусть последняя разность равна $t>0$. Тогда $d_1=5^{n-2}t$, а
$a_n=a_1+t(1+5+\ldots+5^{n-2})$.
Правая часть предполагаемого равенства равна $5a_2-a_1=4a_1+5^{n-1}t$, а левая — $4a_n=4a_1+(5^{n-1}-1)t$. Правая часть больше левой на $t$, поэтому равенство невозможно.
в) Из формулы для $a_n$ получаем $286=a_1+tS$, где $S=1+5+\ldots+5^{n-2}$. Возможные значения $S<286$ равны 6, 31 и 156. Наименьшие положительные остатки числа 286 после вычитания кратных этих чисел равны соответственно 4, 7 и 130. Наименьшее из них достигается при $n=3$: $286=4+47\cdot6$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10400.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Вариант 19

Часть 2