Тест ЕГЭ по профильной математике 2027, вариант 20

1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 112°, угол ABD равен 38°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Верный ответ: 74

Подсказка: угол ABC равен 112°, значит дуга ADC равна 224°. Угол ABD равен 38°, значит дуга AD равна 76°. Тогда дуга CD равна $224° - 76° = 148°$. Угол CAD опирается на дугу CD, значит $\angle CAD = 148°/2 = 74°$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24349.

2. Даны векторы $ \vec a $(4; -6) и $ \vec b $(-2; 3). Известно, что $ \left| {\vec c} \right| = \left| {\vec a} \right| $, а векторы $ \vec c({x_c};{y_c}) $ и $ {\vec b} $ противоположно направленные. Найдите $ {x_c} + {y_c} $.

Верный ответ: -2

$|\vec a|=\sqrt{4^2+(-6)^2}=2\sqrt{13}$, а $|\vec b|=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}$. Следовательно, длина $\vec c$ вдвое больше длины $\vec b$.
Векторы противоположно направлены, поэтому нужен отрицательный коэффициент: $\vec c=-2\vec b=(4;-6)$. Тогда $x_c+y_c=4-6=-2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21358.

3. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $ \frac{1}{2} $ высоты. Объём жидкости равен 54 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Верный ответ: 378

Жидкость образует конус, подобный всему сосуду. Его высота в 2 раза меньше высоты сосуда, поэтому все линейные размеры уменьшены в 2 раза, а объём — в $2^3=8$ раз. Значит, 54 мл составляют $\frac18$ полного объёма.
Полный объём сосуда равен $54\cdot8=432$ мл. Уже налито 54 мл, поэтому долить нужно $432-54=378$ мл.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10389.

4. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7. Результат округлите до тысячных.

Верный ответ: 0,167

У двух кубиков 6 · 6 = 36 равновероятных упорядоченных исходов. Сумму 7 дают шесть пар: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1).

Вероятность равна 6 / 36 = 1 / 6 = 0,1666… Требуется округление до тысячных: в числе 0,1666… цифра в четвёртом знаке после запятой равна 6, поэтому третий знак увеличивается на единицу и получается 0,167.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10461.

5. В ящике 14 красных и 12 синих фломастеров. Фломастеры вытаскивают по одному в случайном порядке, не возвращая их в ящик. Какова вероятность того, что первый синий фломастер будет извлечён третьим по счёту?

Верный ответ: 0,14

Первый синий фломастер будет извлечён третьим только при последовательности цветов красный, красный, синий. Других подходящих порядков нет: появление синего на первом или втором месте нарушает условие.

Вероятность первого красного равна $\frac{14}{26}$. После этого остаётся 13 красных из 25 фломастеров, а после двух красных — 12 синих из 24. Поэтому
$P=\frac{14}{26}\cdot\frac{13}{25}\cdot\frac{12}{24}=0,14$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15374.

6. Найдите корень уравнения $ \sqrt {1 - 6x} = 7 $.

Верный ответ: -8

Так как правая часть равна $7$ и неотрицательна, возведём обе части уравнения в квадрат:
$1-6x=49$.
Тогда $-6x=48$, откуда $x=-8$.

Проверка: $1-6\cdot(-8)=49$, следовательно, $\sqrt{49}=7$, и найденный корень подходит.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10348.

7. Найдите $ \sin \alpha $, если $ \cos \alpha = \frac{{\sqrt 7 }}{4} $ и $ \alpha \in (\pi ;2\pi ) $.

Верный ответ: -0,75

Используем основное тригонометрическое тождество:
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
Так как $\cos\alpha=\frac{\sqrt7}{4}$, то
$\sin^2\alpha=1-\frac{7}{16}=\frac{9}{16}$, откуда $|\sin\alpha|=\frac34$.

Промежуток $(\pi;2\pi)$ соответствует нижней полуплоскости — III и IV четвертям, где синус отрицателен. Поэтому
$\sin\alpha=-\frac34=-0{,}75$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10219.

8. На рисунке изображён график $ y = f'(x) $ - производной функции $ f(x) $, определённой на интервале $ (-9; 4) $. Найдите точку экстремума функции $ f(x) $, принадлежащую отрезку $ [-5; 3] $.

Верный ответ: -4

На рисунке изображён график производной, поэтому экстремум функции ищем не по вершинам этого графика, а по знаку $f'(x)$. Экстремум возникает там, где производная равна нулю и меняет знак.
При $x=-4$ график $f'(x)$ пересекает ось $Ox$: слева производная отрицательна, а справа положительна. Значит, до этой точки функция $f(x)$ убывает, а после неё возрастает, поэтому при $x=-4$ находится минимум функции.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10103.

9. Зависимость объёма спроса $ q $ (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены $ p $ (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой $ q=110-5p $. Выручка предприятия $r $ (в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле $ r(p)=q⋅p $. Определите наибольшую цену $ p $, при которой месячная выручка $ r(p) $ составит не менее 600 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. за ед.

Верный ответ: 12

Выручка должна быть не меньше 600 тыс. руб., поэтому составляем неравенство:
$$p(110-5p)\ge600.$$
После переноса и деления на $-5$ знак меняется:
$$p^2-22p+120\le0.$$
Корни: $p=10$ и $p=12$. Поскольку коэффициент при $p^2$ положительный, квадратный трёхчлен не превышает нуля на промежутке между корнями. Значит, подходят цены от 10 до 12 тыс. руб. за единицу, а для наибольшей цены берётся правая граница промежутка.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10505.

10. Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Вторая труба заполняет резервуар объёмом 594 литра на 5 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объёмом 648 литров. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба?

Верный ответ: 27

Обозначим производительность второй трубы через x л/мин. Тогда первая труба пропускает x - 3 л/мин.

Время заполнения равно объёму, делённому на производительность. Поэтому вторая труба заполняет свой резервуар за 594/x минут, а первая — за 648/(x - 3) минут. По условию первая труба работает на 5 минут дольше:
648/(x - 3) - 594/x = 5.

После приведения к квадратному уравнению получаем 5x² - 69x - 1782 = 0, откуда x = 27 или x = -13,2. Отрицательная производительность невозможна, поэтому подходит только положительный корень.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10107.

11. На рисунке изображён график функции $f(x)=b+\log_a x$. Найдите $f\left(\frac{1}{3}\right)$.

Верный ответ: -3

Так как $\log_a1=0$, значение функции при $x=1$ равно $b$. По отмеченной точке $(1;-2)$ получаем $b=-2$.
Вторая отмеченная точка — $(3;-1)$: $-1=-2+\log_a3$, поэтому $\log_a3=1$ и $a=3$.
Число $\frac13=3^{-1}$, следовательно, $\log_3\frac13=-1$. Поэтому $f\left(\frac13\right)=-2-1=-3$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15373.

12. Найдите точку минимума функции $ y = (3 - 2x)\cos x + 2\sin x + 4 $, принадлежащую промежутку $ \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) $.

Верный ответ: 1,5

Найдём производную:
$y'=-2\cos x-(3-2x)\sin x+2\cos x=(2x-3)\sin x$.
На заданном промежутке $\sin x>0$, поэтому производная отрицательна при $x<\frac32$ и положительна при $x>\frac32$. Точка $\frac32$ принадлежит промежутку, так как $0<\frac32<\frac{\pi}{2}$.
При переходе через эту точку функция меняет убывание на возрастание, следовательно, $x=\frac32=1{,}5$ — точка минимума.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10184.

Часть 2

13. Выполните следующие пункты:

а) Решите уравнение $ \left( {4~{{\sin }^2}x - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 64{\pi ^2}} = 0 $.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $ \left[ 25;30 \right] $.

Верный ответ:
а) $x=\pm8\pi$; $x=\frac{49\pi}{6}+\pi n$, $x=\frac{53\pi}{6}+\pi n$, $x=-\frac{49\pi}{6}-\pi n$, $x=-\frac{53\pi}{6}-\pi n$, где $n=0,1,2,\ldots$.
б) $8\pi;\ \frac{49\pi}{6};\ \frac{53\pi}{6};\ \frac{55\pi}{6}$.

Пояснение.
Для существования квадратного корня необходимо $x^2-64\pi^2\geqslant0$, то есть $|x|\geqslant8\pi$.
Если корень равен нулю, то $x=\pm8\pi$. Если равен нулю первый множитель, то $4\sin^2x-1=0$, следовательно, $\sin^2x=\frac14$. Отсюда $x=\frac\pi6+\pi k$ или $x=\frac{5\pi}6+\pi k$, $k\in Z$. Условие $|x|\geqslant8\pi$ удаляет все корни, расположенные между $-8\pi$ и $8\pi$, и приводит к четырём последовательностям из пункта а.
На отрезке $[25;30]$ последовательно находятся $8\pi\approx25{,}13$, $\frac{49\pi}{6}\approx25{,}66$, $\frac{53\pi}{6}\approx27{,}75$ и $\frac{55\pi}{6}\approx28{,}80$. Следующее значение $\frac{59\pi}{6}\approx30{,}89$ уже не принадлежит отрезку.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10147.

14. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L - середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен $ 2\sqrt {\frac{2}{5}} $.
а) Пусть O - центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.
б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Верный ответ: б) $192$.
а) Поместим центр основания в начало координат: $A(-4;-4;0)$, $B(4;-4;0)$, $C(4;4;0)$, $S(0;0;h)$. Середина $L$ ребра $SC$ имеет координаты $L(2;2;\frac h2)$. Тогда $\overrightarrow{BO}=(-4;4;0)$, $\overrightarrow{LO}=(-2;-2;-\frac h2)$, и их скалярное произведение равно $8-8=0$. Следовательно, $BO\perp LO$.
б) Направляющие векторы: $\overrightarrow{BL}=(-2;6;\frac h2)$, $\overrightarrow{SA}=(-4;-4;-h)$. Для угла $\varphi$ между ними получаем $(\overrightarrow{BL}\cdot\overrightarrow{SA})^2=\frac{(h^2+32)^2}{4}$ и $|\overrightarrow{BL}\times\overrightarrow{SA}|^2=32(h^2+32)$. Поэтому $\tan^2\varphi=\frac{128}{h^2+32}$. По условию $\tan^2\varphi=\frac85$, откуда $h^2=48$.
Апофема боковой грани равна $\sqrt{h^2+4^2}=8$. Площадь основания равна $64$, а площадь четырёх боковых граней — $4\cdot\frac12\cdot8\cdot8=128$. Полная площадь поверхности равна $64+128=192$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10262.

15. Решите неравенство $ {\log _{\sqrt[4]{{25}}}}\left( {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 2} \right)} \right) \ge 2 $.

Верный ответ: $\left(-2;-\frac{63}{32}\right]$.

Решение.
Основание внешнего логарифма равно $\sqrt[4]{25}=\sqrt5\gt 1$, поэтому его функция возрастает. Неравенство равносильно
$ \log_{\frac12}(x+2)\ge(\sqrt5)^2=5$.
Внутренний логарифм требует $x+2\gt 0$. Его основание $\frac12\lt 1$, поэтому при переходе от логарифма к аргументу направление неравенства меняется:
$ 0\lt x+2\le\left(\frac12\right)^5=\frac1{32}$.
Вычитая $2$, получаем $-2\lt x\le-\frac{63}{32}$. На этом промежутке внутренний логарифм не меньше $5$, поэтому он положителен и может служить аргументом внешнего логарифма.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10491.

16. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 10 млн руб.

Верный ответ: 5 млн рублей.

Пусть кредит равен $S$ млн рублей. В первые три года заёмщик каждый раз выплачивает только проценты, то есть по $0{,}2S$. За три года эти выплаты составят $0{,}6S$, а основной долг по-прежнему будет равен $S$.

Пусть каждый из платежей в конце четвёртого и пятого годов равен $x$. После четвёртого года останется долг $1{,}2S-x$. После начисления процентов в пятом году этот долг должен быть погашен вторым платежом:
$1{,}2(1{,}2S-x)=x$.
Следовательно, $x=\frac{36}{55}S$.

Всего заёмщик выплатит
$0{,}6S+2x=\frac{21}{11}S$.
Требуется $\frac{21}{11}S<10$, откуда $S<\frac{110}{21}\approx5{,}24$. Из целых значений подходит максимум 5 млн рублей: при 5 млн общая выплата меньше 10 млн, а при 6 млн уже больше.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10132.

17. Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.
а) Докажите, что $\angle BAC=30^\circ$.
б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = $3\sqrt2$.

Верный ответ: б) $2\sqrt{42}$.

а) Введём координаты $C(0;0)$, $A(a;0)$, $B(0;b)$. Тогда $M(a/2;b/2)$. Из $AK:KC=1:2$ следует $K(2a/3;0)$.
Направляющий вектор CM можно взять равным $(a;b)$, а направляющий вектор MK — $(a;-3b)$. По условию эти прямые перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю:
\[a^2-3b^2=0.\]
Следовательно, $a=\sqrt3b$, и $\tan\angle BAC=BC/AC=b/a=1/\sqrt3$. Значит, $\angle BAC=30^\circ$.

б) Прямая MK пересекает ось BC в точке $P(0;2b)$. Решая совместно уравнения прямых AP и BK, получаем $Q(2a;-2b)$. Поэтому
\[KQ^2=\left(2a-\frac{2a}{3}\right)^2+(-2b)^2=\frac{16a^2}{9}+4b^2.\]
Так как $a^2=3b^2$,
\[KQ=\frac{2\sqrt{21}}{3}b=\frac{2\sqrt{21}}{3}BC.\]
При $BC=3\sqrt2$: $KQ=\frac{2\sqrt{21}}3\cdot3\sqrt2=2\sqrt{42}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10397.

18. Найдите все значения $a $, при каждом из которых уравнение $ a{x^2} + 2(a + 2)x + (a + 5) = 0 $ имеет два корня, расстояние между которыми больше 1.

Верный ответ: $-2-2\sqrt5
При \(a=0$ уравнение не является квадратным, поэтому это значение сразу исключаем. Дискриминант равен
\[D=\bigl(2(a+2)\bigr)^2-4a(a+5)=4(4-a).\]
Расстояние между двумя корнями равно
\[\frac{\sqrt D}{|a|}=\frac{2\sqrt{4-a}}{|a|}.\]
Требуем, чтобы оно было больше $1$:
\[\frac{2\sqrt{4-a}}{|a|}>1\iff 4(4-a)>a^2.\]
Получаем
\[a^2+4a-16<0.\]
Корни этого трёхчлена: $-2-2\sqrt5$ и $-2+2\sqrt5$. Между ними неравенство выполняется, причём условие $D>0$ там также соблюдается. После исключения $a=0$ промежуток распадается на две части.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10190.

19. На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Верный ответ:
а) да;
б) нет;
в) $38\frac{1}{7}$.

а) Например, сначала можно написать девятнадцать единиц и число 40. Среднее равно $\frac{59}{20}$. Если все единицы уменьшить на 1, они превратятся в нули и будут стёрты, а на доске останется число 40, поэтому среднее увеличится.
Для пунктов б) и в) исходная сумма чисел равна $20\cdot27=540$. Пусть $r$ единиц уменьшили до нуля и стёрли, а ещё $s$ чисел, больших единицы, уменьшили на 1. Тогда осталось $20-r$ чисел с суммой $540-r-s$.
б) Равенство среднего числу 34 дало бы
$\frac{540-r-s}{20-r}=34$, то есть $s=33r-140$. Из $s\ge0$ следует $r\ge5$, но из $s\le20-r$ следует $34r\le160$, то есть $r\le4$. Получено противоречие.
в) Для наибольшего среднего невыгодно уменьшать числа, которые останутся на доске, поэтому берём $s=0$ и стараемся стереть как можно больше единиц. Если единиц $r$, то максимальная возможная исходная сумма не превосходит $r+40(20-r)$. Условие $r+40(20-r)\ge540$ даёт $r\le6$. При $r=6$ среднее оставшихся чисел равно $\frac{540-6}{20-6}=\frac{267}{7}=38\frac{1}{7}$. Это достижимо: можно взять шесть единиц, тринадцать чисел 38 и число 40, а затем стереть шесть единиц.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10267.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Вариант 20

Часть 2