Тест ЕГЭ по профильной математике 2027, вариант 21

1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, sin A = 0,28. Найдите AC.

Верный ответ: 4,8

Подсказка: AB — гипотенуза. По определению $\sin A = BC/AB$, значит $BC = 5 \cdot 0,28 = 1,4$. По теореме Пифагора $AC = \sqrt{5^2 - 1,4^2} = \sqrt{23,04} = 4,8$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24350.

2. На координатной плоскости изображены векторы $ \vec a $ и $ \vec b $. Найдите скалярное произведение $ \vec a \cdot \vec b $.

Верный ответ: 66

По рисунку $\vec a=(-6;3)$, $\vec b=(-10;2)$. Координаты определяем по направлению стрелок: из координат конца вычитаем координаты начала.
Скалярное произведение:
$\vec a\cdot\vec b=(-6)\cdot(-10)+3\cdot2=60+6=66$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21359.

3. Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Верный ответ: 18

Разобьём многогранник на два прямоугольных параллелепипеда. Нижняя часть имеет размеры $5\times2\times1$, поэтому её объём равен $10$. Верхняя часть имеет размеры $2\times2\times2$, её объём равен $8$.
Части не перекрываются, поэтому общий объём равен $10+8=18$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10370.

4. Одиннадцать детей встают в хоровод в случайном порядке. Среди них Антон и его сестра Маша. Какова вероятность того, что Антон и Маша окажутся рядом?

Верный ответ: 0,2

Зафиксируем место Антона. У Маши остаётся 10 равновероятных мест среди остальных участников хоровода.

Только два из этих мест находятся рядом с Антоном — непосредственно слева и непосредственно справа. Поэтому вероятность равна 2 / 10 = 0,2.

Не нужно считать все перестановки детей: после фиксации Антона все оставшиеся места для Маши равновероятны.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10499.

5. В ящике 13 красных и 13 синих фломастеров. Фломастеры вытаскивают по одному в случайном порядке, не возвращая их в ящик. Какова вероятность того, что первый синий фломастер будет извлечён третьим по счёту?

Верный ответ: 0,13

Чтобы первый синий фломастер оказался третьим, первые два извлечённых фломастера должны быть красными, а третий — синим. Поэтому требуется ровно последовательность красный, красный, синий.

Сначала вероятность красного равна $\frac{13}{26}$, затем красных остаётся 12 из 25, а после двух красных в ящике остаётся 13 синих из 24 фломастеров:
$P=\frac{13}{26}\cdot\frac{12}{25}\cdot\frac{13}{24}=0,13$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15376.

6. Найдите корень уравнения $ \sqrt {2x + 31} = 9 $.

Верный ответ: 25

Правая часть положительна, поэтому возводим обе части в квадрат:
$2x+31=81$.
Тогда $2x=50$, следовательно, $x=25$.

Проверка: $2\cdot25+31=81$, а $\sqrt{81}=9$, поэтому значение подходит.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10291.

7. Найдите значение выражения $ \frac{{6\cos 207^\circ }}{{\cos 27^\circ }} $.

Верный ответ: -6

Угол $207^\circ=180^\circ+27^\circ$. В III четверти косинус отрицателен, поэтому
$\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha$,
то есть $\cos207^\circ=-\cos27^\circ$.

Тогда
$\frac{6\cos207^\circ}{\cos27^\circ}=\frac{-6\cos27^\circ}{\cos27^\circ}=-6$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10352.

8. На рисунке изображён график $ y = f'(x) $ - производной функции $ f(x) $, определённой на интервале (-4; 10). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $ f(x) $ параллельна прямой $ y = - 2x + 16 $ или совпадает с ней.

Верный ответ: 4

У прямой $y=-2x+16$ угловой коэффициент равен $-2$. Касательная к графику $f(x)$ будет параллельна этой прямой или совпадёт с ней, если её угловой коэффициент также равен $-2$.
Поскольку угловой коэффициент касательной равен производной, нужно найти решения уравнения $f'(x)=-2$. Для этого проводим мысленно горизонтальную прямую $y=-2$: она пересекает изображённый график производной в четырёх точках. Каждому пересечению соответствует одна подходящая касательная.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10369.

9. Наблюдатель, находящийся на высоте $h$ м над поверхностью земли, видит линию горизонта на расстоянии $l$ км, которое можно найти по формуле $l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$, где $R=6400$ км — радиус Земли.
Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 километра. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На сколько ступенек ему нужно подняться, чтобы он увидел горизонт на расстоянии 9,6 километра?

Верный ответ: 27

Высоту наблюдателя удобно выразить через расстояние до горизонта:
$$h=\frac{500l^2}{6400}=\frac{5l^2}{64}.$$
При $l=4{,}8$ км имеем $h_1=1{,}8$ м. Для $l=9{,}6$ км получаем $h_2=7{,}2$ м.
Следовательно, высоту нужно увеличить на $7{,}2-1{,}8=5{,}4$ м. Так как 20 см — это 0,2 м, количество ступенек определяется выражением $5{,}4:0{,}2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10467.

10. Первая труба наполняет бак объёмом 600 литров, а вторая труба - бак объёмом 900 литров. Известно, что одна из труб пропускает в минуту на 3 л воды больше, чем другая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если баки были наполнены за одно и то же время?

Верный ответ: 9

Баки наполнялись одинаковое время, но второй бак имеет больший объём. Значит, вторая труба обязательно производительнее первой и именно она пропускает на 3 л/мин больше.

Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — x + 3 л/мин. Равенство времени заполнения даёт:
600/x = 900/(x + 3).

После перемножения крест-накрест:
600(x + 3) = 900x,
x = 6.
Следовательно, производительность второй трубы равна x + 3. Назначать второй трубе x - 3 нельзя: менее производительная труба не смогла бы за то же время наполнить бак большего объёма.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10335.

11. На рисунке изображён график функции $f(x)=b+\log_a x$. Найдите $f\left(\frac{1}{9}\right)$.

Верный ответ: -4

Из точки $(1;-2)$ получаем $b=-2$, поскольку $\log_a1=0$.
Точка $(3;-1)$ даёт равенство $-1=-2+\log_a3$. Значит, $\log_a3=1$, поэтому основание логарифма $a=3$.
Так как $\frac19=3^{-2}$, то $\log_3\frac19=-2$. Следовательно, $f\left(\frac19\right)=-2-2=-4$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15375.

12. Найдите точку максимума функции $ y = - \frac{x}{{{x^2} + 121}} $.

Верный ответ: -11

Вычислим производную:
$y'=\frac{x^2-121}{(x^2+121)^2}=\frac{(x-11)(x+11)}{(x^2+121)^2}$.
Знаменатель не влияет на знак, так как всегда положителен. При $x<-11$ функция возрастает, а при $-11Поэтому \(x=-11$ — точка максимума: именно здесь производная меняет знак с плюса на минус. В точке $x=11$ знак меняется в обратную сторону, и там находится минимум.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10431.

Часть 2

13. Выполните следующие пункты:

а) Решите уравнение $ 19 \cdot {4^x} - 5 \cdot {2^{x + 2}} + 1 = 0 $.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5; -4].

Верный ответ:
а) $0;\ -\log_2 19$.
б) $-\log_2 19$.

Пояснение.
Положим $t=2^x$, тогда $t>0$, $4^x=t^2$, а $2^{x+2}=4t$. Уравнение превращается в
$19t^2-20t+1=0$, или $(19t-1)(t-1)=0$.
Следовательно, $t=1$ или $t=\frac1{19}$. Возвращаясь к переменной $x$, получаем $2^x=1\Rightarrow x=0$ и $2^x=\frac1{19}\Rightarrow x=-\log_2 19$.
Так как $2^4<19<2^5$, то $4<\log_2 19<5$. Значит, $-5<-\log_2 19<-4$, поэтому этот корень принадлежит заданному отрезку, а ноль — нет.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10299.

14. На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 3 : 2, на ребре BB₁ - точка F так, что B₁F : FB = 2 : 3, а на ребре B₁C₁ - точка T так, что B₁T : TC₁ = 2 : 1. Известно, что AB = 4, AD = 3, AA₁ = 5.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁.

Верный ответ: б) $\arccos\frac1{\sqrt{33}}$.
Возьмём $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $D(0;3;0)$, $A_1(0;0;5)$. По отношениям деления рёбер: $E(0;0;2)$, $F(4;0;3)$, $T(4;2;5)$.
а) Уравнение плоскости $EFT$: $-x-4y+4z=8$. Для $D_1(0;3;5)$ левая часть равна $-12+20=8$, поэтому вершина лежит в этой плоскости.
б) Нормаль к $EFT$ можно взять равной $(-1;-4;4)$, а нормаль к грани $BB_1C_1$ — $(1;0;0)$. Поэтому $\cos\alpha=\frac1{\sqrt{1+16+16}}=\frac1{\sqrt{33}}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10414.

15. Решите неравенство $ \sqrt[3]{{{8^{5x + 3}}}} < \sqrt {{{\left( {\frac{1}{{16}}} \right)}^{\frac{{2x + 1}}{x}}}} $.

Верный ответ: $\left(-\infty;-1\right)\cup\left(-\frac25;0\right)$.

Решение.
Знаменатель в показателе требует $x\ne0$. Приведём обе части к основанию $2$:
$ \sqrt[3]{8^{5x+3}}=2^{5x+3}$,
$ \sqrt{\left(\frac1{16}\right)^{\frac{2x+1}{x}}}=2^{-4-\frac2x}$.
Поскольку $2\gt 1$, сравниваем показатели:
$ 5x+3\lt -4-\frac2x$, то есть $\frac{5x^2+7x+2}{x}\lt 0$.
Числитель равен $(5x+2)(x+1)$. По методу интервалов дробь отрицательна при $x\lt -1$ и при $-\frac25\lt x\lt 0$. Точки $-1$ и $-\frac25$ не включаются из-за строгого знака, а $0$ исключается по ОДЗ.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10415.

16. 31 декабря 2016 года Василий взял в банке 5 460 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Василий переводит в банк $x$ рублей. Каким должно быть число $x$, чтобы Василий выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

Верный ответ: 2 592 000 рублей.

Пусть каждый ежегодный платёж равен $x$. После первого года долг составит $1{,}2S-x$, после второго — $1{,}2(1{,}2S-x)-x$, где $S=5\,460\,000$. После третьего начисления процентов и третьего платежа долг должен стать равным нулю.

Получаем уравнение
$1{,}2^3S-x(1{,}2^2+1{,}2+1)=0$.
Отсюда
$x=\frac{1{,}2^3\cdot5\,460\,000}{1{,}2^2+1{,}2+1}=\frac{9\,434\,880}{3{,}64}=2\,592\,000$ рублей.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10493.

17. Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A₂, B₂ и C₂ — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.

Верный ответ: б) $\frac{63}{2}$.

а) Точка M делит каждую медиану в отношении $2:1$. После взятия середин MA, MB и MC точки A₂, B₂, C₂ оказываются на расстоянии одной трети соответствующей медианы от вершины. Каждый из трёх угловых четырёхугольников, оставшихся вне шестиугольника, распадается на два треугольника площадью $S_{ABC}/12$. Поэтому один угловой четырёхугольник имеет площадь $S_{ABC}/6$, а все три — $S_{ABC}/2$. Оставшаяся часть, то есть указанный шестиугольник, также имеет площадь $S_{ABC}/2$.

б) Если начало координат поместить в M, то середины сторон треугольника имеют радиус-векторы $-\vec{MA}/2$, $-\vec{MB}/2$, $-\vec{MC}/2$, а точки A₂, B₂, C₂ — противоположные им векторы. Поэтому длины сторон шестиугольника попарно равны $MA/2$, $MB/2$, $MC/2$.
Сумма их квадратов равна
\[\frac12(MA^2+MB^2+MC^2)=\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{6}.\]
Подставляем стороны: $\frac{5^2+8^2+10^2}{6}=\frac{189}{6}=\frac{63}{2}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10378.

18. Найдите все значения $a $, при каждом из которых система $$ \left\{ \begin{array}{l} \left| {2{x^2} + {y^2} - 1} \right| + {y^2} + 4y = 0 \\ y = 0,5x + a \end{array} \right. $$ имеет два или три корня.

Верный ответ: $\left(-1-\dfrac{\sqrt{30}}4;-\dfrac38\right]\cup\left[-\dfrac{\sqrt2}4;\dfrac{\sqrt2}4\right)$.

Раскроем модуль в первом уравнении. Кривая состоит из двух частей:
\[x^2+(y+1)^2=\frac32,\quad y\le0,\]
и
\[y=\frac{x^2}{2}-\frac14,\quad |x|<\frac{\sqrt2}{2}.\]
То есть это нижняя дуга окружности и ограниченный участок параболы; они соединяются в точках $\left(\pm\dfrac{\sqrt2}{2};0\right)$. Вторая строка задаёт прямые $y=\dfrac12x+a$.
Критические положения прямой:
• $a=-1-\dfrac{\sqrt{30}}4$ — касание дуги окружности, поэтому имеется только одна точка;
• $a=-\dfrac38$ — касание параболы, и общее число точек становится равным трём;
• $a=-\dfrac{\sqrt2}4$ — прохождение через правую точку соединения частей кривой;
• $a=\dfrac{\sqrt2}4$ — прохождение через левую точку соединения.
Между первым и вторым критическими значениями прямая пересекает кривую в двух точках; при $a=-\dfrac38$ — в трёх. На промежутке $\left(-\dfrac38;-\dfrac{\sqrt2}4\right)$ появляются четыре точки, поэтому он не подходит. При $-\dfrac{\sqrt2}4\le a<\dfrac{\sqrt2}4$ остаются соответственно три или две точки. В крайних точках соединения совпадающие пересечения считаются одной точкой.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10285.

19. Ответьте на следующие вопросы:
а) Существует ли такое кратное 11 трёхзначное число, у которого вторая цифра в 14 раз меньше произведения двух других его цифр?
б) Существует ли такое кратное 11 трёхзначное число, у которого сумма всех цифр равна 1?
в) Найдите наибольшее кратное 11 восьмизначное число, среди цифр которого по одному разу встречаются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 9. Ответ обоснуйте.

Верный ответ:
а) да, например 847;
б) нет;
в) 97 635 241.

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы цифр на нечётных местах и суммы цифр на чётных местах делится на 11.
а) Для числа 847 получаем $8-4+7=11$, поэтому оно кратно 11. Кроме того, произведение крайних цифр равно $8\cdot7=56$, а $56=14\cdot4$, то есть вторая цифра действительно в 14 раз меньше этого произведения.
б) Единственное трёхзначное число с суммой цифр 1 — это 100. Для него $1-0+0=1$, поэтому оно не делится на 11.
в) Сумма всех данных цифр равна 37. Для кратности 11 суммы цифр на нечётных и чётных местах должны равняться 24 и 13. Первую цифру берём максимально возможной — 9. Нечётные места не могут иметь сумму 13, потому что даже $9+1+2+3=15$, значит, их сумма равна 24. На чётных местах с суммой 13 можно поставить цифру 7, так как оставшиеся три цифры должны дать 6, и это $1+2+3$. Поэтому чётные места занимают 7, 3, 2, 1, а нечётные — 9, 6, 5, 4. Чтобы число было наибольшим, внутри каждой группы располагаем цифры по убыванию: $9,7,6,3,5,2,4,1$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10172.

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Вариант 21

Часть 2