Линия заданий 26, ЕГЭ 2027 по физике

Возможное решение

Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй, и будем считать её инерциальной (ИСО).

2. Опишем брусок и составной блок моделью абсолютно твёрдого тела.

3. Так как и брусок, и блок находятся в равновесии, для них справедливо условие равновесия абсолютно твёрдого тела относительно вращательного движения: сумма моментов всех внешних сил равна нулю. Для блока запишем моменты внешних сил относительно оси, проходящей через точку закрепления блока O перпендикулярно плоскости рисунка, для бруска — относительно оси, проходящей через точку A перпендикулярно плоскости рисунка.

4. Груз может двигаться только поступательно вдоль вертикальной оси Oy, лежащей в плоскости рисунка. Поэтому для груза используем модель материальной точки и применим второй закон Ньютона. Вследствие условия равновесия сумма приложенных к грузу сил равна нулю.

5. Поскольку нити невесомы, блок невесом, трением в оси блока можно пренебречь, то величина силы натяжения каждой нити в любой её точке одна и та же, в частности \( T_1 = T_3 \) и \( T_2 = T_4 \).

Решение
1. Силы, действующие на брусок, блок и груз, показаны на рисунке для случая, когда масса груза максимальна (или масса бруска минимальна), и поэтому брусок ещё покоится на столе, но касается стола только в точке A. Поэтому сила \( \vec N \) приложена к бруску в точке A и направлена вертикально вверх, так как поверхность стола гладкая.

2. Запишем уравнение моментов сил для бруска в момент, когда он покоится, касаясь стола только в точке A:

\( T_1\cdot AB - Mg\cdot\frac{AB}{2} = 0 \), откуда \( T_1 = \frac{Mg}{2} \).

3. Запишем второй закон Ньютона для покоящегося груза в проекциях на ось Oy:
\( T_2 - mg = 0 \), откуда \( T_2 = mg \).

4. Условие равновесия блока относительно оси, проходящей через точку O:
\( T_3\cdot r = T_4\cdot R \).

С учётом того, что \( T_1 = T_3 \), \( T_2 = T_4 \), получим \( T_1r = T_2R \).

5. Подставим результаты п. 2 и 3:
\( \frac{Mg}{2}\cdot r = mg\cdot R \).

Отсюда
\( \max\frac{m}{M} = \frac{r}{2R} = \frac{0{,}06}{2\cdot 0{,}15} = 0{,}2 \).

Ответ: \( \max\frac{m}{M} = 0{,}2 \).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24397.

Возможное решение

Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй, и будем считать её инерциальной (ИСО).

2. Опишем брусок и составной блок моделью абсолютно твёрдого тела.

3. Так как и брусок, и блок находятся в равновесии, для них справедливо условие равновесия абсолютно твёрдого тела относительно вращательного движения: сумма моментов всех внешних сил равна нулю. Для блока запишем моменты внешних сил относительно оси, проходящей через точку закрепления блока O перпендикулярно плоскости рисунка, для бруска — относительно оси, проходящей через точку A перпендикулярно плоскости рисунка.

4. Груз может двигаться только поступательно вдоль вертикальной оси Oy, лежащей в плоскости рисунка. Поэтому для груза используем модель материальной точки и применим второй закон Ньютона. Вследствие условия равновесия сумма приложенных к грузу сил равна нулю.

5. Поскольку нити невесомы, блок невесом, трением в оси блока можно пренебречь, то величина силы натяжения каждой нити в любой её точке одна и та же, в частности \( T_1 = T_3 \) и \( T_2 = T_4 \).

Решение
1. Силы, действующие на брусок, блок и груз, показаны на рисунке для случая, когда масса груза максимальна (или масса бруска минимальна), и поэтому брусок ещё покоится на столе, но касается стола только в точке A. Поэтому сила \( \vec N \) приложена к бруску в точке A и направлена вертикально вверх, так как поверхность стола гладкая.

2. Запишем уравнение моментов сил для бруска в момент, когда он покоится, касаясь стола только в точке A:

\( T_1\cdot AB - Mg\cdot\frac{AB}{2} = 0 \), откуда \( T_1 = \frac{Mg}{2} \).

3. Запишем второй закон Ньютона для покоящегося груза в проекциях на ось Oy:
\( T_2 - mg = 0 \), откуда \( T_2 = mg \).

4. Условие равновесия блока относительно оси, проходящей через точку O:
\( T_3\cdot r = T_4\cdot R \).

С учётом того, что \( T_1 = T_3 \), \( T_2 = T_4 \), получим \( T_1r = T_2R \).

5. Подставим результаты п. 2 и 3:
\( \frac{Mg}{2}\cdot r = mg\cdot R \).

Отсюда
\( \frac{M}{m} = \frac{2R}{r} = \frac{2\cdot 0{,}12}{0{,}08} = 3 \).

Ответ: \( \min\frac{M}{m} = 3 \).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24396.

Возможное решение

Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).

2. Опишем рычаг моделью абсолютно твёрдого тела: форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным.

3. Сумма приложенных к абсолютно твёрдому телу внешних сил равна нулю, так как тело не совершает поступательного движения.

4. Сумма моментов внешних сил относительно осей, проходящих через точки опоры перпендикулярно плоскости рисунка, равна нулю, так как тело не совершает вращательного движения.

5. Грузы на нитях могут двигаться только поступательно, поэтому опишем грузы моделью материальной точки и используем второй закон Ньютона.

6. Нити невесомы, поэтому натяжение каждой нити всюду одинаково.

7. Согласно третьему закону Ньютона силы, с которыми взаимодействуют грузы, нити и рычаг, равны по модулю и направлены в противоположные стороны.

Решение
1. Начальное условие равновесия:

\( P_1l_1 = P_2l_2 \),
где \( \vec P_i \) — силы, с которыми нити действуют на рычаг, \( l_i \) — плечи сил. На каждый груз действуют только сила тяжести \( m\vec g \) и сила реакции подвеса \( \vec N \). В равновесии по второму закону Ньютона \( N = mg \). Пусть \( T \) — модуль силы натяжения нити. Поскольку нити невесомы, по третьему закону Ньютона \( P = T \), \( T = N \), поэтому \( P = mg \).

2. Когда грузы находятся в воде, на них действует архимедова сила \( F_{Арх} \), и в равновесии \( N\prime = mg - F_{Арх} \), откуда \( P\prime = mg - F_{Арх} = P - F_{Арх} \).

3. Под действием сил \( \vec P_1 \) и \( \vec P_2 \) рычаг находился в равновесии. В результате погружения грузов в воду обе силы уменьшились на одну и ту же величину \( F_{Арх}=\rho gV \). Значит, большая сила изменилась на меньшую относительную величину. Для сохранения равновесия рычага надо уменьшить плечо большей силы.

Условие равновесия рычага в конечном состоянии:
\( P_1\prime(l_1 - \Delta l) = P_2\prime(l_2 + \Delta l) \), или
\( (P_1 - F_{Арх})(l_1 - \Delta l) = (P_2 - F_{Арх})(l_2 + \Delta l) \).

4. Из начального и конечного условий равновесия найдём выражение для искомого расстояния \( \Delta l \):

\( \Delta l = \frac{l_1F_{Арх}(P_1/P_2 - 1)}{P_1 + P_2 - 2F_{Арх}} = \frac{l_1\rho V[(m_1/m_2)-1]}{m_1 + m_2 - 2\rho V} \).

Подставим значения: \( l_1 = 0{,}2 \) м, \( \rho = 10^3 \) кг/м³, \( V = 2\cdot 10^{-4} \) м³:
\( \Delta l = \frac{0{,}2\cdot 10^3\cdot 2\cdot 10^{-4}[(1{,}28/0{,}32)-1]}{1{,}28 + 0{,}32 - 2\cdot 10^3\cdot 2\cdot 10^{-4}} = 0{,}1 \) м.

Ответ: \( \Delta l = 0{,}1 \) м.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24395.

Возможное решение

Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).

2. Опишем рычаг моделью абсолютно твёрдого тела: форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным.

3. Сумма приложенных к абсолютно твёрдому телу внешних сил равна нулю, так как тело не совершает поступательного движения.

4. Сумма моментов внешних сил относительно осей, проходящих через точки опоры перпендикулярно плоскости рисунка, равна нулю, так как тело не совершает вращательного движения.

5. Грузы на нитях могут двигаться только поступательно, поэтому опишем грузы моделью материальной точки и используем второй закон Ньютона.

6. Нити невесомы, поэтому натяжение каждой нити всюду одинаково.

7. Согласно третьему закону Ньютона силы, с которыми взаимодействуют грузы, нити и рычаг, равны по модулю и направлены в противоположные стороны.

Решение
1. Начальное условие равновесия:

\( P_1l_1 = P_2l_2 \),
где \( \vec P_i \) — силы, с которыми нити действуют на рычаг, \( l_i \) — плечи сил. На каждый груз действуют только сила тяжести \( m\vec g \) и сила реакции подвеса \( \vec N \). В равновесии по второму закону Ньютона \( N = mg \). Пусть \( T \) — модуль силы натяжения нити. Поскольку нити невесомы, по третьему закону Ньютона \( P = T \), \( T = N \), поэтому \( P = mg \).

2. Когда грузы находятся в керосине, на них действует архимедова сила \( F_{Арх} \), и в равновесии \( N\prime = mg - F_{Арх} \), откуда \( P\prime = mg - F_{Арх} = P - F_{Арх} \).

3. Под действием сил \( \vec P_1 \) и \( \vec P_2 \) рычаг находился в равновесии. В результате погружения грузов в керосин обе силы уменьшились на одну и ту же величину \( F_{Арх}=\rho gV \), где \( \rho \) — плотность керосина, \( V \) — объём груза. Значит, большая сила изменилась на меньшую относительную величину. Следовательно, для сохранения равновесия рычага надо уменьшить плечо большей силы.

Условие равновесия рычага в конечном состоянии:
\( P_1\prime(l_1 - \Delta l) = P_2\prime(l_2 + \Delta l) \), или
\( (P_1 - F_{Арх})(l_1 - \Delta l) = (P_2 - F_{Арх})(l_2 + \Delta l) \).

4. Из начального и конечного условий равновесия найдём выражение для плеча \( l_1 \):

\( l_1 = \frac{\Delta l(P_1 + P_2 - 2F_{Арх})}{F_{Арх}(P_1/P_2 - 1)} = \frac{\Delta l(m_1 + m_2 - 2\rho V)}{\rho V[(m_1/m_2)-1]} \).

Подставим значения: \( \Delta l = 0{,}1 \) м, \( \rho = 800 \) кг/м³, \( V = 2{,}5\cdot 10^{-4} \) м³:
\( l_1 = \frac{0{,}1(1{,}28 + 0{,}32 - 2\cdot 800\cdot 2{,}5\cdot 10^{-4})}{800\cdot 2{,}5\cdot 10^{-4}[(1{,}28/0{,}32)-1]} = 0{,}2 \) м.

Ответ: \( l_1 = 0{,}2 \) м.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24394.

Возможное решение

Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).

2. Опишем рычаг моделью твёрдого тела: форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным.

3. Рычаг не совершает вращательного движения, поэтому сумма моментов сил относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через ось вращения рычага (точку O), равна нулю.

4. Пластину опишем моделью материальной точки.

5. Пластина находится в покое относительно поступательного движения, следовательно, векторная сумма сил, действующих на неё, равна нулю.

6. Нить, соединяющая рычаг и пластину, невесома, поэтому модуль силы натяжения нити в любой её точке один и тот же: \( |\vec T_1| = |\vec T_2| = T \).

Решение
1. Сделаем схематичный рисунок, отражающий нашу модель. На рычаг действуют сила тяжести \( M\vec g \), сила натяжения нити \( \vec T_1 \), сила натяжения нити \( \vec F \), а также сила реакции опоры \( \vec N \), приложенная в точке O. На пластину действуют сила тяжести \( m\vec g \) и сила натяжения нити \( \vec T_2 \). Пластина находится в равновесии, поэтому по второму закону Ньютона \( T_2 = mg \).

2. Условие равновесия рычага относительно оси вращения, проходящей через точку O и перпендикулярной плоскости чертежа, имеет вид:

\( F\cdot AO\cos\alpha - T_1\cdot CO - Mg\cdot QO = 0 \),
где точка Q — центр рычага; момент силы \( \vec N \), проходящей через ось вращения, равен нулю.

3. По фотографии видно, что длина всего рычага составляет 7 условных единиц, а расстояния \( AO = 6 \) у. е., \( CO = 4 \) у. е., \( QO = 2{,}5 \) у. е. соответственно. По фотографии определим \( \alpha = 45^\circ \), а \( F = 1{,}6 \) Н.

4. Учитывая, что \( |\vec T_1| = |\vec T_2| = T \), найдём массу рычага:

\( M = \frac{F\cdot AO\cos\alpha - mg\cdot CO}{g\cdot QO} = \frac{1{,}6\cdot 6\cdot 0{,}707 - 0{,}12\cdot 10\cdot 4}{10\cdot 2{,}5} \approx 0{,}08 \) кг.

Ответ: \( M \approx 0{,}08 \) кг.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24393.

Возможное решение

Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).

2. Опишем рычаг моделью твёрдого тела: форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным.

3. Рычаг не совершает вращательного движения, поэтому сумма моментов сил относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через ось вращения рычага (точку O), равна нулю.

4. Пластину опишем моделью материальной точки.

5. Пластина находится в покое относительно поступательного движения, следовательно, векторная сумма сил, действующих на неё, равна нулю.

6. Нить, соединяющая рычаг и пластину, невесома, поэтому модуль силы натяжения нити в любой её точке один и тот же: \( |\vec T_1| = |\vec T_2| = T \).

Решение
1. Сделаем схематичный рисунок, отражающий нашу модель. На рычаг действуют сила тяжести \( M\vec g \), сила натяжения нити \( \vec T_1 \), сила натяжения нити \( \vec F \), а также сила реакции опоры \( \vec N \), приложенная в точке O. На пластину действуют сила тяжести \( m\vec g \) и сила натяжения нити \( \vec T_2 \). Пластина находится в равновесии, поэтому по второму закону Ньютона \( T_2 = mg \).

2. Условие равновесия рычага относительно оси вращения, проходящей через точку O и перпендикулярной плоскости чертежа, имеет вид:

\( F\cdot AO\cos\alpha - T_1\cdot CO - Mg\cdot QO = 0 \),
где точка Q — центр рычага; момент силы \( \vec N \), проходящей через ось вращения, равен нулю.

3. По фотографии видно, что длина всего рычага составляет 7 условных единиц, а расстояния \( AO = 6 \) у. е., \( CO = 4 \) у. е., \( QO = 2{,}5 \) у. е. соответственно. По фотографии определим \( \alpha = 45^\circ \), а \( F = 1{,}6 \) Н.

4. Учитывая, что \( |\vec T_1| = |\vec T_2| = T \), определим массу медной пластины:

\( m = \frac{F\cdot AO\cos\alpha - Mg\cdot QO}{g\cdot CO} = \frac{1{,}6\cdot 6\cdot 0{,}707 - 0{,}03\cdot 10\cdot 2{,}5}{10\cdot 4} \approx 0{,}15 \) кг.

Ответ: \( m \approx 0{,}15 \) кг.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24392.

Возможное решение

Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).

2. Опишем стержень моделью абсолютно твёрдого тела: форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным.

3. Поскольку стержень не движется поступательно, сумма приложенных к нему внешних сил равна нулю.

4. Поскольку стержень не вращается, сумма моментов внешних сил относительно оси, проходящей через точку A перпендикулярно плоскости рисунка, равна нулю.

Решение
1. Изобразим на рисунке силы, действующие на стержень, и систему координат Oxy. Здесь \( \vec T \) — сила натяжения нити, \( m\vec g \) — сила тяжести, \( F_x \) и \( F_y \) — горизонтальная и вертикальная составляющие силы, с которой шарнир действует на стержень.

2. В положении равновесия равны нулю сумма моментов внешних сил относительно оси, проходящей через точку A, а также суммы горизонтальных и вертикальных составляющих сил:

\( mg\cdot\frac{l}{2}\cos\alpha - T\cdot l\sin\alpha = 0 \);
\( F_x - T = 0 \);
\( F_y - mg = 0 \).

3. Модуль силы реакции шарнира:
\( F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{T^2 + (mg)^2} \).

Из уравнения моментов получаем \( T = \frac{mg}{2}\operatorname{ctg}\alpha \), поэтому
\( F = mg\sqrt{1 + \left(\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{2}\right)^2} \).

Подставим числовые значения:
\( F = 2{,}7\cdot 10\sqrt{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} \approx 30 \) Н.

Ответ: \( F \approx 30 \) Н.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24391.

Возможное решение

Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).

2. Опишем стержень моделью абсолютно твёрдого тела: форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным.

3. Поскольку стержень не движется поступательно, сумма приложенных к нему внешних сил равна нулю.

4. Поскольку стержень не вращается, сумма моментов внешних сил относительно оси, проходящей через точку A перпендикулярно плоскости рисунка, равна нулю.

Решение
1. Изобразим на рисунке силы, действующие на стержень, и систему координат Oxy. Здесь \( \vec T \) — сила натяжения нити, \( m\vec g \) — сила тяжести, \( F_x \) и \( F_y \) — горизонтальная и вертикальная составляющие силы, с которой шарнир действует на стержень.

2. В положении равновесия равны нулю сумма моментов внешних сил, действующих на стержень, относительно оси, проходящей через точку A, а также суммы горизонтальных и вертикальных составляющих сил:

\( mg\cdot\frac{l}{2}\cos\alpha - T\cdot l\sin\alpha = 0 \), где \( l \) — длина стержня;
\( F_x - T = 0 \);
\( F_y - mg = 0 \).

3. Модуль силы реакции шарнира:
\( F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{T^2 + (mg)^2} \).

Из уравнения моментов получаем \( T = \frac{mg}{2}\operatorname{ctg}\alpha \), поэтому
\( F = mg\sqrt{1 + \left(\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{2}\right)^2} \).

Отсюда
\( m = \frac{F}{g\sqrt{1 + \left(\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{2}\right)^2}} = \frac{35}{10\sqrt{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}} \approx 3{,}13 \) кг.

Ответ: \( m \approx 3{,}13 \) кг.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24390.

Обоснование

Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землей. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО). Движение бруска поступательное, его можно описать моделью материальной точки.

Для нахождения скорости тел после абсолютно неупругого столкновения пластилинового тела с бруском используем закон сохранения импульса. Им можно воспользоваться, так как система является замкнутой, то есть внешние силы существенного действия на скорость, возникающую сразу после столкновения, не оказывают.

Для нахождения ускорения, с которым тела будут двигаться в дальнейшем, будем использовать второй закон Ньютона. Им можно воспользоваться, так как по условию задачи видно, что система является инерциальной.

Решение

Запишем закон сохранения импульса:

\( {m_{пл}} \cdot {\upsilon _{пл}} - {m_{бр}} \cdot {\upsilon _{бр}} = ({m_{пл}} + {m_{бр}}){\upsilon _0} \)

\( {\upsilon _0} = \frac{{m \cdot {\upsilon _{пл}} - 4m \cdot {\upsilon _{бр}}}}{{5m}} \) \( = \frac{{{\upsilon _{пл}} - 4{\upsilon _{бр}}}}{5} \),

\( {\upsilon _{нач}} = \frac{{15 - 4 \cdot 5}}{5} = -1 \) м/с

(знак «-» показывает направление скорости).
В дальнейшем тела будут двигаться равнозамедленно под действием постоянной силы трения. В этом случае можно воспользоваться вторым законом Ньютона:

\( 5 \cdot m \cdot a = \mu \cdot 5m \cdot g \Rightarrow \) \( a = \mu g = 1,7 \) м/с² - модуль ускорения.

Используем законы кинематики для движения тела с постоянным ускорением:

\( - 2aS = \upsilon _{кон}^2 - \upsilon _{нач}^2 \)

\( S = \frac{{\upsilon _{нач}^2 - \upsilon _{кон}^2}}{{2a}} \)

\( S = \frac{{{1^2} - {{0,7}^2}}}{{2 \cdot 1,7}} = 0,15 \) м

Ответ: S = 0,15 м

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21521.

Обоснование
Удар длится очень мало. За это время импульс внешних сил — силы тяжести и натяжения верёвки — значительно меньше импульса ударного взаимодействия пули с ящиком. Поэтому для системы «пуля + ящик» можно применить закон сохранения импульса. Удар абсолютно неупругий, поэтому механическая энергия при столкновении не сохраняется: часть её переходит во внутреннюю энергию и деформацию.

Решение
Пусть скорость пули до удара равна \(\upsilon\), а общая скорость ящика с застрявшей пулей сразу после удара — \(u\). По закону сохранения импульса: \[ m\upsilon=(M+m)u, \qquad u=\frac{m\upsilon}{M+m}. \] Начальная кинетическая энергия пули: \[ E_0=\frac{m\upsilon^2}{2}. \] Кинетическая энергия объединённой системы после удара: \[ E=\frac{(M+m)u^2}{2} =\frac{m^2\upsilon^2}{2(M+m)}. \] Искомая доля: \[ \eta=\frac{E}{E_0} =\frac{m}{M+m} =\frac{0{,}010}{4{,}000+0{,}010} \approx0{,}00249\approx0{,}0025. \] Это около \(0{,}25\%\); почти вся начальная энергия пули при неупругом ударе переходит не в кинетическую энергию системы, а во внутреннюю.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21520.