Линия заданий 26, ЕГЭ 2027 по физике

Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. В ИСО изменение механической энергии тела равно работе всех приложенных к телу непотенциальных сил. При движении бруска вниз и вверх по наклонной плоскости на него действуют потенциальная сила тяжести и сила реакции опоры \( \vec N \), перпендикулярная перемещению бруска (трения нет, так как поверхность гладкая).
Поэтому работа силы \( \vec N \) при движении бруска по наклонной плоскости равна нулю.
Следовательно, механическая энергия бруска при его движении до удара сохраняется. Аналогично сохраняется механическая энергия бруска и при его движении после удара.
3. Закон сохранения импульса выполняется в ИСО в проекциях на выбранную ось, если сумма проекций внешних сил на эту ось равна нулю. В данном случае выбранную ось направим параллельно движению бруска. Проекции на эту наклонную ось сил тяжести, действующих на брусок и на пулю, не равны нулю.
Но надо учесть, что при столкновении бруска и пули импульс каждого из двух тел меняется на конечную величину, тогда как время столкновения мало. Следовательно, на каждое из двух тел в это время действовала огромная сила (это силы взаимодействия бруска и пули), по сравнению с которой сила тяжести ничтожна.
Поэтому при столкновении тел силы тяжести не учитываем. Вследствие этого при описании столкновения бруска с пулей соблюдается закон сохранения импульса для системы тел «брусок + пуля».

Решение
1. Найдём скорость \( {\upsilon _1} \), которую брусок приобрёл, пройдя путь х. Используем закон сохранения механической энергии:
\( Mgx\sin\alpha = \frac{{M\upsilon _1^2}}{2} \) , \( {\upsilon _1} = \sqrt {2gx\sin \alpha } \)
2. Учитывая абсолютно неупругий удар пули и бруска, запишем закон сохранения импульса для этих тел:
\( m\upsilon - M{\upsilon _1} = \left( {M + m} \right){\upsilon _2} \) ,
где \( \upsilon \) — скорость пули, \( {\upsilon _2} \) — скорость, которую приобретут тела после абсолютно неупругого удара.
3. По закону сохранения механической энергии бруска при его подъёме по наклонной плоскости на расстояние S:
\( \frac{{\left( {M + m} \right)\upsilon _2^2}}{2} = \left( {M + m} \right)gS\sin \alpha \) , \( {\upsilon _2} = \sqrt {2gS\sin \alpha } \)
4. Тогда
\( m = \frac{{M\sqrt {2g\sin \alpha } \left( {\sqrt x + \sqrt S } \right)}}{{\upsilon - \sqrt {2gS\sin\alpha} }} = \) \( \frac{{0,25\sqrt {2 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ } \left( {\sqrt {3,6} + \sqrt {2,5} } \right)}}{{555 - \sqrt {2 \cdot 10 \cdot 2,5 \cdot \sin 30^\circ } }} \) \( = 0,005 \) кг
Ответ: m = 5 г

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21090.

Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. Брусок и тело движутся поступательно, поэтому описываем их моделью материальной точки независимо от их размеров.
3. Из пп. 1 и 2 следует, что движение бруска и тела в ИСО описывается вторым законом Ньютона.
4. Нить невесома, блок идеален (масса блока ничтожна, трения нет), поэтому модуль силы натяжения нити в любой её точке один и тот же.
5. Нить нерастяжима, поэтому модули ускорений подвижного блока и тела т при их прямолинейном поступательном движении отличаются в 2 раза.

Решение

Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную ось для тела и бруска:
\( m{a_1} = {T_1} \) ; \( M{a_2} = F - {T_4} \) , где \( {a_1} \) и \( {a_2} \) — ускорения тела и бруска, \( {T_1} \) — сила натяжения нити, \( {T_2} \) — сила, с которой блок действует на брусок.
Запишем второй закон Ньютона для невесомого блока: \( 0 = {T_3} - 2{T_2} \), где \( {T_3} \) — сила, с которой брусок действует на блок, \( {T_2} \) — сила натяжения нити, действующая на блок.
Поскольку нить невесома, то \( \left| {{{\vec T}_1}} \right| = \left| {{{\vec T}_2}} \right| = T \). По третьему закону Ньютона \( {{\vec T}_3} = - {{\vec T}_4} \), или \( \left| {{{\vec T}_3}} \right| = \left| {{{\vec T}_4}} \right| \).
Ускорение бруска массой M в 2 раза меньше ускорения тела массой т, так как за одно и то же время перемещение тела в 2 раза больше перемещения бруска: \( \left| {{{\vec T}_3}} \right| = \left| {{{\vec T}_4}} \right| \).
Приходим к системе уравнений:
\( \left\{ \begin{array}{l}
F - 2T = M{a_2}\\
T = m \cdot 2{a_2}
\end{array} \right. \)
, откуда \( {a_2} = \frac{F}{{M + 4m}} \)
\( {a_2} = \frac{F}{{M + 4m}} = \) \( \frac{{10}}{{2 + 4 \cdot 0,75}} = 2 \) м/с²
Ответ: 2 м/с²

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21089.

Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. Брусок и тело движутся поступательно, поэтому описываем их моделью материальной точки независимо от их размеров.
3. Из пп. 1 и 2 следует, что движение бруска и тела в ИСО описывается вторым законом Ньютона.
4. Нить невесома, блок идеален (масса блока ничтожна, трения нет), поэтому модуль силы натяжения нити в любой её точке один и тот же.
5. Нить нерастяжима, поэтому модули ускорений подвижного блока и тела \(m\) при их прямолинейном поступательном движении отличаются в 2 раза.

Решение

Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную ось для тела и бруска:
\( m{a_1} = {T_1} \) ; \( M{a_2} = F - {T_4} \) , где \( {a_1} \) и \( {a_2} \) — ускорения тела и бруска, \( {T_1} \) — сила натяжения нити, \( {T_2} \) — сила, с которой блок действует на брусок.
Запишем второй закон Ньютона для невесомого блока: \( 0 = {T_3} - 2{T_2} \), где \( {T_3} \) — сила, с которой брусок действует на блок, \( {T_2} \) — сила натяжения нити, действующая на блок.
Поскольку нить невесома, то \( \left| {{{\vec T}_1}} \right| = \left| {{{\vec T}_2}} \right| = T \). По третьему закону Ньютона \( {{\vec T}_3} = - {{\vec T}_4} \), или \( \left| {{{\vec T}_3}} \right| = \left| {{{\vec T}_4}} \right| \).
Ускорение бруска массой \(M\) в 2 раза меньше ускорения тела массой \(m\), так как при перемещении подвижного блока на расстояние \(x\) свободный конец нити перемещается на \(2x\): \(a_1=2a_2\).
Приходим к системе уравнений:
\( \left\{ \begin{array}{l}
F - 2T = M{a_2}\\
T = m \cdot 2{a_2}
\end{array} \right. \)
, откуда \( {a_2} = \frac{F}{{M + 4m}} \)
\( {a_1} = 2{a_2} = \frac{{2F}}{{M + 4m}} = \) \( \frac{{2 \cdot 10}}{{2 + 4 \cdot 0,75}} = 4 \) м/с²
Ответ: 4 м/с²

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21088.

Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. Шарик имеет малые размеры по сравнению с размерами пружины и дальностью полёта, поэтому описываем его моделью материальной точки.
3. В процессе движения шарика по стволу к верхней точке своей траектории на него действуют сила тяжести \( m\vec g \), сила упругости \( {{\vec F}_y} \) и сила реакции опоры \( {\vec N} \).
Изменение механической энергии шарика в ИСО равно работе всех непотенциальных сил, приложенных к телу. В данном случае единственной такой силой является сила реакции опоры \( {\vec N} \). В каждой точке траектории \( \vec N \bot \vec \upsilon \), где \( {\vec \upsilon } \) - скорость шарика, поэтому работа силы \( {\vec N} \) равна нулю, следовательно, механическая энергия шарика при его движении по стволу сохраняется.

Решение
По закону сохранения механической энергии
\( {E_0} = \frac{{m\upsilon _0^2}}{2} + mgb\sin \alpha \) ,
где \( {E_0} \) — энергия сжатой пружины, а \( {\upsilon _0} \) — скорость шарика в момент вылета из дула ружья.
Согласно формулам кинематики тела, брошенного под углом к горизонту,
\( L = {\upsilon _0}t\cos \alpha ,t = \frac{{2{\upsilon _0}\sin \alpha }}{g} \) , где t — время полета. Следовательно, расстояние
\( L = \frac{{\upsilon _0^2}}{g}\sin 2\alpha \)
Комбинируя формулы (1) и (2), находим:
\( m = \frac{{{E_0}}}{{g\left( {\frac{L}{{2\sin 2\alpha }} + b\sin \alpha } \right)}} = \) \( \frac{{0,25}}{{10 \cdot \left( {\frac{1}{{2 \cdot 0,866}} + 0,5 \cdot 0,5} \right)}} \) \( \approx 0,03 \) кг = 30 г
Ответ: 30 г

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21087.

Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. Шарик имеет малые размеры по сравнению с размерами пружины и дальностью полёта, поэтому описываем его моделью материальной точки.
3. В процессе движения шарика по стволу к верхней точке своей траектории на него действуют сила тяжести \( m\vec g \), сила упругости \( {{\vec F}_y} \) и сила реакции опоры \( {\vec N} \).
Изменение механической энергии шарика в ИСО равно работе всех непотенциальных сил, приложенных к телу. В данном случае единственной такой силой является сила реакции опоры \( {\vec N} \). В каждой точке траектории \( \vec N \bot \vec \upsilon \), где \( {\vec \upsilon } \) - скорость шарика, поэтому работа силы \( {\vec N} \) равна нулю, следовательно, механическая энергия шарика при его движении по стволу сохраняется.

Решение
По закону сохранения механической энергии
\( {E_0} = \frac{{m\upsilon _0^2}}{2} + mgb\sin \alpha \) ,
где \( {E_0} \) — энергия сжатой пружины, а \( {\upsilon _0} \) — скорость шарика в момент вылета из дула ружья.
Согласно формулам кинематики тела, брошенного под углом к горизонту,
\( L = {\upsilon _0}t\cos \alpha ,t = \frac{{2{\upsilon _0}\sin \alpha }}{g} \) , где t — время полета. Следовательно, расстояние
\( L = \frac{{\upsilon _0^2}}{g}\sin 2\alpha \)
Комбинируя формулы (1) и (2), находим:
\( L = \frac{2}{{mg}}\sin 2\alpha \left( {{E_0} - mgb\sin \alpha } \right) \) \( = \frac{2}{{5 \cdot {{10}^{ - 2}} \cdot 10}}\sin 60^\circ \left( {0,41 - 5 \cdot {{10}^{ - 2}} \cdot 10 \cdot 0,5 \cdot \sin 30^\circ } \right) \) \( \approx 1 \) м
Ответ: 1 м

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21086.

Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. Шарики имеют малые размеры по сравнению с длиной нити, поэтому описываем их моделью материальной точки.
3. При пережигании нити пружина толкает оба шарика, действуя на шарики внутренней силой - силой упругости, все внешние силы, действующие на систему двух шариков, направлены вертикально (силы тяжести и натяжения нитей), поэтому сохраняется горизонтальная проекция импульса системы шариков, поскольку импульс пружины пренебрежимо мал из-за её малой массы.
4. В процессе движения каждого шарика на нити к верхней точке своей траектории на каждый из них действуют сила тяжести \( m\vec g \) и сила натяжения нити \( (\vec T) \).
Изменение механической энергии шарика в ИСО равно работе всех непотенциальных сил, приложенных к нему. В данном случае единственной такой силой является сила натяжения нити \( (\vec T) \). В каждой точке траектории \( \vec T \bot \vec \upsilon \), где \( (\vec \upsilon ) \) - скорость шарика, поэтому работа силы \( (\vec T) \) равна нулю, а механическая энергия каждого шарика на этом участке его движения сохраняется.

Решение
После пережигания нити пружина распрямится, сообщая шарикам начальные скорости \( {{\vec \upsilon }_1} \) и \( {{\vec \upsilon }_2} \). Запишем закон сохранения импульса для системы шариков в проекциях на ось x (см. рисунок):
\( 0 = - {m_1}{\upsilon _1} + {m_2}{\upsilon _2} \)
Для описания дальнейшего движения каждого шарика воспользуемся законом сохранения полной механической энергии:
\( \frac{{{m_1}\upsilon _1^2}}{2} = {m_1}g{h_1} = {m_1}g{L_1}\left( {1 - \cos \alpha } \right) \)
\( \frac{{{m_2}\upsilon _2^2}}{2} = {m_2}g{h_2} = {m_2}g{L_2}\left( {1 - \cos \alpha } \right) \)
Поделив эти равенства друг на друга почленно, получим:
\( \frac{{{L_1}}}{{{L_2}}} = {\left( {\frac{{{\upsilon _1}}}{{{\upsilon _2}}}} \right)^2} \)
Из закона сохранения импульса следует, что \( \frac{{{\upsilon _1}}}{{{\upsilon _2}}} = \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}} \)
Поэтому \( \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}} = \sqrt {\frac{{{L_1}}}{{{L_2}}}} = \sqrt 2 \approx 1,4 \)
Ответ: \( \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}} \approx 1,4 \)

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21085.

Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. Шарики имеют малые размеры по сравнению с длиной нити, поэтому описываем их моделью материальной точки.
3. При пережигании нити пружина толкает оба шарика, действуя на шарики внутренней силой - силой упругости, все внешние силы, действующие на систему двух шариков, направлены вертикально (силы тяжести и натяжения нитей), поэтому сохраняется горизонтальная проекция импульса системы шариков, поскольку импульс пружины пренебрежимо мал из-за её малой массы.
4. В процессе движения каждого шарика на нити к верхней точке своей траектории на каждый из них действуют сила тяжести \( m\vec g \) и сила натяжения нити \( (\vec T) \).
Изменение механической энергии шарика в ИСО равно работе всех непотенциальных сил, приложенных к нему. В данном случае единственной такой силой является сила натяжения нити \( (\vec T) \). В каждой точке траектории \( \vec T \bot \vec \upsilon \), где \( (\vec \upsilon ) \) - скорость шарика, поэтому работа силы \( (\vec T) \) равна нулю, а механическая энергия каждого шарика на этом участке его движения сохраняется.

Решение
После пережигания нити пружина распрямится, сообщая шарикам начальные скорости \( {{\vec \upsilon }_1} \) и \( {{\vec \upsilon }_2} \). Запишем закон сохранения импульса для системы шариков в проекциях на ось x (см. рисунок):
\( 0 = - {m_1}{\upsilon _1} + {m_2}{\upsilon _2} \)
Для описания дальнейшего движения каждого шарика воспользуемся законом сохранения полной механической энергии:
\( \frac{{{m_1}\upsilon _1^2}}{2} = {m_1}g{h_1} = {m_1}g{L_1}\left( {1 - \cos \alpha } \right) \)
\( \frac{{{m_2}\upsilon _2^2}}{2} = {m_2}g{h_2} = {m_2}g{L_2}\left( {1 - \cos \alpha } \right) \)
Поделив эти равенства друг на друга почленно, получим:
\( \frac{{{L_1}}}{{{L_2}}} = {\left( {\frac{{{\upsilon _1}}}{{{\upsilon _2}}}} \right)^2} \)
Из закона сохранения импульса следует, что \( \frac{{{\upsilon _1}}}{{{\upsilon _2}}} = \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}} \)
Поэтому \( \frac{{{L_1}}}{{{L_2}}} = {\left( {\frac{{{m_2}}}{{{m_1}}}} \right)^2} = {1,5^2} = 2,25 \)
Ответ: \( \frac{{{L_1}}}{{{L_2}}} = 2,25 \)

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21084.

Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. Описываем стержень моделью твёрдого тела (форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным).
3. Любое движение твёрдого тела является суперпозицией поступательного и вращательного движений. Поэтому условий равновесия твёрдого тела в ИСО ровно два; одно для поступательного движения, другое - для вращательного движения.
4. Сумма приложенных к твёрдому телу внешних сил равна нулю (условие равновесия твёрдого тела относительно поступательного движения). Поэтому сумма моментов этих сил относительно любых двух параллельных осей одна и та же.
Для удобства выберем ось, проходящую перпендикулярно плоскости рисунка через центр масс стержня (точку О).

Решение
1. По закону Гука модуль силы упругости равен \( F = k\Delta l \)
Так как растяжения пружин одинаковы, то \( \frac{{{F_2}}}{{{F_1}}} = \frac{{{k_2}}}{{{k_1}}} = 3 \) , где \( {F_1},{F_2} \) — модули сил упругости левой и правой пружин соответственно.
2. Условия равновесия стержня с грузом имеют вид
\( {F_1} + {F_2} = Mg + mg \)
\( {F_1} \cdot \frac{L}{2} + mg \cdot \left( {\frac{L}{2} - d} \right) = {F_2} \cdot \frac{L}{2} \) - правило моментов относительно оси О, проходящей через центр масс стержня перпендикулярно плоскости рисунка (см. рисунок).
3. Объединяя пункты 1 и 2, получаем систему уравнений:
\( \left\{ \begin{array}{l}
4{F_1} = Mg + mg\\
mg \cdot \left( {\frac{L}{2} - d} \right) = {F_1}L
\end{array} \right. \)
4. Из системы уравнений пункта 3 получаем \( M = \frac{{m\left( {L - 4d} \right)}}{L} = \frac{{3 \cdot \left( {0,4 - 0,2} \right)}}{{0,4}} = 1,5 \) кг
Ответ: 1,5 кг

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21083.

Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. Описываем стержень моделью твёрдого тела (форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным).
3. Любое движение твёрдого тела является суперпозицией поступательного и вращательного движений. Поэтому условий равновесия твёрдого тела в ИСО ровно два; одно для поступательного движения, другое - для вращательного движения.
4. Сумма приложенных к твёрдому телу внешних сил равна нулю (условие равновесия твёрдого тела относительно поступательного движения). Поэтому сумма моментов этих сил относительно любых двух параллельных осей одна и та же.
Для удобства выберем ось, проходящую перпендикулярно плоскости рисунка через центр масс стержня (точку О).

Решение
1. По закону Гука модуль силы упругости равен \( F = k\Delta l \)
Так как растяжения пружин одинаковы, то \( \frac{{{F_2}}}{{{F_1}}} = \frac{{{k_2}}}{{{k_1}}} = 3 \) , где \( {F_1},{F_2} \) — модули сил упругости левой и правой пружин соответственно.
2. Условия равновесия стержня с грузом имеют вид
\( {F_1} + {F_2} = Mg + mg \)
\( {F_1} \cdot \frac{L}{2} + mg \cdot \left( {\frac{L}{2} - d} \right) = {F_2} \cdot \frac{L}{2} \) - правило моментов относительно оси О, проходящей через центр масс стержня перпендикулярно плоскости рисунка (см. рисунок).
3. Объединяя пункты 1 и 2, получаем систему уравнений:
\( \left\{ \begin{array}{l}
4{F_1} = Mg + mg\\
mg \cdot \left( {\frac{L}{2} - d} \right) = {F_1}L
\end{array} \right. \)
4. Из системы уравнений пункта 3 получаем \( m = \frac{{ML}}{{L - 4d}} = \frac{{2 \cdot 0,4}}{{0,4 - 0,2}} = 4 \) кг
Ответ: 4 кг

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21082.

Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. Описываем стержень моделью твёрдого тела (форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным).
3. Любое движение твёрдого тела является суперпозицией поступательного и вращательного движений. Поэтому условий равновесия твёрдого тела в ИСО ровно два; одно - для поступательного движения, другое - для вращательного движения.
4. В качестве оси, относительно которой будем считать сумму моментов сил, действующих на стержень, выберем ось, проходящую перпендикулярно плоскости рисунка через точку шарнирного крепления (точку А).
5. Нить невесома, блок идеален (масса блока ничтожна, трения нет), поэтому модуль силы натяжения нити в любой точке один и тот же.

Решение
1. Введём декартову систему координат \( xOy \), как показано на рисунке. Поскольку груз М находится в равновесии, согласно второму закону Ньютона \( {T_1} - Mg = 0 \). (1)
2. На стержень с грузами \( {m_1} \) и \( {m_2} \) действуют силы \( {m_1}\vec g \) и \( {m_2}\vec g \), а также сила натяжения нити \( {{{\vec T}_2}} \). Поскольку нить невесома, а блок идеален, то \( \left| {{{\vec T}_1}} \right| = \left| {{{\vec T}_2}} \right| = T \). Кроме того, на стержень действует сила \( {\vec F} \) со стороны шарнира. Запишем условие равенства нулю суммы моментов этих сил относительно оси вращения, проходящей через точку A — точку шарнирного закрепления стержня:
\( {m_1}g \cdot b\sin \alpha + {m_2}g \cdot l\sin \alpha - T \cdot AD = 0 \)
3. Решая систему уравнений (1) и (2), с учётом
\( AD = l\sin \varphi = l\sin \left( {\alpha + \beta } \right) \)
получим:
\( M = \frac{{\left( {{m_1} \cdot b + {m_2} \cdot l} \right)\sin \alpha }}{{l\sin \left( {\alpha + \beta } \right)}} = \) \( \frac{{\left( {200 \cdot 0,25 + 100 \cdot 0,4} \right) \cdot 0,5}}{{0,4 \cdot 0,866}} \) \( \approx 130 \) г.
Ответ: \( M \approx 130 \) г

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21081.