Решайте задания по одному, проверяйте себя сразу и открывайте подсказки там, где нужно.
Верный ответ: 44
Так как \(BM\) — медиана, \(AM=MC\). Одновременно \(BM\) является биссектрисой, поэтому по теореме о биссектрисе \(\frac{AM}{MC}=\frac{AB}{BC}\). Левая часть равна \(1\), значит \(AB=BC\), и треугольник \(ABC\) равнобедренный.
Медиана к основанию равнобедренного треугольника является высотой, поэтому треугольник \(ABM\) прямоугольный. Биссектриса делит угол \(B=120^\circ\) пополам, следовательно, \(\angle ABM=60^\circ\).
\(\cos60^\circ=\frac{BM}{AB}=\frac{22}{AB}=\frac12\), откуда \(AB=44\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10091.
Верный ответ: 36
Центральные углы \(\angle AOC\) и \(\angle COB\) образуют \(180^\circ\), поэтому \(\angle AOC=60^\circ\). Так как \(OA=OC\), углы при основании треугольника \(AOC\) равны по \(\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ\).
Следовательно, треугольник \(AOC\) равносторонний и радиус \(OA=AC=18\). Диаметр равен \(2\cdot18=36\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10071.
Верный ответ: 54
Поскольку \(AB\) проходит через центр, \(\angle AOB\) — развёрнутый. Отсюда \(\angle AOC=180^\circ-120^\circ=60^\circ\).
В треугольнике \(AOC\) радиусы \(OA\) и \(OC\) равны. При угле \(60^\circ\) между ними треугольник получается равносторонним, поэтому радиус равен хорде \(AC=27\).
Диаметр в два раза больше: \(2\cdot27=54\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10051.
Верный ответ: 42
Угол между противоположными лучами \(OA\) и \(OB\) равен \(180^\circ\), поэтому \(\angle AOC=60^\circ\). В треугольнике \(AOC\) две стороны \(OA\) и \(OC\) — радиусы.
Его углы при \(A\) и \(C\) равны и вместе составляют \(120^\circ\), то есть каждый тоже равен \(60^\circ\). Значит, \(OA=AC=21\).
Диаметр окружности равен \(2\cdot21=42\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10031.
Верный ответ: 74
Так как \(AB\) — диаметр, \(\angle AOB=180^\circ\). Поэтому \(\angle AOC=180^\circ-120^\circ=60^\circ\).
Стороны \(OA\) и \(OC\) равны как радиусы. Равнобедренный треугольник с углом \(60^\circ\) между равными сторонами является равносторонним, значит радиус равен \(AC=37\).
Диаметр равен \(2\cdot37=74\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10011.
Верный ответ: 70
Точки \(A\), \(O\) и \(B\) лежат на одной прямой, поэтому \(\angle AOC=180^\circ-\angle COB=60^\circ\). Отрезки \(OA\) и \(OC\) — радиусы, значит треугольник \(AOC\) равнобедренный.
Его угол при вершине равен \(60^\circ\), поэтому два остальных угла также по \(60^\circ\); треугольник равносторонний. Следовательно, радиус \(OA=AC=35\), а диаметр \(AB=2\cdot35=70\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9991.
Верный ответ: 1980
Диагональ длины \(101\) и сторона длины \(99\) образуют прямоугольный треугольник со второй стороной прямоугольника. Её длина равна \(\sqrt{101^2-99^2}=\sqrt{(101-99)(101+99)}=\sqrt{2\cdot200}=20\).
Площадь равна \(99\cdot20=1980\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9971.
Верный ответ: 420
Неизвестная сторона прямоугольника находится по теореме Пифагора: \(\sqrt{29^2-21^2}=\sqrt{841-441}=\sqrt{400}=20\).
Следовательно, площадь прямоугольника равна \(21\cdot20=420\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9951.
Верный ответ: 420
Стороны прямоугольника — катеты, а диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника. Поэтому вторая сторона равна \(\sqrt{37^2-35^2}=\sqrt{1369-1225}=\sqrt{144}=12\).
Площадь равна \(35\cdot12=420\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9931.
Верный ответ: 672
По теореме Пифагора найдём вторую сторону прямоугольника: \(\sqrt{50^2-48^2}=\sqrt{2500-2304}=\sqrt{196}=14\).
Теперь перемножаем длины соседних сторон: \(48\cdot14=672\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9911.
