Решайте задания по одному, проверяйте себя сразу и открывайте подсказки там, где нужно.
Верный ответ: 4
Преобразуем выражение под корнем, выделив полный квадрат:
\(x^2-8x+17=(x-4)^2+1\).
Квадрат \((x-4)^2\) не может быть отрицательным и принимает наименьшее значение \(0\) только при \(x=4\). Тогда минимально и подкоренное выражение, а вместе с ним — вся функция, поскольку квадратный корень возрастает с увеличением аргумента.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10317.
Верный ответ: 20
На данном отрезке \(x+5>0\), поэтому \(\ln((x+5)^5)=5\ln(x+5)\).
Найдём производную: \(y'=\frac5{x+5}-5=-\frac{5(x+4)}{x+5}\). Знаменатель положителен. При \(x<-4\) производная положительна, а при \(x>-4\) — отрицательна.
Следовательно, до точки \(x=-4\) функция возрастает, а после неё убывает, поэтому там достигается максимум. \(y(-4)=\ln1+20=20\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10298.
Верный ответ: 17
На заданном отрезке \(x>0\), поэтому функция и её производная определены.
\(y'=4-\frac1x=\frac{4x-1}{x}\). Поскольку знаменатель положителен, производная отрицательна при \(x<\frac14\) и положительна при \(x>\frac14\). Значит, функция убывает до \(x=\frac14\), а затем возрастает.
В точке минимума \(y\left(\frac14\right)=4\cdot\frac14-\ln1+16=17\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10279.
Верный ответ: 16
Производная равна \(y'=11\cdot\frac{1}{\cos^2x}-11=11(\tan^2x+1)-11=11\tan^2x\).
Квадрат тангенса неотрицателен, поэтому \(y'\geqslant0\) на всём отрезке. Следовательно, функция не убывает, и минимум достигается при \(x=0\).
\(y(0)=11\tan0-11\cdot0+16=16\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10260.
Верный ответ: 44
Найдём критические точки:
\(y'=5x^4+60x^2-65=5(x^2-1)(x^2+13)=5(x-1)(x+1)(x^2+13)\).
Множитель \(x^2+13\) всегда положителен. Из действительных корней \(x=-1\) и \(x=1\) заданному отрезку принадлежит только \(x=-1\).
Проверяем её и концы отрезка: \(y(-4)=-2044\), \(y(-1)=44\), \(y(0)=0\). Наибольшее из этих значений получается при \(x=-1\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10241.
Верный ответ: -2
Наибольшее значение на замкнутом отрезке может достигаться в критической точке или на одном из концов отрезка.
\(f'(x)=-3x^2+6x+9=-3(x-3)(x+1)\). Корни производной: \(x=-1\) и \(x=3\); внутри отрезка находится точка \(x=3\), а \(x=-1\) совпадает с левым концом.
Сравним значения: \(f(-1)=-34\), \(f(3)=-2\), \(f(4)=-9\). Поскольку \(-2>-9>-34\), наибольшее значение достигается при \(x=3\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10222.
Верный ответ: -17
Функция имеет вид \(y=(x+17)^2\cdot e^{30-x}\). Квадрат \((x+17)^2\) неотрицателен, а показательная функция \(e^{30-x}\) положительна при любом \(x\). Поэтому \(y\geqslant0\).
Наименьшее возможное значение, равное нулю, достигается тогда, когда квадрат обращается в ноль: \(x+17=0\). Отсюда \(x=-17\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10203.
Верный ответ: 1,5
Найдём производную:
\(y'=-2\cos x-(3-2x)\sin x+2\cos x=(2x-3)\sin x\).
На заданном промежутке \(\sin x>0\), поэтому производная отрицательна при \(x<\frac32\) и положительна при \(x>\frac32\). Точка \(\frac32\) принадлежит промежутку, так как \(0<\frac32<\frac{\pi}{2}\).
При переходе через эту точку функция меняет убывание на возрастание, следовательно, \(x=\frac32=1{,}5\) — точка минимума.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10184.
Верный ответ: 0,5
Вычислим производную:
\(y'=-2\cos x-(1-2x)\sin x+2\cos x=(2x-1)\sin x\).
На промежутке \(\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\) синус положителен, поэтому знак производной определяется множителем \(2x-1\). При \(0
Функция сначала убывает, затем возрастает, значит, точка \(x=\frac12=0{,}5\) является точкой минимума.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10165.
Верный ответ: 1
Найдём производную: \(y'=13-10\cos x\).
Поскольку \(\cos x\leqslant1\), получаем \(y'\geqslant13-10=3>0\). Поэтому функция возрастает на всём отрезке и принимает наименьшее значение в его левой границе.
При \(x=0\): \(y(0)=13\cdot0-10\sin0+1=1\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10146.
