Решайте задания по одному, проверяйте себя сразу и открывайте подсказки там, где нужно.
Верный ответ:
а) \(-5;\ 2;\ \frac{-1-\sqrt{65}}{2};\ \frac{-1+\sqrt{65}}{2}\).
б) \(-5;\ -\frac{1+\sqrt{65}}{2}\).
Пояснение.
Введём замену \(t=x+3\). По области допустимых значений \(t\neq0\), то есть \(x\neq-3\). Получаем
\(\frac{t^2}{5}+\frac{20}{t^2}=8\left(\frac t5-\frac2t\right)+1\).
Умножим уравнение на \(5t^2\):
\(t^4-8t^3-5t^2+80t+100=0\). Его левая часть раскладывается так:
\((t-5)(t+2)(t^2-5t-10)=0\).
Следовательно, \(t=5\), \(t=-2\) или \(t=\frac{5\pm\sqrt{65}}{2}\). После обратной замены \(x=t-3\) получаем корни из пункта а; запрещённого значения \(x=-3\) среди них нет.
На отрезке \([-6;-4]\) лежат \(-5\) и \(\frac{-1-\sqrt{65}}{2}=-\frac{1+\sqrt{65}}{2}\approx-4{,}53\). Остальные корни находятся правее числа \(-4\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10508.
Верный ответ:
а) \(-1;\ 4;\ 6-\sqrt{22};\ 6+\sqrt{22}\).
б) \(-1;\ 6-\sqrt{22}\).
Пояснение.
Положим \(t=x-2\). По области допустимых значений \(t\neq0\), то есть \(x\neq2\). Уравнение принимает вид
\(\frac{t^2}{2}+\frac{18}{t^2}=7\left(\frac t2-\frac3t\right)+10\).
Умножим обе части на \(2t^2\), что допустимо при \(t\neq0\):
\(t^4-7t^3-20t^2+42t+36=0\). Многочлен раскладывается на множители:
\((t-2)(t+3)(t^2-8t-6)=0\).
Поэтому \(t=2\), \(t=-3\) или \(t=4\pm\sqrt{22}\). Возвращаясь к \(x=t+2\), получаем четыре корня из пункта а; ни один из них не нарушает ОДЗ.
На отрезке \([-2;2]\) находятся \(-1\) и \(6-\sqrt{22}\approx1{,}31\). Корень \(4\) и число \(6+\sqrt{22}\) расположены правее отрезка.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10489.
Верный ответ:
а) \(x=-\frac\pi6+2\pi k\) или \(x=\pi+2\pi k\), \(k\in Z\).
б) \(-3\pi\).
Пояснение.
Перенесём корень вправо: \(\sin x=-\sqrt{\frac{2-\sqrt3}{2}(1+\cos x)}\). Следовательно, любой корень должен удовлетворять условию \(\sin x\leqslant0\).
Обозначим \(A=\frac{2-\sqrt3}{2}\). После возведения в квадрат имеем \(\sin^2x=A(1+\cos x)\). Подставим \(\sin^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)\):
\((1+\cos x)(1-\cos x-A)=0\).
Отсюда \(\cos x=-1\) или \(\cos x=1-A=\frac{\sqrt3}{2}\). Первое равенство даёт \(x=\pi+2\pi k\). Во втором случае из двух возможных углов выбираем тот, у которого синус неположителен: \(x=-\frac\pi6+2\pi k\).
На отрезке \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\) первая серия даёт \(-3\pi\). Для второй серии соседние значения равны \(-\frac{25\pi}{6}<-4\pi\) и \(-\frac{13\pi}{6}>-\frac{5\pi}{2}\), поэтому между границами отрезка корней этой серии нет.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10470.
Верный ответ:
а) \(x=2\pi k\) или \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), \(k\in Z\).
б) \(2\pi;\ \frac{8\pi}{3}\).
Пояснение.
Квадратный корень в правой части неотрицателен, поэтому необходимо \(\sin x\geqslant0\).
Возведём равенство в квадрат: \(\sin^2x=\frac{1-\cos x}{2}\). Так как \(\sin^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)\), получаем
\((1-\cos x)\left(\cos x+\frac12\right)=0\).
При \(\cos x=1\) имеем \(x=2\pi k\). При \(\cos x=-\frac12\) возможны углы во второй и третьей четвертях, но условие \(\sin x\geqslant0\) оставляет только вторую: \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\).
На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) первая серия даёт \(2\pi\), а вторая — \(\frac{8\pi}{3}\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10451.
Верный ответ:
а) \(x=2\pi k\) или \(x=-\frac\pi3+2\pi k\), \(k\in Z\).
б) \(-\frac{19\pi}{3};\ -6\pi\).
Пояснение.
Перенесём корень вправо: \(\sin x=-\sqrt{\frac32(1-\cos x)}\). Поэтому обязательно \(\sin x\leqslant0\).
После возведения в квадрат получаем \(\sin^2x=\frac32(1-\cos x)\). Используем \(\sin^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)\):
\((1-\cos x)\left(\cos x-\frac12\right)=0\).
Если \(\cos x=1\), то \(x=2\pi k\), и исходное равенство выполняется. Если \(\cos x=\frac12\), из двух возможных четвертей выбираем ту, где синус неположителен: \(x=-\frac\pi3+2\pi k\).
На отрезке \(\left[-\frac{13\pi}{2};-5\pi\right]\) первая серия даёт \(-6\pi\), а вторая — \(-\frac{19\pi}{3}\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10432.
Верный ответ:
а) \(x=-\frac\pi2+2\pi k\) или \(x=\frac\pi6+2\pi k\), \(k\in Z\).
б) \(\frac{7\pi}{2};\ \frac{25\pi}{6}\).
Пояснение.
Правая часть исходного уравнения является квадратным корнем, поэтому она неотрицательна. Следовательно, для решения необходимо \(\cos x\geqslant0\).
Возведём обе части в квадрат:
\(\cos^2x=\frac{1+\sin x}{2}\). Подставляя \(\cos^2x=1-\sin^2x\), получаем \(2\sin^2x+\sin x-1=0\), то есть \((2\sin x-1)(\sin x+1)=0\).
Если \(\sin x=-1\), то \(x=-\frac\pi2+2\pi k\); в этих точках обе части исходного уравнения равны нулю. Если \(\sin x=\frac12\), то возможны углы \(\frac\pi6\) и \(\frac{5\pi}{6}\) с учётом периода. Условию \(\cos x\geqslant0\) соответствует только \(x=\frac\pi6+2\pi k\).
На отрезке \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\) первая серия даёт \(\frac{7\pi}{2}\), а вторая — \(\frac{25\pi}{6}\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10413.
Верный ответ:
а) \(x=-\frac\pi2+2\pi k\) или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\), \(k\in Z\).
б) \(-\frac{21\pi}{4};\ -\frac{9\pi}{2}\).
Пояснение.
Перенесём квадратный корень вправо: \(\cos x=-\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2}(\sin x+1)}\). Квадратный корень неотрицателен, поэтому его значение со знаком «минус» неположительно. Следовательно, для решения обязательно \(\cos x\leqslant0\). Это условие понадобится после возведения в квадрат.
Обозначим \(A=\frac{2-\sqrt2}{2}\). После возведения в квадрат получаем \(\cos^2x=A(1+\sin x)\). Так как \(\cos^2x=(1-\sin x)(1+\sin x)\), то
\((1+\sin x)(1-\sin x-A)=0\).
Отсюда \(\sin x=-1\) или \(\sin x=1-A=\frac{\sqrt2}{2}\). В первом случае получаем \(x=-\frac\pi2+2\pi k\). Во втором из двух четвертей выбираем только вторую, где косинус неположителен: \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\).
На заданном отрезке первая серия даёт \(-\frac{9\pi}{2}\), а вторая — \(-\frac{21\pi}{4}\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10394.
Верный ответ:
а) \(x=\frac\pi2+\pi n\), \(n\in Z\).
б) \(\frac{3\pi}{2};\ \frac{5\pi}{2}\).
Пояснение.
Выразим косинус двойного угла через синус: \(\cos2x=1-2\sin^2x\). Тогда
\(2\sin^4x+3(1-2\sin^2x)+1=0\),
\(2\sin^4x-6\sin^2x+4=0\),
\(2(\sin^2x-1)(\sin^2x-2)=0\).
Равенство \(\sin^2x=2\) невозможно, поскольку \(\sin^2x\leqslant1\). Поэтому \(\sin^2x=1\), то есть \(\sin x=\pm1\), и все решения записываются формулой \(x=\frac\pi2+\pi n\).
На отрезке \([\pi;3\pi]\) этой формуле соответствуют значения при \(n=1\) и \(n=2\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10375.
Верный ответ:
а) \(x=\pi k\) или \(x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), \(k\in Z\).
б) \(2\pi;\ \frac{17\pi}{6};\ 3\pi;\ \frac{19\pi}{6}\).
Пояснение.
Основания степеней положительны, поэтому преобразуем обе части к основанию \(2\):
\((16^{\sin x})^{\cos x}=2^{4\sin x\cos x}\), а \(\left(\frac14\right)^{\sqrt3\sin x}=2^{-2\sqrt3\sin x}\).
При одинаковом основании равны показатели:
\(4\sin x\cos x=-2\sqrt3\sin x\), или \(2\sin x(2\cos x+\sqrt3)=0\).
Отсюда либо \(\sin x=0\), то есть \(x=\pi k\), либо \(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\), что даёт \(x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k\).
На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) первая серия даёт \(2\pi\) и \(3\pi\), а две серии для косинуса — \(\frac{17\pi}{6}\) и \(\frac{19\pi}{6}\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10356.
Верный ответ:
а) \(x=\frac\pi6+2\pi k\), \(k\in Z\).
б) \(\frac{13\pi}{6}\).
Пояснение.
Поскольку квадратный корень стоит в знаменателе, недостаточно условия \(7\sin x\geqslant0\): знаменатель ещё не должен быть равен нулю. Поэтому обязательно \(\sin x>0\).
Для равенства дроби нулю её числитель должен обращаться в ноль: \(2\cos x-\sqrt3=0\), откуда \(\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\). Формально это даёт \(x=\pm\frac\pi6+2\pi k\).
В точках \(-\frac\pi6+2\pi k\) синус отрицателен, поэтому корень в знаменателе не определён. В точках \(\frac\pi6+2\pi k\) синус положителен, и эти значения подходят.
На отрезке \(\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]\) условие выполняется только при \(k=1\), что даёт \(\frac{13\pi}{6}\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10337.
