Вверх

Линия заданий 14, ЕГЭ по математике профильной

10110. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Точка M - середина ребра B1C1, точка N лежит на ребре AC, причём AN : NC = 15 : 1. Катет AC в четыре раза больше бокового ребра AA1 призмы.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна прямой CA1.
б) Найдите угол между прямой MN и плоскостью основания A1B1C1, если \( \cos \angle CBA = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \).

б) \( arctg\frac{{4\sqrt {17} }}{{17}} \)

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10110.

10129. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Точка M - середина ребра B1C1, точка N лежит на ребре AC, причём AN : NC = 8 : 1. Катет AC втрое больше бокового ребра AA1 призмы.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна прямой CA1.
б) Найдите угол между прямой MN и плоскостью основания A1B1C1, если \( \sin \angle CBA = \frac{3}{5} \).

б) \( arctg\frac{{3\sqrt {37} }}{{37}} \)

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10129.

10148. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Точка M - середина ребра B1C1, точка N лежит на ребре AC, причём AN : NC = 3 : 1. Катет AC вдвое больше бокового ребра AA1 призмы.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна прямой CA1.
б) Найдите угол между прямой MN и плоскостью основания A1B1C1, если \( \sin \angle CBA = \frac{2}{{\sqrt 7 }} \).

б) 45°

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10148.

10167. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 3 и диагональю BD = 5. Все боковые рёбра пирамиды равны 3. На отрезке BD отмечена точка E, а на ребре AS - точка F так, что SF = BE = 2.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.
а) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

б) \( \frac{{3\sqrt {11} }}{{20}} \)

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10167.

10186. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 6 и диагональю BD = 11. Все боковые рёбра пирамиды равны 6. На отрезке BD отмечена точка E, а на ребре AS - точка F так, что SF = BE = 5.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.
а) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

б) \( \frac{{3\sqrt {23} }}{{11}} \)

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10186.

10205. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC = 20, АС = 32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка P принадлежит ребру BB1, причём BP : PB1 = 1 : 3.
а) Пусть M - середина A1C1. Докажите, что прямые MP и AC перпендикулярны.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями A1B1C1 и ACP.

б) 0,5

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10205.

10224. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и AE и вершину C, делит ребро SB в отношении 1 : 3, считая от вершины B.
б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.

б) 3 : 4

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10224.

10243. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 6, точка M - середина ребра BC, точка O - центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды.
а) Найдите отношение, в котором плоскость CMF делит отрезок SA; считая от вершины S.
б) Найдите угол между плоскостью MCF и плоскостью ABC.

а) 1 : 6

б) \( arctg\frac{{4\sqrt 2 }}{3} \)

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10243.

10262. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L - середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен \( 2\sqrt {\frac{2}{5}} \).
а) Пусть O - центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.
б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

б) 192

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10262.

10281. Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер AB, AC и SA, отсекает от пирамиды SABC пирамиду, объём которой в 8 раз меньше объёма пирамиды SABC.
б) Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости, если SA = \( 2\sqrt 5 \) ‚ AB = AC = 10, BC = \( 4\sqrt 5 \) .

2

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10281.

Для вас приятно генерировать тесты, создавайте их почаще