Решайте задания по одному, проверяйте себя сразу и открывайте подсказки там, где нужно.
Верный ответ: б) \(\arctan\frac{3\sqrt{37}}{37}\).
а) Пусть \(AA_1=h\), тогда \(AC=3h\). Возьмём \(C(0;0;0)\), \(A(3h;0;0)\), \(B(0;b;0)\). Из \(AN:NC=8:1\) получаем \(NC=\frac{AC}{9}=\frac h3\), поэтому \(N(\frac h3;0;0)\), а середина \(M\) ребра \(B_1C_1\) имеет координаты \(M(0;\frac b2;h)\).
Тогда \(\overrightarrow{MN}=(\frac h3;-\frac b2;-h)\), \(\overrightarrow{CA_1}=(3h;0;h)\), и \(\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{CA_1}=h^2-h^2=0\). Поэтому прямые перпендикулярны.
б) Условие \(\sin\angle CBA=\frac35\) даёт отношение катетов \(AC:BC=3:4\). Следовательно, \(BC=4h\). Длина проекции \(MN\) на основание равна \(\sqrt{(\frac h3)^2+(2h)^2}=\frac{h\sqrt{37}}3\), а вертикальная составляющая равна \(h\). Поэтому \(\tan\alpha=\frac{3}{\sqrt{37}}=\frac{3\sqrt{37}}{37}\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10129.
Верный ответ: б) \(\arctan\frac{4\sqrt{17}}{17}\).
а) Обозначим \(AA_1=h\). Тогда \(AC=4h\). Введём координаты: \(C(0;0;0)\), \(A(4h;0;0)\), \(B(0;b;0)\), а верхнее основание расположим на высоте \(h\). Так как \(AN:NC=15:1\), то \(NC=\frac{AC}{16}=\frac h4\), поэтому \(N(\frac h4;0;0)\). Точка \(M\) — середина \(B_1C_1\), значит \(M(0;\frac b2;h)\).
Направляющие векторы можно взять такими: \(\overrightarrow{MN}=(\frac h4;-\frac b2;-h)\) и \(\overrightarrow{CA_1}=(4h;0;h)\). Их скалярное произведение равно \(h^2-h^2=0\), следовательно, \(MN\perp CA_1\).
б) Из \(\cos\angle CBA=\frac1{\sqrt5}\) следует \(AC:BC=2:1\), поэтому \(BC=2h\). Проекция \(MN\) на плоскость основания имеет длину \(\sqrt{(\frac h4)^2+(\frac{BC}{2})^2}=\frac{h\sqrt{17}}4\), а перпендикулярная основанию составляющая равна \(h\). Значит, для искомого угла \(\alpha\): \(\tan\alpha=\frac{h}{h\sqrt{17}/4}=\frac{4\sqrt{17}}{17}\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10110.
