Решайте задания по одному, проверяйте себя сразу и открывайте подсказки там, где нужно.
Верный ответ: \(\left(-3;-\frac{74}{25}\right]\).
Решение.
Основание внешнего логарифма \(\sqrt[6]{4}=2^{\frac13}\gt 1\), поэтому внешняя логарифмическая функция возрастает. Получаем
\( \log_{\frac15}(x+3)\ge\left(2^{\frac13}\right)^3=2\).
Для внутреннего логарифма нужно \(x+3\gt 0\). Поскольку его основание \(\frac15\lt 1\), при переходе к аргументу знак меняется:
\( 0\lt x+3\le\left(\frac15\right)^2=\frac1{25}\).
После вычитания \(3\) имеем \(-3\lt x\le-\frac{74}{25}\). Внутренний логарифм здесь не меньше \(2\), поэтому условие положительности аргумента внешнего логарифма выполнено автоматически.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10510.
Верный ответ: \(\left(-2;-\frac{63}{32}\right]\).
Решение.
Основание внешнего логарифма равно \(\sqrt[4]{25}=\sqrt5\gt 1\), поэтому его функция возрастает. Неравенство равносильно
\( \log_{\frac12}(x+2)\ge(\sqrt5)^2=5\).
Внутренний логарифм требует \(x+2\gt 0\). Его основание \(\frac12\lt 1\), поэтому при переходе от логарифма к аргументу направление неравенства меняется:
\( 0\lt x+2\le\left(\frac12\right)^5=\frac1{32}\).
Вычитая \(2\), получаем \(-2\lt x\le-\frac{63}{32}\). На этом промежутке внутренний логарифм не меньше \(5\), поэтому он положителен и может служить аргументом внешнего логарифма.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10491.
Верный ответ: \(\left(-\infty;-3\right)\cup\left(1;\frac32\right)\).
Решение.
По ОДЗ \(x\ne1\). Представим обе части как степени числа \(5\):
\( \sqrt{625^{\frac{4-2x}{x-1}}}=5^{\frac{8-4x}{x-1}}\),
\( \sqrt[3]{125^{2x+1}}=5^{2x+1}\).
Поскольку \(5\gt 1\), сравниваем показатели:
\( \frac{8-4x}{x-1}\gt 2x+1\), или \(\frac{9-3x-2x^2}{x-1}\gt 0\).
Числитель раскладывается как \(-(2x-3)(x+3)\). Критические точки: \(-3\), \(1\), \(\frac32\). Метод интервалов показывает, что дробь положительна при \(x\lt -3\) и при \(1\lt x\lt \frac32\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10472.
Верный ответ: \(\left(\frac13;1\right)\cup\left(3;+\infty\right)\).
Решение.
По ОДЗ \(x\ne1\). Приведём обе части к степеням двойки:
\( \sqrt[6]{64^{3x-1}}=2^{3x-1}\),
\( \sqrt{\left(\frac1{16}\right)^{\frac{1-3x}{x-1}}}=2^{\frac{6x-2}{x-1}}\).
Основание \(2\gt 1\), поэтому сравниваем показатели:
\( 3x-1\gt \frac{6x-2}{x-1}\), или \(\frac{3x^2-10x+3}{x-1}\gt 0\).
Числитель равен \((3x-1)(x-3)\). Критические точки \(\frac13\), \(1\), \(3\) делят числовую прямую на интервалы. Дробь положительна при \(\frac13\lt x\lt 1\) и при \(x\gt 3\); точки равенства не включаются, а \(x=1\) запрещён ОДЗ.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10453.
Верный ответ: \(\left(-5;-1\right)\cup\left(\frac32;+\infty\right)\).
Решение.
По ОДЗ \(x\ne-1\). Выразим обе части через основание \(3\):
\( \sqrt[3]{27^{2x-3}}=3^{2x-3}\),
\( \sqrt{81^{\frac{6-4x}{x+1}}}=3^{\frac{12-8x}{x+1}}\).
Так как \(3\gt 1\), получаем неравенство для показателей:
\( 2x-3\gt \frac{12-8x}{x+1}\), или \(\frac{2x^2+7x-15}{x+1}\gt 0\).
Числитель раскладывается как \((2x-3)(x+5)\). Критические точки: \(-5\), \(-1\), \(\frac32\). Метод интервалов даёт положительные значения дроби на \((-5;-1)\) и \(\left(\frac32;+\infty\right)\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10434.
Верный ответ: \(\left(-\infty;-1\right)\cup\left(-\frac25;0\right)\).
Решение.
Знаменатель в показателе требует \(x\ne0\). Приведём обе части к основанию \(2\):
\( \sqrt[3]{8^{5x+3}}=2^{5x+3}\),
\( \sqrt{\left(\frac1{16}\right)^{\frac{2x+1}{x}}}=2^{-4-\frac2x}\).
Поскольку \(2\gt 1\), сравниваем показатели:
\( 5x+3\lt -4-\frac2x\), то есть \(\frac{5x^2+7x+2}{x}\lt 0\).
Числитель равен \((5x+2)(x+1)\). По методу интервалов дробь отрицательна при \(x\lt -1\) и при \(-\frac25\lt x\lt 0\). Точки \(-1\) и \(-\frac25\) не включаются из-за строгого знака, а \(0\) исключается по ОДЗ.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10415.
Верный ответ: \(\left(-\infty;-\frac14\right)\cup\left(0;2\right)\).
Решение.
По ОДЗ \(x\ne0\). Представим обе части как степени двойки:
\( \sqrt[5]{32^{4x-3}}=2^{4x-3}\),
\( \sqrt{16^{\frac{2x+1}{x}}}=2^{4+\frac2x}\).
Основание \(2\gt 1\), поэтому сравниваем показатели:
\( 4x-3\lt 4+\frac2x\), или \(\frac{4x^2-7x-2}{x}\lt 0\).
Числитель раскладывается: \(4x^2-7x-2=(4x+1)(x-2)\). Критические точки равны \(-\frac14\), \(0\) и \(2\). Метод интервалов даёт отрицательные значения дроби при \(x\lt -\frac14\) и \(0\lt x\lt 2\). Все границы исключаются, поскольку неравенство строгое, а \(x=0\) не входит в ОДЗ.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10396.
Верный ответ: \(\left[-1;0\right)\).
Решение.
По ОДЗ нужны \(x^2-2x\gt 0\) и \(2-x\gt 0\). Первое условие даёт \(x\lt 0\) или \(x\gt 2\), второе — \(x\lt 2\). Поэтому ОДЗ сокращается до \(x\lt 0\).
Используем свойство \(a^{\ln b}=b^{\ln a}\) для положительных \(a\) и \(b\):
\( 7^{\ln(x^2-2x)}=(x^2-2x)^{\ln7}\).
Так как \(\ln7\gt 0\), функция \(u^{\ln7}\) возрастает при \(u\gt 0\). Поэтому сравниваем основания:
\( x^2-2x\le2-x\), или \(x^2-x-2\le0\).
Получаем \((x-2)(x+1)\le0\), то есть \(-1\le x\le2\). После пересечения с ОДЗ \(x\lt 0\) остаётся нужный промежуток.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10377.
Верный ответ: \(\left(-\infty;-\sqrt2\right)\cup\left(-\sqrt2;-1\right]\cup\{0\}\cup\left[1;\sqrt2\right)\cup\left(\sqrt2;+\infty\right)\).
Решение.
Введём замену \(t=2^{2-x^2}-1\). Знаменатель не должен обращаться в нуль, поэтому \(t\ne0\), то есть \(x\ne\pm\sqrt2\).
Неравенство принимает вид
\( \frac3{t^2}-\frac4t+1=\frac{(t-1)(t-3)}{t^2}\ge0\).
Поскольку \(t^2\gt 0\), требуется \(t\le1\) или \(t\ge3\).
Условие \(t\le1\) даёт \(2^{2-x^2}\le2\), следовательно, \(x^2\ge1\), то есть \(|x|\ge1\). Условие \(t\ge3\) даёт \(2^{2-x^2}\ge4\), откуда \(x^2\le0\) и потому \(x=0\). Из полученного множества исключаем точки \(x=\pm\sqrt2\), в которых исходное выражение не определено.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10358.
Верный ответ: \(\left[0;\log_2 3\right]\).
Решение.
Положим \(t=2^x\gt 0\). Тогда \(2^{-x}=\frac1t\), и неравенство принимает вид
\( t+\frac3t\le4\).
Умножаем на положительное \(t\), поэтому знак неравенства не меняется:
\( t^2-4t+3\le0\), или \((t-1)(t-3)\le0\).
Отсюда \(1\le t\le3\). Так как \(t=2^x\) и функция \(2^x\) возрастает, получаем \(2^0\le2^x\le3\), то есть \(0\le x\le\log_2 3\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10339.
