Решайте задания по одному, проверяйте себя сразу и открывайте подсказки там, где нужно.
Верный ответ: \(\left[2;+\infty\right)\).
Решение.
Для двух логарифмов слева нужны условия \(x\gt 0\) и \(x^2+3x-9\gt 0\). При \(x\gt 0\) второе условие даёт \(x\gt \frac{3\sqrt5-3}{2}\).
Объединим логарифмы слева:
\( \log_3\frac{x^2+3x-9}{x}\le\log_3\left(x^2+3x+\frac1x-10\right)\).
Основание \(3\gt 1\), поэтому сравниваем аргументы. После переноса и умножения на \(x\gt 0\) получаем
\( x^3+2x^2-13x+10\ge0\), то есть \((x-1)(x-2)(x+5)\ge0\).
При \(x\gt 0\) это даёт \(0\lt x\le1\) или \(x\ge2\). Первая часть не удовлетворяет условию \(x\gt \frac{3\sqrt5-3}{2}\), поэтому остаётся \(x\ge2\). На этих значениях правый аргумент не меньше положительного левого аргумента, значит его положительность также выполнена.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10320.
Верный ответ: \(\left[2;4\right)\).
Решение.
По ОДЗ должны быть положительны оба аргумента логарифмов: \(4-x\gt 0\) и \(16-x^2\gt 0\). Отсюда \(-4\lt x\lt 4\).
Представим единицу как \(1=\log_6 6\) и объединим логарифмы в левой части:
\( \log_6\bigl(6(4-x)\bigr)\le\log_6(16-x^2)\).
Основание \(6\gt 1\), поэтому сравниваем аргументы без изменения знака:
\( 6(4-x)\le16-x^2\), или \(x^2-6x+8\le0\).
Получаем \((x-2)(x-4)\le0\), то есть \(2\le x\le4\). Точка \(4\) не входит из-за ОДЗ.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10301.
Верный ответ: \(\left(-4;-3\right)\cup\left(-1;3\right)\).
Решение.
Обозначим основание логарифма через \(a=\frac{25-x^2}{16}\), а его аргумент через \(b=\frac{24+2x-x^2}{14}\). Из условий \(a\gt 0\), \(a\ne1\), \(b\gt 0\) получаем ОДЗ: \(-4\lt x\lt 5\), \(x\ne-3\), \(x\ne3\).
1. Основание \(a\gt 1\). Это происходит при \(-3\lt x\lt 3\). Логарифмическая функция возрастает, поэтому \(\log_a b\gt 1\) равносильно \(b\gt a\). После приведения дробей получаем \(x^2-16x-17\lt 0\), то есть \(-1\lt x\lt 17\). С учётом рассматриваемого случая остаётся \(-1\lt x\lt 3\).
2. Основание \(0\lt a\lt 1\). На ОДЗ это интервалы \((-4;-3)\) и \((3;5)\). Теперь логарифмическая функция убывает, поэтому требуется \(b\lt a\), откуда \(x^2-16x-17\gt 0\), то есть \(x\lt -1\) или \(x\gt 17\). Пересечение с данным случаем даёт только \((-4;-3)\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10282.
Верный ответ: \(\left[-2;2\right]\).
Решение.
Положим \(t=2^x\gt 0\). Тогда \(4^{x+1}=4\cdot4^x=4t^2\), поэтому неравенство принимает вид
\( 4t^2-17t+4\le0\).
Корни квадратного трёхчлена равны \(\frac14\) и \(4\), следовательно, \(\frac14\le t\le4\). Возвращаемся к \(t=2^x\):
\( 2^{-2}\le2^x\le2^2\). Так как функция \(2^x\) возрастает, получаем \(-2\le x\le2\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10263.
Верный ответ: \(\left(2;3\right]\).
Решение.
Для существования логарифмов нужны положительное основание, основание не равное единице и положительные аргументы. Условие \(x-2\gt 0\) сразу даёт \(x\gt 2\); при таких \(x\) остальные требования ОДЗ также выполнены.
Если \(x\gt 2\), то основание логарифма больше единицы, а \(x+2\gt x\). Поэтому \(\log_x(x+2)\gt 1\gt 0\). Второй множитель всегда положителен, значит произведение будет неположительным только тогда, когда
\( \log_x(x-2)\le0\).
При основании \(x\gt 1\) это равносильно \(0\lt x-2\le1\), откуда \(2\lt x\le3\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10244.
Верный ответ: \(\left(-\infty;2\right]\cup\left[3;+\infty\right)\).
Решение.
Сделаем замену \(t=2^x\), где \(t\gt 0\). Тогда \(4^x=t^2\), а \(3\cdot2^{x+2}=12t\). Получаем квадратное неравенство
\( t^2-12t+32\ge0\), то есть \((t-4)(t-8)\ge0\).
Произведение неотрицательно при \(t\le4\) или \(t\ge8\). Поскольку \(2^x\) возрастает, условия \(2^x\le4=2^2\) и \(2^x\ge8=2^3\) дают соответственно \(x\le2\) и \(x\ge3\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10225.
Верный ответ: \(\left(-\infty;1\right]\cup\left(2;3\right)\).
Решение.
По ОДЗ \(x\ne2\) и \(x\ne3\). Перенесём \(x\) в левую часть:
\( \frac{x^2-2x-1}{x-2}-x+\frac2{x-3}\le0\).
Первые два слагаемых дают \(-\frac1{x-2}\), поэтому
\( -\frac1{x-2}+\frac2{x-3}=\frac{x-1}{(x-2)(x-3)}\le0\).
Критические точки: \(1\) — нуль числителя, \(2\) и \(3\) — нули знаменателя. Метод интервалов показывает, что дробь неположительна при \(x\le1\) и при \(2\lt x\lt 3\). Точка \(1\) включается, а \(2\) и \(3\) исключаются по ОДЗ.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10206.
Верный ответ: \(x\lt \log_{\frac5{\sqrt3}}\frac5{87}\).
Решение.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
\( 5^{x+2}+5^{x+1}-5^x=5^x(25+5-1)=29\cdot5^x\),
\( 3^{\frac x2+1}-3^{\frac x2}-3^{\frac x2-1}=3^{\frac x2-1}(9-3-1)=\frac53(\sqrt3)^x\).
Получаем \(29\cdot5^x\lt \frac53(\sqrt3)^x\). После деления на положительное число \(29(\sqrt3)^x\):
\( \left(\frac5{\sqrt3}\right)^x\lt \frac5{87}\).
Так как \(\frac5{\sqrt3}\gt 1\), функция \(\left(\frac5{\sqrt3}\right)^x\) возрастает, поэтому \(x\) должен быть меньше логарифма правой части по этому основанию.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10187.
Верный ответ: \(x\lt \log_{\frac5{\sqrt6}}\frac{1650}{1033}\).
Решение.
Вынесем общие степенные множители:
\( 5^{x+3}-5^{x-2}-5^x=5^{x-2}(5^5-1-5^2)=3099\cdot5^{x-2}\),
\( 6^{\frac x2+3}-6^{\frac x2+2}+3\cdot6^{\frac x2+1}=6^{\frac x2+1}(6^2-6+3)=33\cdot6^{\frac x2+1}\).
Поэтому неравенство равносильно \(\frac{3099}{25}\cdot5^x\lt 198\cdot(\sqrt6)^x\). Делим на положительное число \(\frac{3099}{25}(\sqrt6)^x\):
\( \left(\frac5{\sqrt6}\right)^x\lt \frac{1650}{1033}\).
Основание \(\frac5{\sqrt6}\gt 1\), поэтому показательная функция возрастает и знак неравенства при переходе к логарифму не меняется.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10168.
Верный ответ: \(\left(-\infty;-1\right]\cup\left[2;\log_{\frac23}\frac{12}{35}\right)\).
Решение.
Сначала найдём ОДЗ. После деления выражения под логарифмом на \(9^x\gt 0\) условие его положительности принимает вид \(\frac{35}{18}\left(\frac23\right)^x-\frac23\gt 0\), то есть \(\left(\frac23\right)^x\gt \frac{12}{35}\). Поскольку основание \(\frac23\lt 1\), это означает \(x\lt \log_{\frac23}\frac{12}{35}\).
Запишем \(2x=\log_2 2^{2x}\). Основание логарифма больше единицы, поэтому сравниваем аргументы. После деления на \(9^x\) и замены \(t=\left(\frac23\right)^x\gt 0\) получаем
\( t^2-\frac{35}{18}t+\frac23\ge0\). Корни равны \(\frac49\) и \(\frac32\), поэтому \(t\le\frac49\) или \(t\ge\frac32\).
Функция \(\left(\frac23\right)^x\) убывает: из первого условия следует \(x\ge2\), а из второго — \(x\le-1\). Пересечение с ОДЗ ограничивает правую ветвь сверху значением \(\log_{\frac23}\frac{12}{35}\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10149.
