Решайте задания по одному, проверяйте себя сразу и открывайте подсказки там, где нужно.
Верный ответ: \(\left(\log_{\frac32}\frac{18}{35};-1\right]\cup\left[2;+\infty\right)\).
Решение.
По ОДЗ выражение под логарифмом положительно. Разделив его на \(4^x\gt 0\), получаем \(\frac{35}{12}\left(\frac32\right)^x-\frac32\gt 0\), поэтому \(\left(\frac32\right)^x\gt \frac{18}{35}\).
Так как \(2x=\log_3 3^{2x}\) и основание \(3\gt 1\), можно сравнить аргументы:
\( 3^{2x}\ge\frac{35}{2}\cdot6^{x-1}-3\cdot4^{x-\frac12}\).
Делим на \(4^x\) и обозначаем \(t=\left(\frac32\right)^x\):
\( t^2-\frac{35}{12}t+\frac32\ge0\), или \((3t-2)(4t-9)\ge0\).
Следовательно, \(t\le\frac23\) или \(t\ge\frac94\). Функция \(\left(\frac32\right)^x\) возрастает, значит \(x\le-1\) или \(x\ge2\). С учётом ОДЗ в первой части остаются только значения \(x\gt \log_{\frac32}\frac{18}{35}\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10130.
Верный ответ: \(\left(\log_{\frac{5}{2}}\frac{10}{29};-1\right]\cup\left[1;+\infty\right)\).
Решение.
Сначала учтём ОДЗ: выражение под логарифмом должно быть положительным. После деления на \(4^x\gt 0\) получаем \(\frac{29}{10}\left(\frac52\right)^x-1\gt 0\), то есть \(\left(\frac52\right)^x\gt \frac{10}{29}\).
Запишем \(2x=\log_5 5^{2x}\). Так как основание \(5\gt 1\), исходное неравенство равносильно \(5^{2x}\ge 29\cdot10^{x-1}-4^x\). Делим на \(4^x\gt 0\) и вводим \(t=\left(\frac52\right)^x\gt 0\):
\( t^2-\frac{29}{10}t+1\ge0\), то есть \(\left(t-\frac25\right)\left(t-\frac52\right)\ge0\).
Отсюда \(t\le\frac25\) или \(t\ge\frac52\). Поскольку функция \(\left(\frac52\right)^x\) возрастает, получаем \(x\le-1\) или \(x\ge1\). Первую часть пересекаем с ОДЗ \(x\gt \log_{\frac52}\frac{10}{29}\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10111.
