Линия заданий 16, Тесты ЕГЭ 2027 по математике профильной

10322. 15 января планируется взять кредит в банке на 5 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Верный ответ: 103.

Пусть сумма кредита равна \(S\). За 5 месяцев долг уменьшается равными частями, поэтому перед начислением процентов он последовательно равен
\(S,\ \frac45S,\ \frac35S,\ \frac25S,\ \frac15S\).
Сумма этих остатков равна \(3S\).

Процентная ставка составляет 1% в месяц, значит, за весь срок начислят
\(0{,}01\cdot3S=0{,}03S\).
Кроме процентов заёмщик возвращает сам кредит \(S\), поэтому общая сумма выплат равна \(1{,}03S\), то есть 103% от суммы кредита.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10322.

10303. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором - 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором - 300 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу - по цене 13 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Верный ответ: 69 000 000 рублей.

Определим выручку с одного гектара.

На первом поле:
картофель даёт \(300\cdot10\,000=3\,000\,000\) руб. с гектара;
свёкла — \(200\cdot13\,000=2\,600\,000\) руб. с гектара.
Поэтому первое поле выгоднее полностью отвести под картофель.

На втором поле:
картофель даёт \(200\cdot10\,000=2\,000\,000\) руб. с гектара;
свёкла — \(300\cdot13\,000=3\,900\,000\) руб. с гектара.
Поэтому второе поле нужно полностью занять свёклой.

При постоянной урожайности смешанная посадка дала бы лишь среднее между этими доходами и не превысила бы более выгодный вариант. Максимальная выручка равна
\(10\cdot3\,000\,000+10\cdot3\,900\,000=69\,000\,000\) рублей.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10303.

10284. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи \(x\) кг алюминия в день требуется \(x^2\) человеко-часов труда, а для добычи \(y\) кг никеля в день требуется \(y^2\) человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Верный ответ: 240 кг.

В каждой области имеется \(100\cdot10=1000\) человеко-часов труда в сутки.

Пусть первая область добывает \(a\) кг алюминия и \(n\) кг никеля. На это потребуется \(\frac{a}{0{,}3}+\frac{n}{0{,}1}\) часов, поэтому
\(\frac{a}{0{,}3}+\frac{n}{0{,}1}\leqslant1000\), или \(a+3n\leqslant300\).

Пусть вторая область добывает \(x\) кг алюминия и \(y\) кг никеля. Для неё выполняется \(x^2+y^2\leqslant1000\). Если завод произведёт \(3t\) кг сплава, ему понадобятся \(2t\) кг алюминия и \(t\) кг никеля. После поставки второй области первая должна обеспечить недостающее количество металлов, поэтому
\((2t-x)+3(t-y)\leqslant300\),
то есть \(5t\leqslant300+x+3y\).

Оценим вклад второй области:
\((x+3y)^2\leqslant(1^2+3^2)(x^2+y^2)\leqslant10\cdot1000\).
Следовательно, \(x+3y\leqslant100\), а значит \(5t\leqslant400\) и \(t\leqslant80\). Поэтому сплава нельзя получить больше \(3t=240\) кг.

Эта граница достижима. Вторая область может добыть 10 кг алюминия и 30 кг никеля: \(10^2+30^2=1000\). Тогда первая область добывает 150 кг алюминия и 50 кг никеля, причём \(150+3\cdot50=300\). Всего получается 160 кг алюминия и 80 кг никеля — ровно в отношении \(2:1\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10284.

10265. 15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на \(r\)% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 15% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите \(r\).

Верный ответ: 3.

Пусть сумма кредита равна \(S\). Поскольку за 9 месяцев долг уменьшается равными частями, перед начислением процентов его значения последовательно равны
\(S,\ \frac{8}{9}S,\ \frac{7}{9}S,\ldots,\frac{1}{9}S\).
Их сумма составляет
\(\frac{9+8+\ldots+1}{9}S=5S\).

Значит, за весь срок начисленные проценты равны \(\frac{r}{100}\cdot5S\). По условию общая переплата составляет 15% от кредита, то есть \(0{,}15S\):
\(\frac{5r}{100}S=0{,}15S\).
Сокращаем на \(S\) и получаем \(5r=15\), поэтому \(r=3\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10265.

10246. 31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 11% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 11%), затем Василий переводит в банк 3 696 300 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Верный ответ: 6 330 000 рублей.

Пусть Василий взял \(S\) рублей, а ежегодный платёж равен \(P=3\,696\,300\) рублей.

После начисления 11% и первого платежа долг станет равен
\(1{,}11S-P\).
Через год банк снова увеличит этот остаток на 11%, после чего второй такой же платёж должен полностью закрыть долг:
\(1{,}11(1{,}11S-P)-P=0\).

Раскрывая скобки, получаем
\(1{,}2321S=2{,}11P\).
Подставляем величину платежа:
\(S=\frac{2{,}11\cdot3\,696\,300}{1{,}2321}=6\,330\,000\) рублей.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10246.

10227. Кредит планируют взять 15 января в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 2466 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?

Верный ответ: 2 034 000 рублей.

Пусть сумма кредита равна \(S\). За 24 месяца основной долг уменьшается равномерно, то есть ежемесячно на \(\frac{S}{24}\).

В первые 12 месяцев возвращается \(\frac{S}{2}\) основного долга. Проценты начисляются на суммы от \(S\) до \(\frac{13}{24}S\), их сумма равна \(9{,}25S\). Поэтому выплаты первого года составляют
\(\frac{S}{2}+0{,}02\cdot9{,}25S=0{,}685S\).
По условию \(0{,}685S=2\,466\,000\), откуда \(S=3\,600\,000\) рублей.

В последние 12 месяцев снова погашается \(\frac{S}{2}\) основного долга, но проценты начисляются уже на меньшие остатки:
\(\frac{12}{24}S,\ \frac{11}{24}S,\ldots,\frac{1}{24}S\).
Их сумма равна \(\frac{12+11+\ldots+1}{24}S=3{,}25S\). Значит, выплаты за последние 12 месяцев составят
\(\frac{S}{2}+0{,}02\cdot3{,}25S=0{,}565S=2\,034\,000\) рублей.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10227.

10208. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором - 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором - 400 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу - по цене 6000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Верный ответ: 44 000 000 рублей.

Сравним доход с одного гектара для каждой культуры.

Первое поле:
картофель: \(400\cdot5000=2\,000\,000\) руб. с гектара;
свёкла: \(300\cdot6000=1\,800\,000\) руб. с гектара.
Здесь выгоднее занять всё поле картофелем.

Второе поле:
картофель: \(300\cdot5000=1\,500\,000\) руб. с гектара;
свёкла: \(400\cdot6000=2\,400\,000\) руб. с гектара.
Здесь выгоднее выращивать только свёклу.

Деление поля между культурами не увеличит доход: каждый гектар следует отдать той культуре, которая именно на этом поле приносит больше денег. Поэтому максимальный доход равен
\(10\cdot2\,000\,000+10\cdot2\,400\,000=44\,000\,000\) рублей.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10208.

10189. Кредит планируют взять 15 января в банке на 20 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за первые 10 месяцев нужно выплатить банку 1179 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Верный ответ: 1 800 000 рублей.

Пусть первоначальная сумма кредита равна \(S\). Так как долг за 20 месяцев уменьшается на одну и ту же величину, ежемесячно погашается \(\frac{S}{20}\) основного долга. За первые 10 месяцев будет возвращена половина кредита: \(\frac{S}{2}\).

Проценты в первые десять месяцев начисляются на долги
\(S,\ \frac{19}{20}S,\ \frac{18}{20}S,\ldots,\frac{11}{20}S\).
Сумма этих величин равна
\(\frac{20+19+\ldots+11}{20}S=7{,}75S\).
Следовательно, проценты составят \(0{,}02\cdot7{,}75S=0{,}155S\).

За первые 10 месяцев нужно выплатить \(0{,}5S+0{,}155S=0{,}655S\). По условию это 1 179 000 рублей, поэтому \(S=\frac{1\,179\,000}{0{,}655}=1\,800\,000\) рублей.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10189.

10170. Кредит планируют взять 15 января в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 1370 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Верный ответ: 2 000 000 рублей.

Пусть сумма кредита равна \(S\). За 24 месяца долг должен уменьшаться равными частями, поэтому каждый месяц погашается \(\frac{S}{24}\) основного долга.

За первые 12 месяцев будет возвращено \(12\cdot\frac{S}{24}=\frac{S}{2}\) основного долга. Проценты в эти месяцы начисляются последовательно на суммы
\(S,\ \frac{23}{24}S,\ \frac{22}{24}S,\ldots,\frac{13}{24}S\).
Их сумма равна
\(\frac{24+23+\ldots+13}{24}S=9{,}25S\).
Значит, начисленные за первые 12 месяцев проценты составят \(0{,}02\cdot9{,}25S=0{,}185S\).

Все выплаты за этот период равны
\(0{,}5S+0{,}185S=0{,}685S\).
По условию \(0{,}685S=1\,370\,000\), поэтому \(S=2\,000\,000\) рублей.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10170.

10151. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 9 млн руб.

Верный ответ: 4 млн рублей.

Обозначим сумму кредита через \(S\) млн рублей. В конце каждого из первых трёх лет выплачиваются только проценты — по \(0{,}2S\), поэтому сумма этих платежей равна \(0{,}6S\).

Два последних платежа одинаковы. Если каждый из них равен \(x\), то после первого из них долг составляет \(1{,}2S-x\), а после следующего начисления процентов второй платёж полностью закрывает кредит:
\(1{,}2(1{,}2S-x)-x=0\).
Отсюда \(x=\frac{36}{55}S\).

Общая выплата составляет
\(0{,}6S+2x=\frac{21}{11}S\).
По условию \(\frac{21}{11}S<9\), значит \(S<\frac{33}{7}\approx4{,}71\). Поскольку кредит выдаётся на целое число миллионов рублей, наибольшая возможная сумма равна 4 млн рублей.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10151.

Для вас приятно генерировать тесты, создавайте их почаще

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Линия заданий 16, ЕГЭ 2027 по математике профильной