Линия заданий 18, ЕГЭ 2027 по математике профильной

Верный ответ: \(0\le a\le10\).

Разложим многочлен:
\[x^4-4x^3-6x^2+4ax+6a-a^2=(x^2-a)(x^2-4x-6+a).\]
Отсюда
\[x^2=a\quad\text{или}\quad x^2-4x-6+a=0.\]
Первое уравнение имеет действительные корни при \(a\ge0\). Для второго дискриминант равен
\[D=16-4(a-6)=4(10-a),\]
поэтому его корни существуют при \(a\le10\). При \(0При \(a=0\) первое уравнение даёт один корень \(x=0\), а второе — два других. При \(a=10\) второе уравнение имеет один корень \(x=2\), а первое — два других. Поэтому обе границы входят в ответ. За пределами \([0;10]\) действительные корни имеет только один из множителей.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10133.

Верный ответ: \(0
Левую часть можно разложить на множители:
\[x^4+4x^3+4ax-16x-16+8a-a^2=(x^2+a-4)\bigl((x+2)^2-a\bigr).\]
Поэтому исходное уравнение равносильно совокупности
\[x^2=4-a\quad\text{или}\quad (x+2)^2=a.\]
Первое уравнение имеет действительные корни при \(a\le4\), второе — при \(a\ge0\). Если \(0Границы включать нельзя: при \(a=0\) получаются только корни \(-2\) и \(2\), а при \(a=4\) — только \(-4\) и \(0\). Вне промежутка \([0;4]\) действительные корни даёт лишь один множитель, то есть корней не более двух.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10114.