Линия заданий 19, Тесты ЕГЭ 2027 по математике профильной

10514. На доске были написаны несколько целых чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа, сумма которых делится на 3.
а) Может ли сумма всех оставшихся на доске чисел равняться 11, если сначала по одному разу были написаны числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11?
б) Может ли на доске остаться ровно два числа, разность которых равна 24, если сначала по одному разу были написаны все натуральные числа от 100 до 151 включительно?
в) Известно, что на доске осталось ровно два числа, а сначала по одному разу были написаны все натуральные числа от 100 до 151 включительно. Какое наибольшее значение может получиться, если поделить одно из оставшихся чисел на второе из них?

Верный ответ:
а) может;
б) не может;
в) 1,5.

Удаляемая пара имеет остатки \((0,0)\) или \((1,2)\) при делении на 3. Следовательно, не меняются чётность количества чисел с остатком 0 и разность между количествами чисел с остатками 1 и 2.
а) Можно оставить числа 3 и 8, сумма которых равна 11. Остальные удаляются парами \((2,4)\), \((5,7)\), \((6,9)\), \((10,11)\); сумма каждой пары кратна 3.
б) Среди чисел от 100 до 151 имеется 17 чисел с остатком 0, 18 чисел с остатком 1 и 17 чисел с остатком 2. Если останутся два числа, то по сохранённым свойствам их остатки должны быть 0 и 1. Их разность не делится на 3, а число 24 делится на 3.
в) Допустимая пара должна состоять из числа с остатком 0 и числа с остатком 1. Если в числителе стоит число с остатком 0, наибольшее отношение равно \(150/100=1{,}5\). При обратном распределении остатков получаем не более \(151/102\), а это меньше 1,5. Пару 150 и 100 можно оставить: среди остальных чисел остаётся чётное количество чисел с остатком 0 и одинаковое количество чисел с остатками 1 и 2, поэтому все они удаляются допустимыми парами.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10514.

10495. На доске были написаны несколько целых чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа, сумма которых делится на 3.
а) Может ли сумма всех оставшихся на доске чисел равняться 8, если сначала по одному разу были написаны числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11?
б) Может ли на доске остаться ровно два числа, разность которых равна 54, если сначала по одному разу были написаны все натуральные числа от 200 до 299 включительно?
в) Известно, что на доске осталось ровно два числа, а сначала по одному разу были написаны все натуральные числа от 200 до 299 включительно. Какое наибольшее значение может получиться, если поделить одно из оставшихся чисел на второе из них?

Верный ответ:
а) может;
б) не может;
в) \(\frac{299}{201}\).

При удалении пары с суммой, делящейся на 3, остатки этой пары имеют вид \((0,0)\) или \((1,2)\). Поэтому сохраняются два свойства: чётность количества чисел с остатком 0 и разность между количествами чисел с остатками 1 и 2.
а) Можно оставить числа 3 и 5, сумма которых равна 8. Остальные числа удаляются парами \((2,4)\), \((6,9)\), \((7,8)\), \((10,11)\); сумма каждой пары делится на 3.
б) Среди чисел от 200 до 299 имеется 33 числа с остатком 0, 33 числа с остатком 1 и 34 числа с остатком 2. Если останутся два числа, сохранение указанных свойств заставляет их иметь остатки 0 и 2. Их разность не делится на 3, тогда как 54 делится на 3.
в) Для максимального отношения рассматриваем оба порядка допустимых остатков. Наибольшее число с остатком 2 — 299, а наименьшее с остатком 0 — 201, что даёт \(299/201\). Другой крайний вариант — \(297/200\). Сравнение крест-накрест даёт \(299\cdot200>297\cdot201\), поэтому первый вариант больше. Пару 299 и 201 действительно можно оставить: после её выбора остаётся чётное количество чисел с остатком 0 и поровну чисел с остатками 1 и 2, поэтому остальные числа удаляются допустимыми парами.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10495.

10476. Конечная возрастающая последовательность \({a_1}\), \({a_2}\), ... , \({a_n}\), состоит из n \( \ge \) 3 различных натуральных чисел, причём при всех натуральных \( k \le n - 2 \) выполнено равенство \( 7{a_{k + 2}} = 8{a_{k + 1}} - {a_k} \).
а) Приведите пример такой последовательности при \( n \) = 5.
б) Может ли в такой последовательности при некотором \(n\) \( \ge \) 3 выполняться равенство \( 6{a_n} = 7{a_2} - {a_1} \) ?
в) Какое наименьшее значение может принимать \({a_1}\), если \({a_n}\) = 190?

Верный ответ:
а) например, 1, 344, 393, 400, 401;
б) нет;
в) 6.

Обозначим \(d_k=a_{k+1}-a_k\). Из условия \(7a_{k+2}=8a_{k+1}-a_k\) получаем \(7d_{k+1}=d_k\): положительные разности уменьшаются в 7 раз.
а) Разности в примере равны 343, 49, 7 и 1, поэтому условие выполнено.
б) Пусть последняя разность равна \(t>0\). Тогда \(d_1=7^{n-2}t\) и \(a_n=a_1+t(1+7+\ldots+7^{n-2})\). Правая часть равенства равна \(7a_2-a_1=6a_1+7^{n-1}t\), а левая — \(6a_n=6a_1+(7^{n-1}-1)t\). Правая часть больше на \(t\), поэтому равенство невозможно.
в) Имеем \(190=a_1+tS\), где \(S=1+7+\ldots+7^{n-2}\). Значения \(S<190\) равны 8 и 57. Наименьшие положительные остатки равны 6 и 19, поэтому минимум получается при \(n=3\): \(190=6+23\cdot8\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10476.

10457. Конечная возрастающая последовательность \({a_1}\), \({a_2}\), ... , \({a_n}\), состоит из n \( \ge \) 3 различных натуральных чисел, причём при всех натуральных \( k \le n - 2 \) выполнено равенство \( 6{a_{k + 2}} = 7{a_{k + 1}} - {a_k} \).
а) Приведите пример такой последовательности при \( n \) = 5.
б) Может ли в такой последовательности при некотором \(n\) \( \ge \) 3 выполняться равенство \( 5{a_n} = 6{a_2} - {a_1} \) ?
в) Какое наименьшее значение может принимать \({a_1}\), если \({a_n}\) = 404?

Верный ответ:
а) например, 1, 433, 505, 517, 519;
б) нет;
в) 5.

Пусть \(d_k=a_{k+1}-a_k\). Из равенства \(6a_{k+2}=7a_{k+1}-a_k\) следует \(6d_{k+1}=d_k\), поэтому каждая предыдущая разность в 6 раз больше следующей.
а) В указанной последовательности разности равны 432, 72, 12 и 2, значит, условие выполняется.
б) Если последняя разность равна \(t>0\), то \(d_1=6^{n-2}t\) и \(a_n=a_1+t(1+6+\ldots+6^{n-2})\). Правая часть предполагаемого равенства равна \(6a_2-a_1=5a_1+6^{n-1}t\), а левая — \(5a_n=5a_1+(6^{n-1}-1)t\). Они отличаются на положительное число \(t\), поэтому равенства быть не может.
в) Получаем \(404=a_1+tS\), где \(S=1+6+\ldots+6^{n-2}\). Возможные значения \(S<404\) равны 7, 43 и 259. Наименьшие положительные значения \(a_1\) равны соответственно 5, 17 и 145. Значение 5 достигается при \(n=3\): \(404=5+57\cdot7\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10457.

10438. Конечная возрастающая последовательность \({a_1}\), \({a_2}\), ... , \({a_n}\), состоит из n \( \ge \) 3 различных натуральных чисел, причём при всех натуральных \( k \le n - 2 \) выполнено равенство \( 4{a_{k + 2}} = 5{a_{k + 1}} - {a_k} \).
а) Приведите пример такой последовательности при \( n \) = 5.
б) Может ли в такой последовательности при некотором \(n\) \( \ge \) 3 выполняться равенство \( 3{a_n} = 4{a_2} - {a_1} \) ?
в) Какое наименьшее значение может принимать \({a_1}\), если \({a_n}\) = 283?

Верный ответ:
а) например, 1, 257, 321, 337, 341;
б) нет;
в) 3.

Обозначим \(d_k=a_{k+1}-a_k\). Из условия \(4a_{k+2}=5a_{k+1}-a_k\) следует \(4d_{k+1}=d_k\), то есть соседние положительные разности последовательно уменьшаются в 4 раза.
а) Разности в примере равны 256, 64, 16 и 4, поэтому рекуррентное равенство выполняется.
б) Если последняя разность равна \(t>0\), то \(d_1=4^{n-2}t\) и \(a_n=a_1+t(1+4+\ldots+4^{n-2})\). При этом \(4a_2-a_1=3a_1+4^{n-1}t\), а \(3a_n=3a_1+(4^{n-1}-1)t\). Первая величина больше второй на \(t\), поэтому равенство невозможно.
в) Имеем \(283=a_1+tS\), где \(S=1+4+\ldots+4^{n-2}\). Значения \(S<283\) равны 5, 21 и 85. Соответствующие наименьшие положительные значения \(a_1\) равны остаткам 3, 10 и 28. Минимум 3 получается при \(n=3\): \(283=3+56\cdot5\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10438.

10419. Конечная возрастающая последовательность \({a_1}\), \({a_2}\), ... , \({a_n}\), состоит из n \( \ge \) 3 различных натуральных чисел, причём при всех натуральных \( k \le n - 2 \) выполнено равенство \( 2{a_{k + 2}} = 3{a_{k + 1}} - {a_k} \).
а) Приведите пример такой последовательности при \( n \) = 6.
б) Может ли в такой последовательности при некотором \(n\) \( \ge \) 3 выполняться равенство \( {a_n} = 2{a_2} - {a_1} \) ?
в) Какое наименьшее значение может принимать \({a_1}\), если \({a_n}\) = 287?

Верный ответ:
а) например, 1, 49, 73, 85, 91, 94;
б) нет;
в) 2.

Пусть \(d_k=a_{k+1}-a_k\). Из условия \(2a_{k+2}=3a_{k+1}-a_k\) получаем \(2d_{k+1}=d_k\): каждая предыдущая положительная разность вдвое больше следующей.
а) Разности в приведённой последовательности равны 48, 24, 12, 6 и 3, поэтому условие выполнено.
б) Пусть последняя разность равна \(t>0\). Тогда \(d_1=2^{n-2}t\) и \(a_n=a_1+t(1+2+\ldots+2^{n-2})\). Правая часть равенства \(2a_2-a_1\) равна \(a_1+2^{n-1}t\), а \(a_n=a_1+(2^{n-1}-1)t\). Правая часть больше на \(t\), поэтому равенство невозможно.
в) Теперь \(287=a_1+tS\), где \(S=1+2+\ldots+2^{n-2}\). Возможные значения \(S<287\): 3, 7, 15, 31, 63, 127 и 255. Наименьшие положительные значения \(a_1\) для них равны 2, 7, 2, 8, 35, 33 и 32. Для \(S=7\) обычный остаток равен нулю, но \(a_1\) должно быть натуральным, поэтому берётся значение 7. Значение 2 достигается, например, уже при \(n=3\): \(287=2+95\cdot3\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10419.

10400. Конечная возрастающая последовательность \({a_1}\), \({a_2}\), ... , \({a_n}\), состоит из n \( \ge \) 3 различных натуральных чисел, причём при всех натуральных \( k \le n - 2 \) выполнено равенство \( 5{a_{k + 2}} = 6{a_{k + 1}} - {a_k} \).
а) Приведите пример такой последовательности при \( n \) = 5.
б) Может ли в такой последовательности при некотором \(n\) \( \ge \) 3 выполняться равенство \( 4{a_n} = 5{a_2} - {a_1} \) ?
в) Какое наименьшее значение может принимать \({a_1}\), если \({a_n}\) = 286?

Верный ответ:
а) например, 1, 126, 151, 156, 157;
б) нет;
в) 4.

Обозначим \(d_k=a_{k+1}-a_k\). Из равенства \(5a_{k+2}=6a_{k+1}-a_k\) следует \(5d_{k+1}=d_k\). Значит, положительные разности соседних членов уменьшаются в 5 раз.
а) В приведённой последовательности разности равны 125, 25, 5 и 1, поэтому требуемое соотношение выполняется.
б) Пусть последняя разность равна \(t>0\). Тогда \(d_1=5^{n-2}t\), а
\(a_n=a_1+t(1+5+\ldots+5^{n-2})\).
Правая часть предполагаемого равенства равна \(5a_2-a_1=4a_1+5^{n-1}t\), а левая — \(4a_n=4a_1+(5^{n-1}-1)t\). Правая часть больше левой на \(t\), поэтому равенство невозможно.
в) Из формулы для \(a_n\) получаем \(286=a_1+tS\), где \(S=1+5+\ldots+5^{n-2}\). Возможные значения \(S<286\) равны 6, 31 и 156. Наименьшие положительные остатки числа 286 после вычитания кратных этих чисел равны соответственно 4, 7 и 130. Наименьшее из них достигается при \(n=3\): \(286=4+47\cdot6\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10400.

10381. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.
а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.
б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?
в) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Верный ответ:
а) 1, 2, 3;
б) нет;
в) 8.

Пусть исходная прогрессия содержит \(n\) членов, её первый член равен \(a\), а разность — \(d\ge1\). Если сумма членов равна \(S\), а следующий член — \(x=a+nd\), то после его добавления разность между квадратом суммы и суммой квадратов увеличится на \(2Sx\). Поэтому увеличение равно
\(n(a+nd)(2a+(n-1)d)\).
а) Для прогрессии 1, 2, 3 сумма равна 6, следующий член — 4, и увеличение равно \(2\cdot6\cdot4=48\).
б) При \(n=12\) после деления на 12 получили бы \((a+12d)(2a+11d)=120\). Левая часть не меньше \(12\cdot11=132\), поэтому равенство невозможно.
в) Неравенство \(1440\ge n^2(n-1)\) даёт \(n\le11\), а \(n\) должно делить 1440. Выше 8 остаются только варианты \(n=9\) и \(n=10\). При \(n=9\) произведение \((a+9d)(2a+8d)\) должно равняться 160; подходящие по размеру пары делителей \((10,16)\), \((16,10)\), \((20,8)\) не дают целого \(d=\frac{2X-Y}{10}\). При \(n=10\) произведение равно 144, а пары \((12,12)\) и \((16,9)\) не дают целого \(d=\frac{2X-Y}{11}\). Для \(n=8\) подходит \(a=4\), \(d=1\): прогрессия 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 имеет сумму 60, следующий член 12, и \(2\cdot60\cdot12=1440\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10381.

10362. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.
а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз.
б) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?
в) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Верный ответ:
а) 2, 3;
б) нет;
в) 8.

Пусть исходная прогрессия содержит \(n\) членов, её первый член равен \(a\), а разность — \(d\ge1\). Сумма её членов равна \(S=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)\), а следующий член равен \(x=a+nd\). После добавления \(x\) рассматриваемая разность увеличивается на
\((S+x)^2-S^2-x^2=2Sx=n(a+nd)(2a+(n-1)d)\).
а) Для прогрессии 2, 3 сумма равна 5, следующий член — 4, поэтому увеличение равно \(2\cdot5\cdot4=40\).
б) При \(n=13\) пришлось бы иметь \((a+13d)(2a+12d)=1768/13=136\). Но при \(a\ge0\) и \(d\ge1\) левая часть не меньше \(13\cdot12=156\).
в) Из формулы следует, что \(n\) делит 1768, а также \(1768\ge n^2(n-1)\). Последнее неравенство даёт \(n\le12\). Разложение \(1768=2^3\cdot13\cdot17\) показывает, что среди его делителей, не превосходящих 12, наибольший равен 8. Значение 8 достигается для прогрессии 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: её сумма равна 68, следующий член — 13, и \(2\cdot68\cdot13=1768\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10362.

10343. Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел -1, 2, 4, -6, 7, -8, -10, 12. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел -1, 2, 4, -6, 7, -8, -10, 12. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Верный ответ:
а) нет;
б) нет;
в) 16.

а) Нулевая сумма на карточке могла бы получиться только при сложении двух противоположных чисел. Среди чисел −1, 2, 4, −6, 7, −8, −10, 12 нет ни одной пары вида \(x\) и \(-x\), поэтому ни один множитель не может быть равен нулю.
б) На каждой стороне карточек записаны два нечётных и шесть чётных чисел. Нечётную сумму даёт только пара чисел разной чётности. Таких пар может быть не более четырёх, поэтому как минимум четыре из восьми сумм будут чётными. Поскольку нулевых сумм нет, модуль каждой из этих четырёх сумм не меньше 2, а модуль произведения не меньше \(2^4=16\). Значение 1 невозможно.
в) Нижняя граница 16 достигается. Можно попарно поменять числа местами так: \(-1\) с 2, 4 с −6, 7 с −8, −10 с 12. Тогда восемь сумм равны \(1,1,-2,-2,-1,-1,2,2\), а их произведение равно 16.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10343.

Для вас приятно генерировать тесты, создавайте их почаще

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Линия заданий 19, ЕГЭ 2027 по математике профильной