Решайте задания по одному, проверяйте себя сразу и открывайте подсказки там, где нужно.
Верный ответ:
а) да;
б) нет;
в) 26.
а) В сундуке всего \(50\cdot1+50\cdot3=200\) дукатов, поэтому каждому из 20 пиратов полагается по 10 дукатов. Например, десяти пиратам можно выдать по три трёхдукатные и по одной однодукатной монете, а другим десяти — по две трёхдукатные и четыре однодукатные. При этом будут использованы ровно 50 монет каждого вида.
б) При делении между 40 пиратами каждый должен получить по 5 дукатов. Даже самый экономный по однодукатным монетам вариант — одна монета в 3 дуката и две монеты по 1 дукату. Поэтому понадобилось бы не менее \(40\cdot2=80\) однодукатных монет, а их только 50.
в) Пусть \(R\) — сумма остатков всех 26 назначенных долей при делении на 3. Имеем \(R\le26\cdot2=52\), а из общей суммы 200 следует \(R\equiv200\equiv2\pmod3\). Следующее после 50 число с таким остатком равно 53, поэтому \(R\le50\). Остатки выдаём однодукатными монетами, а оставшиеся однодукатные монеты группируем по три и заменяем ими нужное количество трёхдукатных монет.
Для 27 пиратов можно назначить первым 26 по 2 дуката. На это потребуются 52 однодукатные монеты, поэтому такое распределение выполнить невозможно.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10134.
Верный ответ:
а) да;
б) нет;
в) 16.
а) Общая стоимость монет равна \(60\cdot1+60\cdot5=360\) дукатов, поэтому каждому из 18 пиратов должно достаться по 20 дукатов. Например, шести пиратам можно выдать по четыре пятидукатные монеты, а каждому из остальных двенадцати — по три пятидукатные и пять однодукатных. Так будут использованы ровно 60 монет каждого вида.
б) При делении между 40 пиратами каждому полагается по 9 дукатов. Сумму 9 можно набрать либо одной пятидукатной и четырьмя однодукатными монетами, либо только однодукатными. Значит, каждому пирату нужны хотя бы 4 однодукатные монеты, а всего потребовалось бы не менее \(40\cdot4=160\) таких монет. В сундуке их только 60.
в) Пусть назначенные доли равны \(x_1,\ldots,x_{16}\), а \(R\) — сумма их остатков при делении на 5. Тогда \(R\le16\cdot4=64\). При этом \(R\equiv360\equiv0\pmod5\), поэтому на самом деле \(R\le60\). Сначала выдадим каждому остаток его доли однодукатными монетами. Если однодукатные монеты ещё остались, каждая группа из пяти таких монет заменяет одну пятидукатную; так можно использовать ровно все монеты и получить назначенные суммы.
Для 17 пиратов гарантии уже нет: если первым 16 назначить по 4 дуката, им понадобятся 64 однодукатные монеты, поскольку пятидукатную монету для такой доли использовать нельзя.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10115.
