Линия заданий 2, Тесты ЕГЭ 2027 по математике профильной

21360. На координатной плоскости изображены векторы \( \vec a \) и \( \vec b \). Найдите скалярное произведение \( \vec a \cdot \vec b \).

Верный ответ: -55

С рисунка считываем \(\vec a=(-7;-2)\) и \(\vec b=(9;-4)\). Тогда
\(\vec a\cdot\vec b=(-7)\cdot9+(-2)\cdot(-4)=-63+8=-55\).
Первое произведение отрицательно и по модулю больше второго, поэтому общий результат также отрицательный.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21360.

21359. На координатной плоскости изображены векторы \( \vec a \) и \( \vec b \). Найдите скалярное произведение \( \vec a \cdot \vec b \).

Верный ответ: 66

По рисунку \(\vec a=(-6;3)\), \(\vec b=(-10;2)\). Координаты определяем по направлению стрелок: из координат конца вычитаем координаты начала.
Скалярное произведение:
\(\vec a\cdot\vec b=(-6)\cdot(-10)+3\cdot2=60+6=66\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21359.

21358. Даны векторы \( \vec a \)(4; -6) и \( \vec b \)(-2; 3). Известно, что \( \left| {\vec c} \right| = \left| {\vec a} \right| \), а векторы \( \vec c({x_c};{y_c}) \) и \( {\vec b} \) противоположно направленные. Найдите \( {x_c} + {y_c} \).

Верный ответ: -2

\(|\vec a|=\sqrt{4^2+(-6)^2}=2\sqrt{13}\), а \(|\vec b|=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}\). Следовательно, длина \(\vec c\) вдвое больше длины \(\vec b\).
Векторы противоположно направлены, поэтому нужен отрицательный коэффициент: \(\vec c=-2\vec b=(4;-6)\). Тогда \(x_c+y_c=4-6=-2\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21358.

21357. Даны векторы \( \vec a \)(-2; 4) и \( \vec b \)(2; -1). Известно, что векторы \( \vec c({x_c};{y_c}) \) и \( {\vec b} \) сонаправленные, а \( \left| {\vec c} \right| = \left| {\vec a} \right| \). Найдите \( {x_c} + {y_c} \).

Верный ответ: 2

Длины данных векторов равны \(|\vec a|=\sqrt{(-2)^2+4^2}=2\sqrt5\) и \(|\vec b|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt5\). Значит, \(\vec c\) должен быть в два раза длиннее \(\vec b\).
Так как \(\vec c\) и \(\vec b\) сонаправлены, коэффициент положительный: \(\vec c=2\vec b=(4;-2)\). Поэтому \(x_c+y_c=4-2=2\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21357.

21356. На координатной плоскости изображены векторы \( \vec a \), \( \vec b \) и \( \vec c \). Найдите длину вектора \( \vec a - \vec b + \vec c \).

Верный ответ: 25

С рисунка получаем \(\vec a=(-10;4)\), \(\vec b=(8;2)\), \(\vec c=(-6;5)\). Выполняем действия по координатам:
\(\vec a-\vec b+\vec c=(-10-8-6;4-2+5)=(-24;7)\).
Длина этого вектора равна \(\sqrt{(-24)^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21356.

21355. На координатной плоскости изображены векторы \( \vec a \), \( \vec b \) и \( \vec c \). Найдите длину вектора \( \vec a + \vec b - \vec c \).

Верный ответ: 17

По рисунку \(\vec a=(-4;-5)\), \(\vec b=(9;0)\), \(\vec c=(-3;10)\). Тогда
\(\vec a+\vec b-\vec c=(-4+9-(-3);-5+0-10)=(8;-15)\).
Длина равна \(\sqrt{8^2+(-15)^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17\). При вычитании \(\vec c\) знаки меняются у обеих его координат.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21355.

21354. Даны векторы \( \vec a \)(2;-3), \( \vec b \)(2;-1) и \( \vec c \)(\( {c_0} \); 3). Найдите \( {c_0} \), если \( \vec a \cdot \left( {\vec b + \vec c} \right) = 0 \).

Верный ответ: 1

Сначала найдём сумму в скобках:
\(\vec b+\vec c=(2+c_0;-1+3)=(2+c_0;2)\).
По условию скалярное произведение с \(\vec a=(2;-3)\) равно нулю:
\(2(2+c_0)+(-3)\cdot2=0\).
После упрощения получаем \(4+2c_0-6=0\), то есть \(2c_0-2=0\), поэтому \(c_0=1\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21354.

21353. Даны векторы \( \vec a \)(-1;3), \( \vec b \)(4;1) и \( \vec c \)(2; \( {c_0} \)). Найдите \( {c_0} \), если \( \left( {\vec a + \vec b} \right) \cdot \vec c = 0 \).

Верный ответ: -1,5

Сначала складываем векторы: \(\vec a+\vec b=(-1+4;3+1)=(3;4)\). По условию их скалярное произведение с \(\vec c=(2;c_0)\) равно нулю:
\((3;4)\cdot(2;c_0)=3\cdot2+4c_0=0\).
Получаем \(6+4c_0=0\), откуда \(c_0=-\dfrac{6}{4}=-1{,}5\). Ноль в условии означает перпендикулярность соответствующих векторов.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21353.

21352. На координатной плоскости изображены векторы \( \vec a \), \( \vec b \) и \( \vec c \). Найдите скалярное произведение \( (\vec a + \vec b) \cdot \vec c \).

Верный ответ: 16

Считываем координаты с рисунка: \(\vec a=(-6;0)\), \(\vec b=(7;5)\), \(\vec c=(-9;5)\). Сначала:
\(\vec a+\vec b=(-6+7;0+5)=(1;5)\).
Затем
\((\vec a+\vec b)\cdot\vec c=1\cdot(-9)+5\cdot5=-9+25=16\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21352.

21351. На координатной плоскости изображены векторы \( \vec a \), \( \vec b \) и \( \vec c \). Найдите скалярное произведение векторов \( \vec a \cdot (\vec b + \vec c) \).

Верный ответ: 42

По рисунку \(\vec a=(-6;5)\), \(\vec b=(0;5)\), \(\vec c=(-7;-5)\). Сначала складываем векторы в скобках:
\(\vec b+\vec c=(0-7;5-5)=(-7;0)\).
Теперь вычисляем скалярное произведение:
\(\vec a\cdot(\vec b+\vec c)=(-6)\cdot(-7)+5\cdot0=42\). Координаты считаются с учётом направления стрелок: конец вектора минус его начало.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21351.

Для вас приятно генерировать тесты, создавайте их почаще

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Линия заданий 2, ЕГЭ 2027 по математике профильной