Линия заданий 2, Тесты ЕГЭ 2027 по математике профильной

21350. Даны векторы \( \vec a \)(2;-5), \( \vec b \)(6;3) и \( \vec c \)(4;7). Найдите длину вектора \( \vec a - \vec b - \vec c \).

Верный ответ: 17

Находим координаты заданной комбинации:
\(\vec a-\vec b-\vec c=(2-6-4;-5-3-7)=(-8;-15)\).
Длина равна \(\sqrt{(-8)^2+(-15)^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17\). Отрицательные координаты не делают длину отрицательной, потому что в формуле они возводятся в квадрат.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21350.

21349. Даны векторы \( \vec a \)(6;-1), \( \vec b \)(-5;-2) и \( \vec c \)(-3;5). Найдите длину вектора \( \vec a - \vec b + \vec c \).

Верный ответ: 10

Выполняем действия с соответствующими координатами:
\(\vec a-\vec b+\vec c=(6-(-5)+(-3);-1-(-2)+5)=(8;6)\).
Теперь находим длину: \(\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\). Знаки перед векторами важно учитывать в обеих координатах.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21349.

21348. На координатной плоскости изображены векторы \( \vec a \) и \( \vec b \). Найдите косинус угла между векторами \( \vec a \) и \( \vec b \).

Верный ответ: -0,6

С рисунка получаем \(\vec a=(-2;6)\) и \(\vec b=(12;-4)\). Их скалярное произведение:
\(\vec a\cdot\vec b=(-2)\cdot12+6\cdot(-4)=-48\).
Длины равны \(|\vec a|=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) и \(|\vec b|=\sqrt{160}=4\sqrt{10}\). Тогда
\(\cos\alpha=\dfrac{-48}{(2\sqrt{10})(4\sqrt{10})}=\dfrac{-48}{80}=-0{,}6\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21348.

21347. На координатной плоскости изображены векторы \( \vec a \) и \( \vec b \). Найдите \( \cos \alpha \), где \( \alpha \) - угол между векторами \( \vec a \) и \( \vec b \).

Верный ответ: -0,8

По рисунку \(\vec a=(-3;6)\), \(\vec b=(8;-4)\). Косинус угла между векторами вычисляется через скалярное произведение:
\(\vec a\cdot\vec b=(-3)\cdot8+6\cdot(-4)=-48\).
\(|\vec a|=\sqrt{45}=3\sqrt5\), \(|\vec b|=\sqrt{80}=4\sqrt5\), поэтому
\(\cos\alpha=\dfrac{-48}{(3\sqrt5)(4\sqrt5)}=\dfrac{-48}{60}=-0{,}8\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21347.

21346. Даны векторы \( \vec a \)(2,2; -4) и \( \vec b \)(-1,25; -1). Найдите скалярное произведение векторов \( 3\vec a \) и \( 4\vec b \).

Верный ответ: 15

Вычислим скалярное произведение исходных векторов:
\(\vec a\cdot\vec b=2{,}2\cdot(-1{,}25)+(-4)\cdot(-1)=-2{,}75+4=1{,}25\).
При умножении обоих векторов на числа произведение умножается на произведение этих чисел:
\((3\vec a)\cdot(4\vec b)=12(\vec a\cdot\vec b)=12\cdot1{,}25=15\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21346.

21345. Даны векторы \( \vec a \)(2; -5) и \( \vec b \)(5; 7). Найдите скалярное произведение векторов \( 0{,}6\vec a \) и \( 1{,}4\vec b \).

Верный ответ: -21

Сначала найдём скалярное произведение исходных векторов:
\(\vec a\cdot\vec b=2\cdot5+(-5)\cdot7=10-35=-25\).
Числовые множители можно вынести из скалярного произведения:
\((0{,}6\vec a)\cdot(1{,}4\vec b)=0{,}6\cdot1{,}4\cdot(\vec a\cdot\vec b)=0{,}84\cdot(-25)=-21\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21345.

21344. На координатной плоскости изображены векторы \( \vec a \), \( \vec b \) и \( \vec c \). Найдите длину вектора \( \vec a + \vec b + \vec c \).

Верный ответ: 13

По рисунку \(\vec a=(4;4)\), \(\vec b=(9;-3)\), \(\vec c=(-1;-6)\). Тогда
\(\vec a+\vec b+\vec c=(4+9-1;4-3-6)=(12;-5)\).
Длина вектора \((12;-5)\) равна \(\sqrt{12^2+(-5)^2}=\sqrt{169}=13\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21344.

21343. На координатной плоскости изображены векторы \( \vec a \), \( \vec b \) и \( \vec c \). Найдите длину вектора \( \vec a + \vec b + \vec c \).

Верный ответ: 5

Считываем координаты векторов с рисунка: \(\vec a=(4;-3)\), \(\vec b=(0;4)\), \(\vec c=(-8;2)\). Складываем координаты отдельно:
\(\vec a+\vec b+\vec c=(4+0-8;-3+4+2)=(-4;3)\).
Длина полученного вектора равна \(\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21343.

21342. Даны векторы \( \vec a \)(4; -1) и \( \vec b \)(\( {b_0} \); 8). Найдите \( {b_0} \), если \( \left| {\vec b} \right| = 2,5\left| {\vec a} \right| \). Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.

Верный ответ: 6,5

Для \(\vec a=(4;-1)\) получаем \(|\vec a|=\sqrt{17}\), а для \(\vec b=(b_0;8)\): \(|\vec b|=\sqrt{b_0^2+64}\). По условию:
\(\sqrt{b_0^2+64}=2{,}5\sqrt{17}\).
После возведения в квадрат: \(b_0^2+64=6{,}25\cdot17=106{,}25\), поэтому \(b_0^2=42{,}25\) и \(b_0=\pm6{,}5\). Из двух значений выбираем большее.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21342.

21341. Даны векторы \( \vec a \)(2; 3) и \( \vec b \)(-3; \( {b_0} \)). Найдите \( {b_0} \), если \( \left| {\vec b} \right| = 1,5\left| {\vec a} \right| \). Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.

Верный ответ: -4,5

Длина \(\vec a=(2;3)\) равна \(\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\), а длина \(\vec b=(-3;b_0)\) равна \(\sqrt{9+b_0^2}\). По условию:
\(\sqrt{9+b_0^2}=1{,}5\sqrt{13}\).
Возводим обе части в квадрат: \(9+b_0^2=2{,}25\cdot13=29{,}25\), откуда \(b_0^2=20{,}25\) и \(b_0=\pm4{,}5\). Значений два, а записать требуется меньшее.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21341.

Для вас приятно генерировать тесты, создавайте их почаще

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Линия заданий 2, ЕГЭ 2027 по математике профильной