Решайте задания по одному, проверяйте себя сразу и открывайте подсказки там, где нужно.
Верный ответ: 117
У цилиндра, описанного около шара радиуса \(R\), радиус основания равен \(R\), а высота равна \(2R\). Поэтому площадь полной поверхности цилиндра равна \(2\pi R^2+2\pi R\cdot2R=6\pi R^2\).
Площадь поверхности шара равна \(4\pi R^2\), поэтому площадь цилиндра больше в \(\frac{6}{4}=\frac32\) раза: \(78\cdot\frac32=117\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10351.
Верный ответ: 12
Диагональ призмы, её проекция на основание и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. Боковое ребро длиной 6 лежит напротив угла \(30^\circ\), поскольку этот угол является углом между диагональю и плоскостью основания.
Следовательно, \(\sin30^\circ=\frac{6}{d}\). Так как \(\sin30^\circ=\frac12\), диагональ равна \(d=12\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10332.
Верный ответ: 4
В правильной треугольной пирамиде все три боковые грани равны, поэтому площадь одной грани равна \(24:3=8\). Основание \(ABC\) — равносторонний треугольник, значит, \(AB=BC=4\).
В боковой грани \(SAB\) отрезок \(SP\), проведённый к середине основания \(AB\), является высотой. Поэтому \(8=\frac12\cdot4\cdot SP\), откуда \(SP=4\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10313.
Верный ответ: 6
Пусть радиус шара равен \(R\). Из формулы объёма шара получаем \(\frac43\pi R^3=\pi\), откуда \(R^3=\frac34\).
Шар вписан в куб, поэтому ребро куба равно диаметру шара: \(a=2R\). Тогда объём куба равен \(a^3=(2R)^3=8R^3=8\cdot\frac34=6\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10294.
Верный ответ: 6
Центр сферы находится в центре основания конуса. Поэтому радиус основания конуса равен радиусу сферы \(R\). Вершина конуса также лежит на сфере и расположена на его оси, значит, высота конуса тоже равна \(R\).
Образующая — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(R\) и \(R\): \(l=\sqrt{R^2+R^2}=R\sqrt2\).
Так как \(l=6\sqrt2\), то \(R=6\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10275.
Верный ответ: 160
Плоскость через точки \(A\), \(C\) и \(C_1\) содержит также вершину \(A_1\), поэтому сечение — прямоугольник \(ACC_1A_1\). Одна его сторона равна высоте параллелепипеда: \(CC_1=32\). Другая сторона — диагональ основания:
\(AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\).
Площадь сечения равна \(5\cdot32=160\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10256.
Верный ответ: 6
Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен углу между диагональю и её проекцией на основание. Диагональ, её проекция и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро длиной 3 лежит напротив угла \(30^\circ\).
Поэтому \(\sin30^\circ=\frac{3}{d}\). Так как \(\sin30^\circ=\frac12\), получаем \(d=6\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10237.
Верный ответ: 49
Сечение, проходящее через середины четырёх рёбер правильного тетраэдра, является квадратом. Каждая его сторона — средняя линия одной из граней тетраэдра, поэтому она в 2 раза меньше ребра: \(14:2=7\).
Площадь полученного квадрата равна \(7^2=49\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10218.
Верный ответ: 4
Объём цилиндра с площадью основания \(S\) и высотой \(h\) равен \(Sh\). Объём конуса с теми же основанием и высотой равен \(\frac13Sh\). Значит, такой конус занимает ровно треть объёма цилиндра.
Поэтому \(12:3=4\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10199.
Верный ответ: 15
У вписанного шара и цилиндра один и тот же радиус \(R\), а высота цилиндра равна \(2R\). Поэтому полная поверхность цилиндра имеет площадь \(2\pi R^2+2\pi R\cdot2R=6\pi R^2\), тогда как поверхность шара равна \(4\pi R^2\).
Отношение площадей равно \(\frac{6}{4}=\frac32\), поэтому площадь цилиндра равна \(10\cdot\frac32=15\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10180.
