Решайте задания по одному, проверяйте себя сразу и открывайте подсказки там, где нужно.
Верный ответ: 0,36
Фраза «не больше двух попыток» означает, что сообщение будет передано либо с первой попытки, либо со второй.
Вероятность успеха с первой попытки равна \(0,2\). Чтобы сообщение было передано именно со второй попытки, первая должна завершиться неудачей, а вторая — успехом: \(0,8\cdot0,2=0,16\). Эти два случая несовместны, поэтому их вероятности складываются:
\(P=0,2+0,16=0,36\).
То же самое можно увидеть через противоположное событие: больше двух попыток потребуется, если первые две попытки обе неудачны, поэтому \(P=1-0,8^2=0,36\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15378.
Верный ответ: 0,13
Чтобы первый синий фломастер оказался третьим, первые два извлечённых фломастера должны быть красными, а третий — синим. Поэтому требуется ровно последовательность красный, красный, синий.
Сначала вероятность красного равна \(\frac{13}{26}\), затем красных остаётся 12 из 25, а после двух красных в ящике остаётся 13 синих из 24 фломастеров:
\(P=\frac{13}{26}\cdot\frac{12}{25}\cdot\frac{13}{24}=0,13\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15376.
Верный ответ: 0,14
Первый синий фломастер будет извлечён третьим только при последовательности цветов красный, красный, синий. Других подходящих порядков нет: появление синего на первом или втором месте нарушает условие.
Вероятность первого красного равна \(\frac{14}{26}\). После этого остаётся 13 красных из 25 фломастеров, а после двух красных — 12 синих из 24. Поэтому
\(P=\frac{14}{26}\cdot\frac{13}{25}\cdot\frac{12}{24}=0,14\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15374.
Верный ответ: 0,2
Пусть \(A\) — событие «в двух бросках выпали 3 и 5 в любом порядке».
Для обычного кубика
\(P(A\mid\text{первый})=2\cdot\frac16\cdot\frac16=\frac1{18}\).
На втором кубике числа 3 и 5 занимают по две грани, поэтому вероятность каждого равна \(\frac26=\frac13\):
\(P(A\mid\text{второй})=2\cdot\frac13\cdot\frac13=\frac29\).
Кубики изначально выбирались с равными вероятностями, а событие \(A\) на втором кубике в 4 раза вероятнее, чем на первом. Значит, после наблюдения шансы в пользу первого и второго кубиков равны \(1:4\), поэтому
\(P(\text{первый}\mid A)=\frac{\frac1{18}}{\frac1{18}+\frac29}=\frac15=0,2\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15372.
Верный ответ: 0,9
Обозначим событие «в двух бросках выпали 1 и 2 в любом порядке» через \(A\).
Для обычного кубика подходят два порядка — \((1;2)\) и \((2;1)\):
\(P(A\mid\text{обычный})=2\cdot\frac16\cdot\frac16=\frac1{18}\).
На втором кубике вероятность выпадения каждого из чисел 1 и 2 равна \(\frac36=\frac12\), поэтому
\(P(A\mid\text{второй})=2\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac12\).
До бросков кубики выбирались с равными вероятностями. Наблюдаемое событие на втором кубике происходит в 9 раз вероятнее, чем на обычном, поэтому после получения такой пары шансы относятся как \(9:1\):
\(P(\text{второй}\mid A)=\frac{\frac12}{\frac12+\frac1{18}}=\frac9{10}=0,9\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15370.
Верный ответ: 0,9
Обозначим через \(x\) вероятность когда-нибудь попасть из 0 в -1. Вероятность шага вниз равна \(q=1-p=\frac{9}{19}\).
Рассмотрим первый шаг:
— с вероятностью \(q\) последовательность сразу попадает в -1;
— с вероятностью \(p\) она попадает в 1. Чтобы после этого достичь -1, нужно сначала спуститься из 1 в 0, а затем из 0 в -1. Из-за одинаковых правил на каждом уровне вероятность каждого такого спуска на единицу равна \(x\), поэтому вероятность двух последовательных этапов равна \(x^2\).
Получаем уравнение \(x=q+px^2\). Его корни: \(1\) и \(\frac{q}{p}\). Здесь \(p>q\), то есть движение вверх вероятнее движения вниз, поэтому попадание в -1 не является достоверным событием и корень \(x=1\) не подходит.
Следовательно, \(x=\frac{q}{p}=\frac{9/19}{10/19}=\frac{9}{10}=0,9\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15368.
Верный ответ: 0,7
Обозначим через \(x\) вероятность когда-нибудь попасть из 0 в -1. Вероятность шага вниз равна \(q=1-p=\frac{7}{17}\).
Рассмотрим первый шаг:
— с вероятностью \(q\) последовательность сразу попадает в -1;
— с вероятностью \(p\) она попадает в 1. Чтобы после этого достичь -1, нужно сначала спуститься из 1 в 0, а затем из 0 в -1. Из-за одинаковых правил на каждом уровне вероятность каждого такого спуска на единицу равна \(x\), поэтому вероятность двух последовательных этапов равна \(x^2\).
Получаем уравнение \(x=q+px^2\). Его корни: \(1\) и \(\frac{q}{p}\). Здесь \(p>q\), то есть движение вверх вероятнее движения вниз, поэтому попадание в -1 не является достоверным событием и корень \(x=1\) не подходит.
Следовательно, \(x=\frac{q}{p}=\frac{7/17}{10/17}=\frac{7}{10}=0,7\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15366.
Верный ответ: 0,84
У Маши уже есть 4 из 10 принцесс, поэтому вероятность получить в одном яйце уже имеющуюся принцессу равна \(\frac{4}{10}=0,4\).
Удобнее рассмотреть противоположное событие: новая принцесса не попадётся ни в первом, ни во втором яйце. Для этого оба раза должна попасться одна из уже имеющихся принцесс. Так как содержимое яиц независимо, вероятности перемножаются:
\(P(\text{две повторные принцессы})=\left(\frac{4}{10}\right)^2=0,16\).
Значит, вероятность получить новую принцессу не позднее второй покупки равна \(1-\left(\frac{4}{10}\right)^2=0,84\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15364.
Верный ответ: 0,91
У Маши уже есть 3 из 10 принцесс, поэтому вероятность получить в одном яйце уже имеющуюся принцессу равна \(\frac{3}{10}=0,3\).
Удобнее рассмотреть противоположное событие: новая принцесса не попадётся ни в первом, ни во втором яйце. Для этого оба раза должна попасться одна из уже имеющихся принцесс. Так как содержимое яиц независимо, вероятности перемножаются:
\(P(\text{две повторные принцессы})=\left(\frac{3}{10}\right)^2=0,09\).
Значит, вероятность получить новую принцессу не позднее второй покупки равна \(1-\left(\frac{3}{10}\right)^2=0,91\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15362.
Верный ответ: 0,17
После одного броска сумма не может превысить 9, поэтому нужны пары результатов, сумма которых больше 9.
Это пары с суммами 10, 11 и 12. Для суммы 10 есть 3 пары: \((4;6),(5;5),(6;4)\); для суммы 11 — 2 пары; для суммы 12 — 1 пара. Всего \(3+2+1=6\) пар из 36.
\(P=\frac{6}{36}=0,1666\ldots\). После округления до сотых получаем 0,17.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 15360.
