Решайте задания по одному, проверяйте себя сразу и открывайте подсказки там, где нужно.
Верный ответ: -2
Заметим, что \(152^\circ=180^\circ-28^\circ\). Во II четверти косинус меняет знак:
\(\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha\).
Поэтому \(\cos152^\circ=-\cos28^\circ\), и
\(\frac{2\cos28^\circ}{\cos152^\circ}=\frac{2\cos28^\circ}{-\cos28^\circ}=-2\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10314.
Верный ответ: -5
Используем формулу понижения степени:
\(\cos^2 x=\frac{1+\cos2x}{2}\).
При \(x=\frac{5\pi}{8}\) получаем
\(\cos^2\frac{5\pi}{8}=\frac{1+\cos\frac{5\pi}{4}}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt2}{4}\).
Также \(\sqrt{200}=10\sqrt2\), а \(\sqrt{50}=5\sqrt2\). Тогда
\(10\sqrt2\cdot\frac{2-\sqrt2}{4}-5\sqrt2\)
\(=5\sqrt2-5-5\sqrt2=-5\).
Слагаемые с \(\sqrt2\) сокращаются.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10295.
Верный ответ: -2
Угол \(105^\circ=90^\circ+15^\circ\). Для таких углов
\(\operatorname{tg}(90^\circ+\alpha)=-\operatorname{ctg}\alpha=-\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\).
Значит,
\(\operatorname{tg}105^\circ=-\frac{1}{\operatorname{tg}15^\circ}\).
Подставим это в выражение:
\(2\operatorname{tg}15^\circ\cdot\left(-\frac{1}{\operatorname{tg}15^\circ}\right)=-2\).
Тангенс \(15^\circ\) сокращается со своим обратным числом.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10276.
Верный ответ: 2
Логарифмы имеют одинаковое основание, поэтому их разность можно заменить логарифмом частного:
\(\log_6 126-\log_6 3{,}5=\log_6\frac{126}{3{,}5}\).
Поскольку \(126:3{,}5=36\), получаем
\(\log_6 36=\log_6 6^2=2\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10257.
Верный ответ: 5
При возведении степени в степень показатели перемножаются:
\(\left(3^{\log_7 5}\right)^{\log_3 7}=3^{\log_7 5\cdot\log_3 7}\).
Произведение логарифмов сворачивается по формуле
\(\log_3 7\cdot\log_7 5=\log_3 5\).
Поэтому выражение равно
\(3^{\log_3 5}=5\): степень с основанием 3 и логарифм по основанию 3 взаимно уничтожают друг друга.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10238.
Верный ответ: -0,75
Используем основное тригонометрическое тождество:
\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).
Так как \(\cos\alpha=\frac{\sqrt7}{4}\), то
\(\sin^2\alpha=1-\frac{7}{16}=\frac{9}{16}\), откуда \(|\sin\alpha|=\frac34\).
Промежуток \((\pi;2\pi)\) соответствует нижней полуплоскости — III и IV четвертям, где синус отрицателен. Поэтому
\(\sin\alpha=-\frac34=-0{,}75\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10219.
Верный ответ: 2
Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного:
\(\log_6 144-\log_6 4=\log_6\frac{144}{4}=\log_6 36\).
Так как \(36=6^2\), получаем \(\log_6 36=2\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10200.
Верный ответ: 4
Представим \(81\) как степень числа 3: \(81=3^4\). По свойству логарифма степени
\(\log_7 81=\log_7 3^4=4\log_7 3\).
Следовательно,
\(\frac{\log_7 81}{\log_7 3}=\frac{4\log_7 3}{\log_7 3}=4\).
Основание логарифма менять не нужно: оба логарифма уже имеют одно и то же основание.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10181.
Верный ответ: 3
Число \(125\) является третьей степенью числа 5: \(125=5^3\). Поэтому
\(\log_9 125=\log_9 5^3=3\log_9 5\).
Тогда
\(\frac{\log_9 125}{\log_9 5}=\frac{3\log_9 5}{\log_9 5}=3\).
Одинаковый ненулевой множитель \(\log_9 5\) в числителе и знаменателе сокращается.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10162.
Верный ответ: 0
Сначала преобразуем исходную функцию:
\(p(x)=\frac{x(-20-x)}{x+10}=-\frac{x(x+20)}{x+10}\).
Теперь подставим вместо аргумента \(-20-x\):
\(p(-20-x)=\frac{(-20-x)\bigl(-20-(-20-x)\bigr)}{(-20-x)+10}\)
\(=\frac{(-20-x)x}{-10-x}=\frac{x(x+20)}{x+10}\).
Получилось число, противоположное \(p(x)\), то есть \(p(-20-x)=-p(x)\). Поэтому их сумма равна нулю.
Ограничение \(x\ne-10\) необходимо, потому что при \(x=-10\) знаменатель обращается в ноль.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10143.
