Линия заданий 8, Тесты ЕГЭ 2027 по математике профильной

10312. На рисунке изображён график функции \( y = f(x) \). Найдите точку, в которой функция \( f(x) \) принимает наибольшее значение на отрезке [-4; 3].

Верный ответ: 3

Нужно найти не наибольшую ординату, а абсциссу точки, в которой достигается наибольшее значение функции. Рассматриваем только часть графика при \(x\in[-4;3]\) и сравниваем высоты графика, включая концы отрезка.
Локальный максимум в левой части имеет меньшую высоту, чем значение функции в правом конце отрезка. Самая высокая точка рассматриваемой части графика соответствует \(x=3\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10312.

10293. На рисунке изображён график функции \( y = f(x) \), определённой на интервале (-6; 6). Найдите количество решений уравнения \( f'(x) = 0 \) на отрезке \([-5{,}5; 4]\).

Верный ответ: 6

Равенство \(f'(x)=0\) означает, что касательная к графику функции горизонтальна. На данном рисунке такие касательные получаются в вершинах «горбов» и в нижних точках «впадин».
На отрезке \([-5{,}5;4]\) видны три точки локального максимума и три точки локального минимума. Крайняя впадина справа расположена за пределами этого отрезка и не учитывается. Всего внутри заданного промежутка шесть решений уравнения.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10293.

10274. На рисунке изображены график функции \( y = f(x) \) и касательная к нему в точке с абсциссой \({x_0}\). Найдите значение производной функции \( f(x) \) в точке \({x_0}\).

Верный ответ: 0,75

Производная в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту проведённой касательной. На касательной отмечены удобные точки \((-3;-3)\) и \((5;3)\).
Изменение ординаты равно \(3-(-3)=6\), а изменение абсциссы — \(5-(-3)=8\). Следовательно, \(f'(x_0)=k=\dfrac{6}{8}=\dfrac34=0{,}75\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10274.

10255. На рисунке изображён график некоторой функции \( y = f(x) \). Пользуясь рисунком, найдите интеграл \( \int\limits_{ - 7}^{ - 1} {f(x)dx} \).

Верный ответ: 10

Определённый интеграл равен алгебраической площади между графиком и осью \(Ox\). На всём промежутке \([-7;-1]\) график расположен не ниже оси, поэтому площади складываются со знаком «плюс».
На отрезке \([-7;-5]\) получается треугольник с основанием 2 и высотой 2: \(S_1=\dfrac{2\cdot2}{2}=2\). На отрезке \([-5;-1]\) находится прямоугольник со сторонами 4 и 2: \(S_2=4\cdot2=8\). Поэтому интеграл равен \(S_1+S_2=2+8=10\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10255.

10236. На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены точки -7, -3, 1, 7. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Верный ответ: 7

Производная показывает наклон касательной к графику. В точках \(x=-7\) и \(x=-3\) график поднимается, поэтому производная положительна. При \(x=1\) и \(x=7\) график опускается, поэтому производная отрицательна.
Около \(x=7\) график идёт вниз заметно круче, чем около \(x=1\). Значит, наклон касательной там наиболее отрицательный, то есть значение производной наименьшее.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10236.

10217. На рисунке изображены график функции \( y = f'(x) \) - производной функции \( f(x) \), и семь точек на оси абсцисс: \({x_1}, {x_2}, {x_3}\) ... \({x_7}\). В скольких из этих точек функция \( f(x) \) возрастает?

Верный ответ: 5

Функция \(f(x)\) возрастает там, где её производная положительна: \(f'(x)>0\). На графике производной это означает, что соответствующая точка графика находится выше оси \(Ox\).
Выше оси расположены значения производной при \(x_1, x_4, x_5, x_6\) и \(x_7\). При \(x_2\) и \(x_3\) график находится ниже оси, поэтому в этих точках функция убывает. Подходят пять отмеченных точек.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10217.

10198. На рисунке изображены график функции \( y = f(x) \) и касательная к нему в точке с абсциссой \({x_0}\). Найдите значение производной функции \( y = f(x) \) в точке \({x_0}\).

Верный ответ: 0,25

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной: \(f'(x_0)=k\). Возьмём две отмеченные точки касательной: \((-4;1)\) и \((4;3)\).
При увеличении \(x\) на \(4-(-4)=8\) значение \(y\) увеличивается на \(3-1=2\). Поэтому \(k=\dfrac{2}{8}=\dfrac14=0{,}25\). Касательная поднимается слева направо, поэтому знак производной положительный.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10198.

10179. На рисунке изображён график \( y = f'(x) \) - производной функции \( f(x) \), определённой на интервале \( (-7; 14) \). Найдите количество точек экстремума функции \( f(x) \), принадлежащих отрезку \( [-6; 9] \).

Верный ответ: 1

Точка экстремума функции \(f(x)\) появляется там, где производная равна нулю и меняет знак. На отрезке \([-6;9]\) график \(f'(x)\) пересекает ось \(Ox\) только один раз — при \(x=7\).
Перед этой точкой производная положительна, а после неё отрицательна, поэтому функция переходит от возрастания к убыванию. Остальные пересечения графика производной с осью находятся правее заданного отрезка, поэтому на нём имеется одна точка экстремума.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10179.

10160. На рисунке изображён график \( y = f'(x) \) - производной функции \( f(x) \), определённой на интервале \( (-5; 5) \). Найдите количество точек максимума функции \( f(x) \), принадлежащих отрезку \( [-3; 4] \).

Верный ответ: 2

В точке максимума функция сначала возрастает, а затем убывает. Для производной это означает смену знака с «плюса» на «минус»: график \(f'(x)\) должен пересечь ось \(Ox\) сверху вниз.
На отрезке \([-3;4]\) такой переход происходит дважды — при \(x=0\) и при \(x=3\). Пересечение между ними, где производная меняет знак с «минуса» на «плюс», соответствует минимуму функции и не учитывается.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10160.

10141. На рисунке изображён график \( y = f'(x) \) - производной функции \( f(x) \), определённой на интервале \( (-5; 7) \). Найдите точку экстремума функции \( f(x) \), принадлежащую отрезку \( [-3; 5] \).

Верный ответ: 3

Экстремум функции возможен в нуле производной, но важно проверить ещё и смену её знака. При \(x=3\) график \(f'(x)\) пересекает ось абсцисс снизу вверх.
Следовательно, слева от 3 производная отрицательна и функция \(f(x)\) убывает, а справа производная положительна и функция возрастает. Поэтому при \(x=3\) функция имеет минимум.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10141.

Для вас приятно генерировать тесты, создавайте их почаще

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Линия заданий 8, ЕГЭ 2027 по математике профильной