Линия заданий 9, Тесты ЕГЭ 2027 по математике профильной

10505. Зависимость объёма спроса $ q $ (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены $ p $ (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой $ q=110-5p $. Выручка предприятия $r $ (в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле $ r(p)=q⋅p $. Определите наибольшую цену $ p $, при которой месячная выручка $ r(p) $ составит не менее 600 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. за ед.

Верный ответ: 12

Выручка должна быть не меньше 600 тыс. руб., поэтому составляем неравенство:
$$p(110-5p)\ge600.$$
После переноса и деления на $-5$ знак меняется:
$$p^2-22p+120\le0.$$
Корни: $p=10$ и $p=12$. Поскольку коэффициент при $p^2$ положительный, квадратный трёхчлен не превышает нуля на промежутке между корнями. Значит, подходят цены от 10 до 12 тыс. руб. за единицу, а для наибольшей цены берётся правая граница промежутка.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10505.

10486. Зависимость объёма спроса $ q $ (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены $ p $ (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой $ q=70-5p $. Выручка предприятия $r $ (в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле $ r(p)=q⋅p $. Определите наибольшую цену $ p $, при которой месячная выручка $ r(p) $ составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. за ед.

Верный ответ: 8

Подставляем спрос $q=70-5p$ в формулу выручки и учитываем требование «не менее 240»:
$$p(70-5p)\ge240.$$
Перенесём всё в одну сторону и разделим на $-5$, изменив знак неравенства:
$$p^2-14p+48\le0.$$
Корни квадратного трёхчлена равны 6 и 8. Парабола $p^2-14p+48$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $6\le p\le8$. Условие просит наибольшую допустимую цену, поэтому выбирается правый конец этого промежутка.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10486.

10467. Наблюдатель, находящийся на высоте $h$ м над поверхностью земли, видит линию горизонта на расстоянии $l$ км, которое можно найти по формуле $l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$, где $R=6400$ км — радиус Земли.
Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 километра. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На сколько ступенек ему нужно подняться, чтобы он увидел горизонт на расстоянии 9,6 километра?

Верный ответ: 27

Высоту наблюдателя удобно выразить через расстояние до горизонта:
$$h=\frac{500l^2}{6400}=\frac{5l^2}{64}.$$
При $l=4{,}8$ км имеем $h_1=1{,}8$ м. Для $l=9{,}6$ км получаем $h_2=7{,}2$ м.
Следовательно, высоту нужно увеличить на $7{,}2-1{,}8=5{,}4$ м. Так как 20 см — это 0,2 м, количество ступенек определяется выражением $5{,}4:0{,}2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10467.

10448. Наблюдатель, находящийся на высоте $h$ м над поверхностью земли, видит линию горизонта на расстоянии $l$ км, которое можно найти по формуле $l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$, где $R=6400$ км — радиус Земли.
Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 6,4 километра. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На сколько ступенек ему нужно подняться, чтобы он увидел горизонт на расстоянии 11,2 километра?

Верный ответ: 33

Из равенства $l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$ получаем формулу для высоты:
$$h=\frac{500l^2}{R}=\frac{5l^2}{64}.$$
При видимости горизонта на 6,4 км человек находится на высоте $h_1=3{,}2$ м. Чтобы видеть горизонт на 11,2 км, нужна высота
$$h_2=\frac{5\cdot11{,}2^2}{64}=9{,}8\text{ м}.$$
Разность высот равна $9{,}8-3{,}2=6{,}6$ м. Переводим высоту ступеньки: 20 см $=0{,}2$ м, после чего делим требуемый подъём на высоту одной ступеньки: $6{,}6:0{,}2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10448.

10429. Наблюдатель, находящийся на высоте $h$ м над поверхностью земли, видит линию горизонта на расстоянии $l$ км, которое можно найти по формуле $l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$, где $R=6400$ км — радиус Земли.
Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 километра. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На сколько ступенек ему нужно подняться, чтобы он увидел горизонт на расстоянии 6,4 километра?

Верный ответ: 7

Сначала выразим высоту: $h=\frac{500l^2}{R}=\frac{5l^2}{64}$.
Для расстояния до горизонта $4{,}8$ км получаем $h_1=1{,}8$ м, а для $6{,}4$ км — $h_2=3{,}2$ м.
Важно найти не всю конечную высоту, а на сколько человек должен подняться:
$$h_2-h_1=3{,}2-1{,}8=1{,}4\text{ м}.$$
Высота одной ступеньки 20 см $=0{,}2$ м, поэтому число ступенек находят делением $1{,}4:0{,}2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10429.

10410. Наблюдатель, находящийся на высоте $h$ м над поверхностью земли, видит линию горизонта на расстоянии $l$ км, которое можно найти по формуле $l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$, где $R=6400$ км — радиус Земли.
Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 километра. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На сколько ступенек ему нужно подняться, чтобы он увидел горизонт на расстоянии 8 километров?

Верный ответ: 16

Преобразуем данную формулу, чтобы находить высоту по расстоянию до горизонта:
$$h=\frac{500l^2}{6400}=\frac{5l^2}{64}.$$
Исходному расстоянию $4{,}8$ км соответствует высота
$$h_1=\frac{5\cdot4{,}8^2}{64}=1{,}8\text{ м},$$
а расстоянию 8 км — высота
$$h_2=\frac{5\cdot8^2}{64}=5\text{ м}.$$
Подняться нужно на $5-1{,}8=3{,}2$ м. Одна ступенька имеет высоту 20 см $=0{,}2$ м, поэтому количество ступенек равно $3{,}2:0{,}2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10410.

10391. Наблюдатель, находящийся на высоте $h$ м над поверхностью земли, видит линию горизонта на расстоянии $l$ км, которое можно найти по формуле $l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$, где $R=6400$ км — радиус Земли.
Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 километра. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 10 см. На сколько ступенек ему нужно подняться, чтобы он увидел горизонт на расстоянии 6,4 километра?

Верный ответ: 14

Из формулы расстояния до горизонта выразим высоту наблюдателя:
$$l^2=\frac{Rh}{500},\qquad h=\frac{500l^2}{R}=\frac{5l^2}{64},$$
так как $R=6400$ км.
При $l=4{,}8$ км высота равна $h_1=\frac{5\cdot4{,}8^2}{64}=1{,}8$ м, а при $l=6{,}4$ км — $h_2=\frac{5\cdot6{,}4^2}{64}=3{,}2$ м.
Нужно подняться на $3{,}2-1{,}8=1{,}4$ м. Высота ступеньки 10 см, то есть 0,1 м, поэтому число ступенек находят делением $1{,}4:0{,}1$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10391.

10372. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому $P=\sigma ST^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $\sigma=5{,}7\cdot10^{-8}\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot\text{К}^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $S=\frac1{256}\cdot10^{21}$ м², а мощность её излучения равна $5{,}7\cdot10^{25}$ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Верный ответ: 4000

Из закона Стефана–Больцмана выразим четвёртую степень температуры:
$$T^4=\frac{P}{\sigma S}.$$
Подставляем данные:
$$T^4=\frac{5{,}7\cdot10^{25}}{5{,}7\cdot10^{-8}\cdot\frac1{256}\cdot10^{21}}=256\cdot10^{12}.$$
Заметим, что $256=4^4$, а $10^{12}=(10^3)^4$. Поэтому
$$T=4\cdot10^3\text{ К}.$$
Берём положительный корень, поскольку физическая температура в кельвинах не может быть отрицательной.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10372.

10353. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе показателей информативности $ In $, оперативности $ Op $, объективности $ Tr $ публикаций, а также качества $ Q $ сайта. Каждый отдельный показатель - целое число от -2 до 2. Составители рейтинга считают, что объективность ценится вдвое, а информативность публикаций - втрое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид $$ R = \frac{{3In + Op + 2Tr + Q}}{A} $$ Найдите, каким должно быть число A, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг 1.

Верный ответ: 14

Максимальное значение каждого показателя равно 2, поэтому в числитель подставляем $In=Op=Tr=Q=2$:
$$3\cdot2+2+2\cdot2+2=6+2+4+2=14.$$
Рейтинг должен быть равен 1. Дробь равна 1 тогда, когда её знаменатель равен числителю, поэтому коэффициент $A$ должен совпадать с найденным максимальным значением числителя.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10353.

10334. Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C = 3 ⋅ 10^-6 Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $ R $ = 5 ⋅ 10⁶ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе ${U_0}$ = 9 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U $ (кВ) за время, определяемое выражением $ t = \alpha RC{\log _2}\frac{{{U_0}}}{U} $ (с), где $ \alpha = 1,1\frac{с}{{Ом \cdot Ф}} $ - постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 33 секунды. Ответ дайте в кВ (киловольтах).

Верный ответ: 2,25

Сначала вычислим коэффициент перед логарифмом:
$$\alpha RC=1{,}1\cdot5\cdot10^6\cdot3\cdot10^{-6}=16{,}5.$$
Так как прошло 33 секунды, получаем:
$$33=16{,}5\log_2\frac9U,$$
поэтому $\log_2\frac9U=2$. По определению логарифма это означает, что
$$\frac9U=2^2=4.$$
Отсюда $U=\frac94=2{,}25$ кВ.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10334.

Для вас приятно генерировать тесты, создавайте их почаще

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Линия заданий 9, ЕГЭ 2027 по математике профильной