Линия заданий 26, Тесты ЕГЭ 2027 по физике

21519. Тело массой 4,2 кг движется со скоростью 4,7 м/с и сталкивается с телом массой 2,3 кг, движущимся ему навстречу со скоростью 2,9 м/с. Определите максимальную потенциальную энергию взаимодействия тел во время абсолютно упругого удара. Какие законы вы используете для описания характера изменения энергии тела? Обоснуйте их применимость к данному случаю.

Потенциальная энергия взаимодействия тел при упругом ударе будет максимальна в момент наибольшей деформации тел, т.е. в тот момент, когда они перестанут сближаться и, следовательно, будут двигаться с одинаковой скоростью.

Таким образом, для интересующего нас момента времени закон сохранения импульса будет иметь вид

\( {m_1}{{\vec \upsilon }_1} + {m_2}{{\vec \upsilon }_2} = ({m_1} + {m_2})\vec u \)

Спроецируем это уравнение на направление движения первого тела:

\( {m_1}{\upsilon _1} - {m_2}{\upsilon _2} = ({m_1} + {m_2})u \)

По закону сохранения энергии

\( \frac{{{m_1}\upsilon _1^2}}{2} + \frac{{{m_2}\upsilon _2^2}}{2} \) = \( {E_T} + \frac{{({m_1} + {m_2}){u^2}}}{2} \)

Выразим неизвестную скорость \( u \) из закона сохранения импульса:

\( u = \frac{{{m_1}{\upsilon _1} - {m_2}{\upsilon _2}}}{{{m_1} + {m_2}}} \)

и подставим в закон сохранения энергии:

\( 2{E_T} = {m_1}\upsilon _1^2 + {m_2}\upsilon _2^2 - \) \( ({m_1} + {m_2})\frac{{{{({m_1}{\upsilon _1} - {m_2}{\upsilon _2})}^2}}}{{{{({m_1} + {m_2})}^2}}} \Rightarrow \)

\( 2{E_T}({m_1} + {m_2}) = m_1^2\upsilon _1^2 + {m_1}{m_2}\upsilon _1^2 \) \( + {m_2}{m_1}\upsilon _2^2 + m_2^2\upsilon _2^2 - m_1^2\upsilon _1^2 \) \( + 2{m_1}{m_2}{\upsilon _1}{\upsilon _2} - m_2^2\upsilon _2^2 \Rightarrow \)

\( 2{E_T}({m_1} + {m_2}) = {m_1}{m_2}(\upsilon _1^2 + 2{\upsilon _1}{\upsilon _2} + \upsilon _2^2) \Rightarrow \)

\( {E_T} = \frac{{{m_1}{m_2}{{({\upsilon _1} + {\upsilon _2})}^2}}}{{2({m_1} + {m_2})}} \) = 43 Дж

Ответ: \( {E_T} \) = 43 Дж

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21519.

21518. На нити длиной 39 см подвешен маленький шарик массой 720 г. В него попадает пуля массой 9,0 г и застревает в нём. Если скорость пули была 150 м/с, то на какой угол отклонится шарик от первоначального положения? Какие законы вы используете для описания характера изменения энергии тела? Обоснуйте их применимость к данному случаю.

Обоснование

Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).

Шарик и пулю в данных условиях можно считать материальными точками. При отсутствии силы сопротивления воздуха и трения в инерциальной системе отсчёта для шарика и пули применим закон сохранения импульса при абсолютно неупругом ударе. Внешняя сила тяжести действует в течение очень малого промежутка времени взаимодействия, поэтому этим действием можно пренебречь.

После удара на шарик с пулей действует потенциальная сила (сила тяжести), сила натяжения нити перпендикулярна скорости шарика (а значит, работа этой силы равна нулю). Следовательно, механическая энергия сохраняется.

Решение

Во время взаимодействия пули с шариком механическая энергня не сохраняется, так как удар абсолютно неупругий, но сохраняется импульс, то есть

\( m{\upsilon _0} = (m + M)\upsilon \),

где \( \upsilon \) — скорость шарика вместе с пулей сразу же после удара.

По закону сохранения энергии

\( \frac{{(m + M){\upsilon ^2}}}{2} = \) \( (m + M)gh \Rightarrow {\upsilon ^2} = 2gh \)

Учитывая, что по закону сохранения импульса \( \upsilon = \frac{{m{\upsilon _0}}}{{m + M}} \) получим

\( \frac{{{m^2}\upsilon _0^2}}{{{{(m + M)}^2}}} = 2gh \)

Из рисунка ясно, что \( h = l - l\cos \alpha = l(1 - \cos \alpha ) \)

\( \frac{{{m^2}\upsilon _0^2}}{{{{(m + M)}^2}}} = 2gl(1 - \cos \alpha ) \)

\( 1 - \cos \alpha = \frac{{{m^2}\upsilon _0^2}}{{2gl{{(m + M)}^2}}} \)

\( \cos \alpha = 1 - \frac{{{m^2}\upsilon _0^2}}{{2gl{{(m + M)}^2}}} \)

\( \alpha = \arccos \left( {1 - \frac{{{m^2}\upsilon _0^2}}{{2gl{{(m + M)}^2}}}} \right) \) \( = \arccos (0,56) = 56^\circ \)

Ответ: \( \alpha \) = 56 °

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21518.

21517. Свинцовый шар подвешен на нити и полностью погружён в воду (см. рисунок). Нить образует с вертикалью угол \( \alpha \) = 30°. Модуль силы, с которой нить действует на шар, \( T \) = 30 Н. Плотность свинца \( \rho \) = 11300 кг/м³. Чему равна масса шара? Трением шара о стенку пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на шар. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Обоснование

1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).

2. Описываем шар моделью твёрдого тела (форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным).

3. Любое движение твёрдого тела является суперпозицией поступательного и вращательного движений. Поэтому условий равновесия твёрдого тела в ИСО ровно два: одно для поступательного движения (сумма внешних сил равна нулю), другое — для вращательного движения (сумма моментов внешних сил равна нулю).

4. В данной задаче шар целиком погружён в жидкость. Кроме того, отсутствует трение между шаром и стенкой сосуда. Поэтому все внешние силы, действующие на шар, кроме силы натяжения нити, заведомо действуют по прямым, проходящим через центр шара. Значит, сумма моментов этих сил относительно оси, проходящей через центр шара, равна нулю. Но при равновесии шара в ИСО сумма моментов всех внешних сил равна нулю. Следовательно, и момент силы натяжения нити относительно оси, проходящей через центр шара, тоже равен нулю, поэтому сама эта сила действует по прямой, проходящей через центр шара.

Решение

Запишем второй закон Ньютона: \( \vec T + m\vec g + \vec N + {{\vec F}_A} = 0 \).
В проекциях на оси \( Ox \) и \( Oy \) второй закон Ньютона запишем в виде:

\( Ox:N - T\sin \alpha = 0 \)

\( Oy:mg - T\cos \alpha - {F_A} = 0 \)

Объём шара \( V = \frac{m}{\rho } \)

Величина выталкивающей силы \( {F_A} \), определяется по закону Архимеда:

\( {F_A} = {\rho _0}gV = mg\frac{{{\rho _0}}}{\rho } \), (3)

где \( {{\rho _0}} \) — плотность воды.

Выполняя математические преобразования с формулами (2) и (3), получим:

\( m = \frac{{\rho T\cos \alpha }}{{g(\rho - {\rho _0})}} \) = \( m = \frac{{\rho T\cos \alpha }}{{g(\rho - {\rho _0})}} \) ≈ 2,85 кг

Ответ: m ≈ 42 Н

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21517.

21516. Свинцовый шар массой 4 кг подвешен на нити и полностью погружён в воду (см. рисунок). Нить образует с вертикалью угол \( \alpha \) = 30°. Определите силу, с которой нить действует на шар. Плотность свинца \( \rho \) = 11300 кг/м³. Трением шара о стенку пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на шар. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Обоснование

1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).

2. Описываем шар моделью твёрдого тела (форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным).

3. Любое движение твёрдого тела является суперпозицией поступательного и вращательного движений. Поэтому условий равновесия твёрдого тела в ИСО ровно два: одно для поступательного движения (сумма внешних сил равна нулю), другое — для вращательного движения (сумма моментов внешних сил равна нулю).

4. В данной задаче шар целиком погружён в жидкость. Кроме того, отсутствует трение между шаром и стенкой сосуда. Поэтому все внешние силы, действующие на шар, кроме силы натяжения нити, заведомо действуют по прямым, проходящим через центр шара. Значит, сумма моментов этих сил относительно оси, проходящей через центр шара, равна нулю. Но при равновесии шара в ИСО сумма моментов всех внешних сил равна нулю. Следовательно, и момент силы натяжения нити относительно оси, проходящей через центр шара, тоже равен нулю, поэтому сама эта сила действует по прямой, проходящей через центр шара.

Решение

Запишем второй закон Ньютона: \( \vec T + m\vec g + \vec N + {{\vec F}_A} = 0 \).
В проекциях на оси \( Ox \) и \( Oy \) второй закон Ньютона запишем в виде:

\( Ox:N - T\sin \alpha = 0 \)

\( Oy:mg - T\cos \alpha - {F_A} = 0 \)

Объём шара \( V = \frac{m}{\rho } \)

Величина выталкивающей силы \( {F_A} \), определяется по закону Архимеда:

\( {F_A} = {\rho _0}gV = mg\frac{{{\rho _0}}}{\rho } \), (3)

где \( {{\rho _0}} \) — плотность воды.

Выполняя математические преобразования с формулами (2) и (3), получим:

\( T = \frac{{mg(\rho - {\rho _0})}}{{\rho \cos \alpha }} \) = \( \frac{{4 \cdot 10 \cdot (11300 - 1000)}}{{11300 \cdot 0,866}} \) ≈ 42 Н

Ответ: T ≈ 42 Н

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 21516.

21480. Груз массой M = 800 г соединён невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок, с бруском массой m = 400 г. К этому бруску на лёгкой пружине жёсткостью k = 80 Н/м подвешен второй такой же брусок. Длина нерастянутой пружины \( l \) = 10 см, коэффициент трения груза о поверхность стола \( \mu \) = 0,2. Определите длину пружины при движении брусков, считая, что при этом движении она постоянна. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на тела. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.