Решайте задания по одному, проверяйте себя сразу и открывайте подсказки там, где нужно.
Верный ответ: 22,5
Подсказка: основания трапеции относятся как отрезки, на которые диагональ делит среднюю линию, то есть как 5:3. Так как средняя линия равна 30, сумма оснований равна 60. Меньшее основание: \(60 \cdot 3/8 = 22,5\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24341.
Верный ответ: 28,8
Подсказка: диагональ трапеции делит среднюю линию на отрезки, равные половинам оснований, поэтому основания относятся как 2:3. Средняя линия равна полусумме оснований: \((a + b)/2 = 24\), значит \(a + b = 48\). Большее основание: \(48 \cdot 3/5 = 28,8\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24340.
Верный ответ: 127
Подсказка: для центра вписанной окружности \(O\) выполняется формула \(\angle AOC = 90° + \frac{\angle B}{2}\). Подставляем: \(90° + 74°/2 = 127°\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24339.
Верный ответ: 124
Подсказка: точка O — центр вписанной окружности. Для инцентра верна формула \(\angle AOC = 90° + \frac{\angle B}{2}\). Тогда \(\angle AOC = 90° + 68°/2 = 124°\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24338.
Верный ответ: 126
Во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°. Данные углы 54° и 78° не могут быть противоположными, потому что \(54°+78°=132°\), а не 180°. Значит они соседние.
Каждый из оставшихся углов дополняет один из данных до 180°: \(180°-54°=126°\) и \(180°-78°=102°\). Из этих двух углов больше 126°.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24337.
Верный ответ: 132
Подсказка: в четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. Данные углы не могут быть противоположными, значит оставшиеся углы равны \(180° - 48° = 132°\) и \(180° - 74° = 106°\). Больший из них — 132°.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24336.
Верный ответ: 0,92
Так как \(AB=BC\), треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, поэтому его углы при основании равны: \(\angle CAB=\angle ACB\). Точка H лежит на прямой BC, а \(AH \perp BC\), значит в прямоугольном треугольнике AHC
\(\sin \angle ACB=AH/AC=4\sqrt6/25\). Следовательно, таким же является синус угла CAB.
Угол CAB острый, поэтому его косинус положителен: \(\cos \angle CAB=\sqrt{1-96/625}=\sqrt{529/625}=23/25=0{,}92\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24335.
Верный ответ: 0,65
Подсказка: площадь можно выразить двумя способами: \(S = \frac12 \cdot BC \cdot AH\) и \(S = \frac12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A\). Так как \(AB = BC\), получаем \(AH = AC \cdot \sin A\). Тогда \(\sin A = 13 / 20 = 0,65\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24334.
Верный ответ: 2,5
Обозначим параллелограмм ABCD так, что биссектрисы соседних углов A и B пересекаются в точке E на стороне DC.
Для биссектрисы AE имеем \(\angle DAE=\angle EAB\). Так как \(AB \parallel DE\), угол \(EAB\) равен углу \(AED\). Поэтому треугольник ADE равнобедренный и \(DE=AD\). Аналогично из биссектрисы BE и параллельности \(AB \parallel EC\) получаем \(EC=BC\).
В параллелограмме \(AD=BC\), значит \(DE=EC=AD\). Следовательно, \(DC=DE+EC=2AD\), то есть одна сторона вдвое больше другой. Пусть меньшая сторона равна \(x\), тогда большая равна \(2x\). Полупериметр равен \(15:2=7{,}5\), поэтому \(x+2x=7{,}5\), откуда \(x=2{,}5\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24333.
Верный ответ: 14,7
Обозначим параллелограмм ABCD так, что A — вершина тупого угла, D — соседняя острая вершина, а биссектриса AE пересекает сторону DC в точке E. По условию \(DE:EC=3:4\).
Поскольку AE — биссектриса, \(\angle DAE=\angle EAB\). Стороны AB и DE параллельны, поэтому \(\angle EAB=\angle AED\). Значит в треугольнике ADE равны углы при A и E, следовательно, \(AD=DE\).
Таким образом, сторона AD соответствует 3 частям, а сторона \(AB=DC=DE+EC\) — \(3+4=7\) частям. Полупериметр равен \(42:2=21\), поэтому \(3x+7x=21\), откуда \(x=2{,}1\). Большая сторона равна \(7 \cdot 2{,}1=14{,}7\).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 24332.
