Линия заданий 18, Тесты ЕГЭ 2027 по математике профильной

10323. Найдите все значения $ a $, при каждом из которых наибольшее значение функции $ f(x) = \left| {x - a} \right| - {x^2} $ не меньше 1.

Верный ответ: $a\le-\dfrac34$ или $a\ge\dfrac34$.

Используем равенство
\[|x-a|=\max(x-a,\,a-x).\]
Тогда
\[f(x)=\max\bigl(-x^2+x-a,\,-x^2-x+a\bigr).\]
Первая парабола имеет наибольшее значение $\dfrac14-a$, вторая — $\dfrac14+a$. Следовательно, наибольшее значение исходной функции равно большему из этих чисел:
\[\max f(x)=\frac14+|a|.\]
По условию
\[\frac14+|a|\ge1\iff |a|\ge\frac34.\]

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10323.

10304. Найдите все значения $a $, при каждом из которых уравнение $ {a^2} + 11\left| {x + 2} \right| + 3\sqrt {{x^2} + 4x + 13} $ $ = 5a + 2\left| {x - 2a + 2} \right| $ имеет хотя бы один корень.

Верный ответ: $\left[\dfrac{9-3\sqrt5}{2};\dfrac{9+3\sqrt5}{2}\right]$.

Положим $u=x+2$. Тогда уравнение можно записать как равенство нулю выражения
\[a^2-5a+11|u|+3\sqrt{u^2+9}-2|u-2a|.\]
По неравенству треугольника
\[|u-2a|\le|u|+2|a|.\]
Поэтому
\[11|u|+3\sqrt{u^2+9}-2|u-2a|\ge9|u|+3\sqrt{u^2+9}-4|a|\ge9-4|a|.\]
Равенство достигается при $u=0$, значит, минимальное значение всей левой части равно
\[a^2-5a+9-4|a|.\]
Как функция от $u$, левая часть непрерывна и при $|u|\to\infty$ стремится к $+\infty$. Поэтому корень существует тогда и только тогда, когда найденный минимум не положителен.
При $a<0$ получаем $a^2-a+9\le0$, что невозможно. При $a\ge0$:
\[a^2-9a+9\le0.\]
Корни этого квадратного трёхчлена равны $\dfrac{9\pm3\sqrt5}{2}$, поэтому между ними неравенство выполняется.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10304.

10285. Найдите все значения $a $, при каждом из которых система $$ \left\{ \begin{array}{l} \left| {2{x^2} + {y^2} - 1} \right| + {y^2} + 4y = 0 \\ y = 0,5x + a \end{array} \right. $$ имеет два или три корня.

Верный ответ: $\left(-1-\dfrac{\sqrt{30}}4;-\dfrac38\right]\cup\left[-\dfrac{\sqrt2}4;\dfrac{\sqrt2}4\right)$.

Раскроем модуль в первом уравнении. Кривая состоит из двух частей:
\[x^2+(y+1)^2=\frac32,\quad y\le0,\]
и
\[y=\frac{x^2}{2}-\frac14,\quad |x|<\frac{\sqrt2}{2}.\]
То есть это нижняя дуга окружности и ограниченный участок параболы; они соединяются в точках $\left(\pm\dfrac{\sqrt2}{2};0\right)$. Вторая строка задаёт прямые $y=\dfrac12x+a$.
Критические положения прямой:
• $a=-1-\dfrac{\sqrt{30}}4$ — касание дуги окружности, поэтому имеется только одна точка;
• $a=-\dfrac38$ — касание параболы, и общее число точек становится равным трём;
• $a=-\dfrac{\sqrt2}4$ — прохождение через правую точку соединения частей кривой;
• $a=\dfrac{\sqrt2}4$ — прохождение через левую точку соединения.
Между первым и вторым критическими значениями прямая пересекает кривую в двух точках; при $a=-\dfrac38$ — в трёх. На промежутке $\left(-\dfrac38;-\dfrac{\sqrt2}4\right)$ появляются четыре точки, поэтому он не подходит. При $-\dfrac{\sqrt2}4\le a<\dfrac{\sqrt2}4$ остаются соответственно три или две точки. В крайних точках соединения совпадающие пересечения считаются одной точкой.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10285.

10266. Найдите все значения a, при каждом из которых модуль разности корней уравнения x² - 6x + 12 + a² - 4a = 0 принимает наибольшее значение.

Верный ответ: $a=2$.

Для приведённого квадратного уравнения модуль разности корней равен $\sqrt D$. Найдём дискриминант:
\[D=36-4(12+a^2-4a)=4\bigl(1-(a-2)^2\bigr).\]
Следовательно,
\[|x_1-x_2|=2\sqrt{1-(a-2)^2}.\]
Корни существуют при $1-(a-2)^2\ge0$. На этом отрезке выражение под корнем максимально, когда вычитаемый квадрат $(a-2)^2$ минимален. Квадрат принимает наименьшее значение $0$ только при $a=2$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10266.

10247. Найдите все значения $a$, при каждом из которых система $$ \left\{ \begin{array}{l} \left| {{x^2} - x - 6} \right| = {(y - 1)^2} + x - 7\\ 3y = 2x + a \end{array} \right. $$ имеет ровно одно или два решения.

Верный ответ: $( -\infty;-10)\cup(-9;-2]\cup[3;+\infty)$.

Раскроем модуль в первом уравнении. При $x\le-2$ или $x\ge3$ получаем
\[(y-1)^2=(x-1)^2,\]
то есть внешние части прямых $y=x$ и $y=2-x$. При $-2\le x\le3$ получаем дугу окружности
\[x^2+(y-1)^2=13.\]
Вторая строка системы задаёт семейство прямых
\[y=\frac23x+\frac a3.\]
Пересечение с ветвью $y=x$ существует при $a\le-2$ или $a\ge3$. Пересечение с ветвью $y=2-x$ существует при $a\le-9$ или $a\ge16$. Число пересечений с дугой меняется, когда прямая касается окружности или проходит через точки соединения частей кривой; критические значения параметра: $-10,-9,-2,3,16$.
Подсчёт различных точек пересечения даёт:
\[\begin{array}{c|ccccccccc} a&(-\infty,-10)&-10&(-10,-9)&-9&(-9,-2)&-2&(-2,3)&3&(3,+\infty)\\ \hline N&2&3&4&3&2&1&0&1&2 \end{array}\]
Нужны случаи, в которых $N=1$ или $N=2$. В точках соединения совпадающие пересечения считаются одной точкой, поэтому значения $-2$ и $3$ включаются.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10247.

10228. Найдите все неотрицательные значения $a $, при каждом из которых множество решений неравенства $$ 1 \le \frac{{2a + {x^2} - 4{{\log }_{1/3}}(4{a^2} - 4a + 9)}}{{5\sqrt {18{x^4} + 7{x^2}} + 2a + 4 + \log _{1/3}^2(4{a^2} - 4a + 9)}} $$ состоит из одной точки, и найдите это решение.

Верный ответ: при $a=0$ и $a=1$ множество решений равно $\{0\}$.

Обозначим
\[L=\log_{1/3}(4a^2-4a+9).\]
Знаменатель дроби положителен, поэтому неравенство можно умножить на него без изменения знака. После переноса слагаемых получаем
\[5\sqrt{18x^4+7x^2}\le x^2-(L+2)^2.\]
Если $x\ne0$, то
\[5\sqrt{18x^4+7x^2}>5\sqrt{18x^4}>x^2,\]
а правая часть не превосходит $x^2$. Такое неравенство невозможно. Следовательно, единственным возможным решением является $x=0$.
Подставляя $x=0$, получаем
\[0\le-(L+2)^2,\]
что возможно только при $L=-2$. Тогда
\[4a^2-4a+9=\left(\frac13\right)^{-2}=9,\]
то есть $4a(a-1)=0$. Оба найденных значения параметра неотрицательны, а других значений $x$ при них быть не может.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10228.

10209. Найдите все значения $k $, при каждом из которых уравнение $ \frac{{1 + (2 - 2k)\sin t}}{{\cos t - \sin t}} = 2k $ имеет хотя бы одно решение на интервале $ \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) $.

Верный ответ: $k>\dfrac12$, $k\ne\dfrac{2+\sqrt2}{2}$.

Знаменатель исходной дроби не должен обращаться в ноль, поэтому $t\ne\dfrac\pi4$. При допустимом $t$ умножим уравнение на $\cos t-\sin t$:
\[1+(2-2k)\sin t=2k(\cos t-\sin t).\]
Слагаемые с $k\sin t$ сокращаются, и получаем
\[k=\frac{1+2\sin t}{2\cos t}=\tan t+\frac{1}{2\cos t}.\]
На интервале $\left(0;\dfrac\pi2\right)$ обе функции справа строго возрастают. При $t\to0+$ их сумма стремится к $\dfrac12$, но этого значения не достигает, а при $t\to\dfrac\pi2-$ неограниченно возрастает. Поэтому возможны все $k>\dfrac12$, кроме значения, соответствующего запрещённой точке $t=\dfrac\pi4$:
\[k=1+\frac1{\sqrt2}=\frac{2+\sqrt2}{2}.\]

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10209.

10190. Найдите все значения $a $, при каждом из которых уравнение $ a{x^2} + 2(a + 2)x + (a + 5) = 0 $ имеет два корня, расстояние между которыми больше 1.

Верный ответ: $-2-2\sqrt5
При \(a=0$ уравнение не является квадратным, поэтому это значение сразу исключаем. Дискриминант равен
\[D=\bigl(2(a+2)\bigr)^2-4a(a+5)=4(4-a).\]
Расстояние между двумя корнями равно
\[\frac{\sqrt D}{|a|}=\frac{2\sqrt{4-a}}{|a|}.\]
Требуем, чтобы оно было больше $1$:
\[\frac{2\sqrt{4-a}}{|a|}>1\iff 4(4-a)>a^2.\]
Получаем
\[a^2+4a-16<0.\]
Корни этого трёхчлена: $-2-2\sqrt5$ и $-2+2\sqrt5$. Между ними неравенство выполняется, причём условие $D>0$ там также соблюдается. После исключения $a=0$ промежуток распадается на две части.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10190.

10171. Найдите все значения $a $, при каждом из которых уравнение $ a{x^2} + 2(a + 3)x + (a + 4) = 0 $ имеет два корня, расстояние между которыми больше 2.

Верный ответ: $1-\sqrt{10}
Чтобы уравнение оставалось квадратным, необходимо \(a\ne0$. Его дискриминант:
\[D=\bigl(2(a+3)\bigr)^2-4a(a+4)=4(2a+9).\]
Расстояние между корнями квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ равно $\dfrac{\sqrt D}{|A|}$. Здесь оно равно
\[\frac{2\sqrt{2a+9}}{|a|}.\]
По условию это расстояние больше $2$:
\[\frac{2\sqrt{2a+9}}{|a|}>2\iff \sqrt{2a+9}>|a|.\]
Обе части неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
\[2a+9>a^2\iff a^2-2a-9<0.\]
Корни последнего квадратного трёхчлена равны $1\pm\sqrt{10}$, значит, параметр лежит между ними. На этом промежутке дискриминант исходного уравнения положителен; остаётся исключить $a=0$, при котором уравнение становится линейным.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10171.

10152. Найдите все значения $a $, при каждом из которых уравнение $$ {x^4} - 2{x^3} - 4{x^2} + 10x - 5 - 2ax + 6a - {a^2} = 0 $$ имеет не менее трёх корней.

Верный ответ: $0\le a\le5$.

Многочлен раскладывается так:
\[x^4-2x^3-4x^2+10x-5-2ax+6a-a^2=(x^2+a-5)\bigl((x-1)^2-a\bigr).\]
Значит,
\[x^2=5-a\quad\text{или}\quad (x-1)^2=a.\]
Первое уравнение имеет действительные корни при $a\le5$, второе — при $a\ge0$. При $0При \(a=0$ второе уравнение даёт единственный корень $x=1$, а первое — ещё два. При $a=5$ первое уравнение даёт $x=0$, а второе — два других корня. Обе границы подходят, а вне отрезка $[0;5]$ корней не более двух.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10152.

Для вас приятно генерировать тесты, создавайте их почаще

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Линия заданий 18, ЕГЭ 2027 по математике профильной