Линия заданий 14, Тесты ЕГЭ по математике профильной

10509. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁, сторона AB основания равна 4, а боковое ребро AA₁ равно \( 2\sqrt 2 \). На рёбрах BC и C₁D₁, отмечены точки K и L соответственно, причём CK = 3, а C₁L = 1. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой - точка A₁, а основание - сечение данной призмы плоскостью γ.

б) \( \frac{{28\sqrt 2 }}{3} \)

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10509.

10490. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁, сторона AB основания равна 5, а боковое ребро AA₁ равно \( \sqrt 5 \). На рёбрах BC и C₁D₁, отмечены точки K и L соответственно, причём CK = 2, а C₁L = 1. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой - точка A₁, а основание - сечение данной призмы плоскостью γ.

б) \( \frac{{9\sqrt 5 }}{2} \)

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10490.

10471. На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 4 : 1, на ребре BB₁ - точка F так, что B₁F : FB = 3 : 2, а на ребре B₁C₁ - точка T так, что B₁T : TC₁ = 3 : 1. Известно, что AB = 3, AD = 4, AA₁ = 5.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁.

б) \( \arccos \sqrt {\frac{3}{{19}}} \)

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10471.

10452. На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 4 : 3, на ребре BB₁ - точка F так, что B₁F : FB = 2 : 5, а на ребре B₁C₁ - точка T - средина ребра B₁C₁. Известно, что AB = 3, AD = 4, AA₁ = 7.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁.

б) \( \arccos \sqrt {\frac{2}{{11}}} \)

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10452.

10433. На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 2 : 1, на ребре BB₁ - точка F так, что B₁F : FB = 1 : 5, а на ребре B₁C₁ - точка T так, что B₁T : TC₁ = 1 : 3. Известно, что AB = 5, AD = 4, AA₁ = 6.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁.

б) \( \arccos \frac{3}{{\sqrt {59} }} \)

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10433.

10414. На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 3 : 2, на ребре BB₁ - точка F так, что B₁F : FB = 2 : 3, а на ребре B₁C₁ - точка T так, что B₁T : TC₁ = 2 : 1. Известно, что AB = 4, AD = 3, AA₁ = 5.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁.

б) \( \arccos \frac{1}{{\sqrt {33} }} \)

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10414.

10395. На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, взята точка E так, что A₁E : EA = 3 : 1, на ребре BB₁ - точка F так, что B₁F : FB = 1 : 3, а на ребре B₁C₁, точка T так, что B₁T : TC₁ = 1 : 2. Известно, что AB = 4, AD = 3, AA₁ = 4.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁.

б) \( \arccos \frac{1}{3} \)

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10395.

10376. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.
а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.

б) 36

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10376.

10357. Площадь основания SABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 64, а площадь сечения пирамиды плоскостью SAC равна \( 32\sqrt 3 \).
а) Докажите, что угол между плоскостью основания пирамиды и боковым ребром равен 60°.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

\( 64\sqrt 7 \)

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10357.

10338. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно \( \sqrt {730} \).
а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

б) \( arctg\frac{{21}}{{17}} \)

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10338.

Для вас приятно генерировать тесты, создавайте их почаще

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Линия заданий 14, ЕГЭ по математике профильной