Линия заданий 18, Тесты ЕГЭ 2027 по математике профильной

10513. Найдите все значения $ a $, при каждом из которых система $$ \left\{ \begin{array}{l} 3x - 2y + z = 2{x^2} + {y^2}\\ - x + y + 3z = a \end{array} \right. $$ имеет единственное решение.

Верный ответ: $a=-\dfrac{33}{4}$.

Из первого уравнения системы
\[z=2x^2+y^2-3x+2y.\]
Подставим это выражение во второе уравнение:
\[a=6x^2+3y^2-10x+7y.\]
Выделим полные квадраты:
\[a=6\left(x-\frac56\right)^2+3\left(y+\frac76\right)^2-\frac{33}{4}.\]
Сумма квадратов неотрицательна. Поэтому при $a<-\dfrac{33}{4}$ решений нет, а при $a>-\dfrac{33}{4}$ уравнение задаёт эллипс и имеет бесконечно много пар $(x,y)$. Ровно одна пара получается лишь при минимальном значении правой части, когда оба квадрата равны нулю; после этого $z$ однозначно находится из первого уравнения.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10513.

10494. Найдите все значения $ a $, при каждом из которых система $$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z = 4{x^2} + {y^2}\\ 2x + y + 3z = a \end{array} \right. $$ имеет единственное решение.

Верный ответ: $a=-\dfrac5{96}$.

Из первого уравнения выразим $z$:
\[z=\frac{4x^2+y^2-x-y}{2}.\]
Подставим во второе уравнение:
\[a=6x^2+\frac32y^2+\frac12x-\frac12y.\]
Дополняя квадраты, получаем
\[a=6\left(x+\frac1{24}\right)^2+\frac32\left(y-\frac16\right)^2-\frac5{96}.\]
Правая часть не меньше $-\dfrac5{96}$. При меньшем $a$ решений нет. При большем $a$ получается эллипс, содержащий бесконечно много пар $(x,y)$, а для каждой пары значение $z$ определяется однозначно. Единственная пара $(x,y)$ возникает только в точке минимума, когда оба квадрата равны нулю.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10494.

10475. Найдите все значения $ a $, при каждом из которых уравнение $$ {\left( {2{x^2} - 2x + 3{a^2} + 2} \right)^2} = 24{a^2}\left( {{x^2} - x + 1} \right) $$ имеет ровно один корень.

Верный ответ: $a=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Обозначим $u=x^2-x+1$. Тогда выражение в первых скобках равно $2u+3a^2$, поэтому
\[(2u+3a^2)^2=24a^2u.\]
После раскрытия скобок и переноса правой части получаем полный квадрат:
\[(2u-3a^2)^2=0.\]
Следовательно,
\[x^2-x+1=\frac{3a^2}{2}.\]
Это квадратное уравнение имеет ровно один корень при $D=0$:
\[1-4\left(1-\frac{3a^2}{2}\right)=6a^2-3=0.\]
Отсюда $a^2=\dfrac12$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10475.

10456. Найдите все значения $ a $, при каждом из которых уравнение $$ {\left( {3{x^2} - 3x + {a^2} + 9} \right)^2} = 12{a^2}\left( {{x^2} - x + 3} \right) $$ имеет ровно один корень.

Верный ответ: $a=\pm\dfrac{\sqrt{33}}2$.

Пусть $u=x^2-x+3$. Тогда выражение в первых скобках равно $3u+a^2$, и уравнение принимает вид
\[(3u+a^2)^2=12a^2u.\]
Левая часть после переноса сворачивается:
\[(3u-a^2)^2=0.\]
Значит,
\[x^2-x+3=\frac{a^2}{3}.\]
Для единственного действительного корня дискриминант квадратного уравнения по $x$ должен быть равен нулю:
\[D=1-4\left(3-\frac{a^2}{3}\right)=0.\]
Получаем $a^2=\dfrac{33}{4}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10456.

10437. Найдите все значения $ a $, при каждом из которых уравнение $$ {\left( {6{x^2} - 6x + {a^2} + 6} \right)^2} = 24{a^2}\left( {{x^2} - x + 1} \right) $$ имеет ровно один корень.

Верный ответ: $a=\pm\dfrac{3\sqrt2}{2}$.

Обозначим $u=x^2-x+1$. Тогда
\[6x^2-6x+a^2+6=6u+a^2,\]
и исходное уравнение переписывается как
\[(6u+a^2)^2=24a^2u.\]
После переноса правой части получаем
\[(6u-a^2)^2=0,\]
поэтому $u=\dfrac{a^2}{6}$, то есть
\[x^2-x+1=\frac{a^2}{6}.\]
Это уравнение имеет единственный действительный корень, когда
\[D=1-4\left(1-\frac{a^2}{6}\right)=0.\]
Отсюда $a^2=\dfrac92$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10437.

10418. Найдите все значения $ a $, при каждом из которых уравнение $$ {\left( {2{x^2} + x + 3{a^2} + 5} \right)^2} = 12{a^2}\left( {2{x^2} + x + 5} \right) $$ имеет ровно один корень.

Верный ответ: $a=\pm\dfrac{\sqrt{26}}4$.

Положим $u=2x^2+x+5$. Тогда выражение в первых скобках равно $u+3a^2$, и уравнение принимает вид
\[(u+3a^2)^2=12a^2u.\]
Переносим правую часть и сворачиваем полный квадрат:
\[u^2-6a^2u+9a^4=(u-3a^2)^2=0.\]
Следовательно,
\[2x^2+x+5=3a^2.\]
Ровно один корень по $x$ получается при нулевом дискриминанте:
\[D=1-8(5-3a^2)=24a^2-39=0.\]
Значит, $a^2=\dfrac{13}{8}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10418.

10399. Найдите все значения $ a $, при каждом из которых уравнение $$ {\left( {{x^2} + x + 2{a^2} + 1} \right)^2} = 8{a^2}({x^2} + x + 1) $$ имеет ровно один корень.

Верный ответ: $a=\pm\dfrac{\sqrt6}{4}$.

Обозначим $u=x^2+x+1$. Тогда уравнение принимает вид
\[(u+2a^2)^2=8a^2u.\]
После раскрытия скобок и переноса всё сворачивается в полный квадрат:
\[u^2-4a^2u+4a^4=(u-2a^2)^2=0.\]
Значит,
\[x^2+x+1=2a^2.\]
Это квадратное уравнение относительно $x$ имеет ровно один действительный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю:
\[D=1-4(1-2a^2)=8a^2-3=0.\]
Отсюда $a^2=\dfrac38$, что даёт два значения параметра.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10399.

10380. Найдите все значения $ a $, при каждом из которых уравнение $$ \left| {x - {a^2} + a + 2} \right| + \left| {x - {a^2} + 3a - 1} \right| = 2a - 3 $$ имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).

Верный ответ: $\dfrac32\le a\le3$ или $a\ge6$.

Пусть
\[p=a^2-a-2,\qquad q=a^2-3a+1.\]
Тогда уравнение имеет вид
\[|x-p|+|x-q|=2a-3.\]
Решения возможны только при $a\ge\dfrac32$. В этом случае $p-q=2a-3$, поэтому правая часть равна расстоянию между точками $p$ и $q$. Равенство в неравенстве треугольника выполняется для всех $x$ между ними, то есть множество корней — отрезок
\[[q;p]=[a^2-3a+1;\,a^2-a-2].\]
Чтобы ни один корень не попал в интервал $(4;19)$, весь этот отрезок должен лежать либо левее него, либо правее:
\[p\le4\quad\text{или}\quad q\ge19.\]
Первый случай даёт $a^2-a-6\le0$, а с учётом $a\ge\dfrac32$ — $\dfrac32\le a\le3$. Второй случай даёт $a^2-3a-18\ge0$, откуда при допустимых $a$ получаем $a\ge6$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10380.

10361. Найдите все значения $ a $, при каждом из которых уравнение $ \left| {x - {a^2} + 4a - 2} \right| + \left| {x - {a^2} + 2a + 3} \right| = 2a - 5 $ имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23].

Верный ответ: $4\le a\le7$.

Обозначим
\[p=a^2-4a+2,\qquad q=a^2-2a-3.\]
Уравнение принимает вид
\[|x-p|+|x-q|=2a-5.\]
Сумма расстояний от точки $x$ до точек $p$ и $q$ не меньше расстояния между $p$ и $q$:
\[|x-p|+|x-q|\ge|p-q|=|2a-5|.\]
При $a\ge\dfrac52$ правая часть равна $|p-q|$, поэтому решениями являются все точки отрезка между $p$ и $q$. При этом $p\le q$, и множество корней равно
\[[a^2-4a+2;\,a^2-2a-3].\]
Этот отрезок должен пересекаться с $[5;23]$. Для пересечения необходимо и достаточно, чтобы его правый конец был не меньше $5$, а левый — не больше $23$:
\[a^2-2a-3\ge5,\qquad a^2-4a+2\le23.\]
С учётом $a\ge\dfrac52$ первое неравенство даёт $a\ge4$, второе — $a\le7$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10361.

10342. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$ {a^2} + 7\left| {x + 1} \right| + 5\sqrt {{x^2} + 2x + 5} = 2a + 3\left| {x - 4a + 1} \right| $$ имеет хотя бы один корень.

Верный ответ: $[-5-\sqrt{15};-5+\sqrt{15}]\cup[7-\sqrt{39};7+\sqrt{39}]$.

Положим $u=x+1$. Перенесём правую часть влево:
\[a^2-2a+7|u|+5\sqrt{u^2+4}-3|u-4a|.\]
Из неравенства $|u-4a|\le|u|+4|a|$ следует
\[7|u|+5\sqrt{u^2+4}-3|u-4a|\ge4|u|+5\sqrt{u^2+4}-12|a|\ge10-12|a|.\]
При $u=0$ равенство достигается, поэтому минимум левой части равен
\[a^2-2a+10-12|a|.\]
Левая часть непрерывна и возрастает до $+\infty$ при $|u|\to\infty$, следовательно, исходное уравнение имеет корень тогда и только тогда, когда этот минимум не превосходит нуля.
Если $a\ge0$, получаем $a^2-14a+10\le0$, откуда $7-\sqrt{39}\le a\le7+\sqrt{39}$.
Если $a<0$, получаем $a^2+10a+10\le0$, откуда $-5-\sqrt{15}\le a\le-5+\sqrt{15}$.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10342.

Для вас приятно генерировать тесты, создавайте их почаще

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Линия заданий 18, ЕГЭ 2027 по математике профильной