Линия заданий 8, Тесты ЕГЭ 2027 по математике профильной

10502. На рисунке изображены график функции \( y = f(x) \) и касательная к нему в точке с абсциссой \({x_0}\). Найдите значение производной функции \( f(x) \) в точке \({x_0}\).

Верный ответ: 1,5

Значение производной равно наклону касательной. Касательная проходит через начало координат \((0;0)\) и отмеченную точку \((-2;-3)\).
Её угловой коэффициент равен \(k=\dfrac{0-(-3)}{0-(-2)}=\dfrac32=1{,}5\). Прямая поднимается слева направо, поэтому производная положительна.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10502.

10483. На рисунке изображены график функции \( y = f(x) \) и касательная к нему в точке с абсциссой \({x_0}\). Найдите значение производной функции \( f(x) \) в точке \({x_0}\).

Верный ответ: 2

Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной. На прямой удобно взять отмеченные точки \((-2;-4)\) и \((1;2)\).
При увеличении \(x\) на \(1-(-2)=3\) значение \(y\) увеличивается на \(2-(-4)=6\). Поэтому \(f'(x_0)=k=\dfrac{6}{3}=2\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10483.

10464. На рисунке изображены график функции y = f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Верный ответ: 5

На рисунке функция убывает в тех отмеченных точках, где график направлен вниз слева направо. Именно в таких точках угловой коэффициент касательной, а значит и производная, отрицателен.
Это происходит при \(x_1, x_2, x_3, x_4\) и \(x_5\). В точках \(x_6, x_7\) и \(x_8\) график уже не убывает: он находится около минимума или поднимается. Поэтому подходят пять точек.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10464.

10445. На рисунке изображены график функции y = f(x) и десять точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Верный ответ: 2

Чтобы определить знак производной, мысленно движемся по графику слева направо. Если около отмеченной абсциссы график опускается, производная отрицательна; если поднимается — положительна.
Из десяти отмеченных точек на нисходящих ветвях находятся только \(x_3\) и \(x_6\). Во всех остальных отмеченных точках график возрастает либо находится около точки поворота, поэтому отрицательная производная получается два раза.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10445.

10426. На рисунке изображены график функции y = f(x) и девять точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Верный ответ: 4

Производная отрицательна, когда с увеличением \(x\) значение функции уменьшается, то есть график идёт вниз. На возрастающих ветвях производная положительна, а в точной вершине или впадине с горизонтальной касательной она равна нулю.
На нисходящих участках расположены точки \(x_1, x_3, x_4\) и \(x_6\). Точки \(x_2, x_7, x_8, x_9\) лежат на возрастающих участках, а \(x_5\) находится в нижней точке графика. Поэтому условию удовлетворяют четыре точки.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10426.

10407. На рисунке изображены график функции y = f(x) и двенадцать точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀, x₁₁, x₁₂. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Верный ответ: 8

Знак производной определяем по направлению графика: на возрастающем участке \(f'(x)>0\), а на убывающем \(f'(x)<0\). Не нужно сравнивать ординаты точек или смотреть, выше ли они оси абсцисс.
Нисходящим ветвям графика принадлежат отмеченные точки \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_8, x_9, x_{11}\) и \(x_{12}\). Остальные отмеченные точки расположены на участках, где функция не убывает. Поэтому отрицательных значений производной восемь.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10407.

10388. На рисунке изображены график функции \( y = f(x) \) и семь точек на оси абсцисс: \({x_1}\), \({x_2}\), \({x_3}\), \({x_4}\), \({x_5}\), \({x_6}\), \({x_7}\). В скольких из этих точек производная функции \( f(x) \) отрицательна?

Верный ответ: 6

Производная отрицательна в тех точках, где при движении слева направо график функции опускается. Высота графика относительно оси \(Ox\) здесь не важна — имеет значение только направление его движения.
График убывает в отмеченных точках \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\) и \(x_7\). В точке \(x_6\) график поднимается, поэтому там производная положительна. Отрицательная производная получается в шести точках.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10388.

10369. На рисунке изображён график \( y = f'(x) \) - производной функции \( f(x) \), определённой на интервале (-4; 10). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции \( f(x) \) параллельна прямой \( y = - 2x + 16 \) или совпадает с ней.

Верный ответ: 4

У прямой \(y=-2x+16\) угловой коэффициент равен \(-2\). Касательная к графику \(f(x)\) будет параллельна этой прямой или совпадёт с ней, если её угловой коэффициент также равен \(-2\).
Поскольку угловой коэффициент касательной равен производной, нужно найти решения уравнения \(f'(x)=-2\). Для этого проводим мысленно горизонтальную прямую \(y=-2\): она пересекает изображённый график производной в четырёх точках. Каждому пересечению соответствует одна подходящая касательная.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10369.

10350. На рисунке изображены график функции \( y = f(x) \) и касательная к нему в точке с абсциссой \({x_0}\). Найдите значение производной функции \( f(x) \) в точке \({x_0}\).

Верный ответ: 0,25

Значение \(f'(x_0)\) — это угловой коэффициент касательной. Выберем на ней две отмеченные точки сетки: \((-4;-3)\) и \((4;-1)\).
При движении вправо на \(4-(-4)=8\) единиц касательная поднимается на \((-1)-(-3)=2\) единицы. Поэтому \(f'(x_0)=k=\dfrac{2}{8}=0{,}25\).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10350.

10331. На рисунке изображён график функции \( y = f(x) \), определённой на интервале (-5; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции \( y = f(x) \) равна 0.

Верный ответ: 6

Производная равна нулю там, где касательная к графику горизонтальна. Поэтому нужно отметить все вершины и впадины графика, а не точки его пересечения с осью \(Ox\).
На рисунке имеются три точки локального максимума и три точки локального минимума. В каждой из них касательная горизонтальна, поэтому производная равна нулю в шести точках.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 10331.

Для вас приятно генерировать тесты, создавайте их почаще

Интеллектуальный и эстетичный кабинет для подготовки к ЕГЭ

Линия заданий 8, ЕГЭ 2027 по математике профильной